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Best Choice excel exponentialfunktion Update

by Tratamien Torosace

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Neues Update zum Thema excel exponentialfunktion


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Rendite in Excel berechnen – Stetige und diskrete Renditen … New Update

Die e-Funktion (Exponentialfunktion) erzielt man in Excel mittels =EXP(). Bei der diskreten Rendite geht das ganze etwas einfacher. Hier teilen wir lediglich den End- durch den Startwert und ziehen die Zahl 1 ab. In beiden Fällen erhalten wir eine Rendite …

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Die Rendite einer Investition ist eine der wichtigsten Finanzkennzahlen

Für die Renditeberechnung ziehen wir als Beispiel die Dax-Kurse im Zeitraum 2013 bis 2017 heran

Wie Sie diese oder andere externe Daten importieren, erfahren Sie in meinem Artikel So importieren Sie Daten in Excel

Es gibt zwei verschiedene Berechnungsmethoden, um eine Rendite zu berechnen: die diskrete Rendite und die kontinuierliche Rendite

Formel: Diskrete Rendite

Diskrete Rendite: R t = (P t – P t-1 ) / P t-1 = P t / P t-1 – 1

mit:

P t Preis zum Zeitpunkt t P t-1 Preis zum Zeitpunkt t-1

Der Vorteil diskreter Renditen besteht darin, dass die Rendite eines Portfolios die gewichtete Summe der Renditen der Wertpapiere im Portfolio ist

Die diskrete Rendite wird daher hauptsächlich in Portfoliobetrachtungen verwendet

Formel: Konstante Rendite

Kontinuierliche Rendite: r t = ln(P t / P t-1 )

mit:

P t Preis zum Zeitpunkt t P t-1 Preis zum Zeitpunkt t-1 ln() natürlicher Logarithmus

Stetige Renditen addieren sich entlang der Zeitachsen

Konstante Renditen werden oft auch als kontinuierliche Renditen bezeichnet, da diese Renditeberechnung eine kontinuierliche Verzinsung zwischen Anfangs- und Endwert beschreibt

Ein Nachteil ist jedoch, dass die fortlaufenden Renditen eines Portfolios nicht einfach die gewichtete Summe der Renditen der Wertpapiere im Portfolio sind

Die kontinuierliche Rendite wird hauptsächlich für Zeitreihenbetrachtungen und deren statistische Eigenschaften verwendet

Umrechnung von kontinuierlicher zu diskreter Rendite

Diese Formel kann verwendet werden, um beide Arten von Renditen umzurechnen: Umrechnung: R t = er t – 1 und rt = ln(R t + 1)

So berechnen Sie den Mittelwert der Renditen

Wenden wir beide Renditeberechnungen auf unsere Dax-Daten an

Der Durchschnitt bzw

das arithmetische Mittel wird in Excel mit der Funktion =AVERAGE() gebildet

Wir wenden die Funktion auf beide berechneten Tagesrenditen an

Es gibt eine deutliche Abweichung zwischen den beiden Werten (stationär: 0,0402 % vs

diskret: 0,0465 %)

Je größer die Renditeschwankungen sind, desto größer ist die Abweichung von stetigen und diskreten Renditen

In diesem Fall ist der Mittelwert der kontinuierlichen Rendite der richtige Wert

Wie hoch ist die Rendite über den gesamten Zeitraum?

Um herauszufinden, was eine Investition in den Dax zwischen dem 02.01.2013 und dem 29.12.2017 gebracht hätte, berechnen wir nun die Rendite über den gesamten Zeitraum (5 Jahre)

Da die kontinuierliche Rendite additiv ist, kann zunächst die Summe aller Renditen genommen werden

Diese Summe wird nun in der folgenden Formel verwendet

Ausbeute 5J = e∑ – 1

Die e-Funktion (Exponentialfunktion) erhält man in Excel mit =EXP().

Mit der diskreten Ausbeute ist das Ganze etwas einfacher

Hier teilen wir einfach den Endwert durch den Startwert und subtrahieren die Zahl 1

In beiden Fällen erhalten wir für den gesamten Zeitraum eine Rendite von 66,0625 %

Exkurs: Berechnen Sie wöchentliche, monatliche und jährliche Renditen

Falls es nicht möglich ist, die entsprechenden Daten aus einer Datenbank oder externen Quelle in einem anderen Zeitformat zu beziehen, können wir diese Renditen mit einigen Tools selbst berechnen

Der Einfachheit halber kopiere ich die Spalte „Datum“ und den angepassten Schluss („Adj Close“) in ein neues Blatt

Mit der Funktion =WEEKDAY(“Cell”;2) können die Daten mit dem jeweiligen Wochentag gekennzeichnet werden

Dabei steht 1 für Montag und 5 für Freitag

Da Freitag aufgrund von Feiertagen nicht unbedingt der letzte Handelstag der Woche sein muss, habe ich in Spalte D den letzten Kurs der Woche eingetragen, sofern die Zahl in Spalte C größer ist als der nächste Tag

Andernfalls sollte es nicht angezeigt werden.

Dann sortiere ich die Daten (STRG+UMSCHALT+L) und wähle alle leeren Zellen in Spalte D aus

Diese werden alle gelöscht

Damit bleiben nur noch die letzten Gänge der Woche übrig

Die Hilfsspalten C und D können ebenfalls gestrichen werden

Nun kann die kontinuierliche Rendite rt = ln(P t / P t-1 ) wöchentlich mit der Funktion ln berechnet werden

Achtung, bei der monatlichen Betrachtung mit der Excel-Funktion =MONAT() gibt es eine Feinheit zu beachten: Zum Jahreswechsel ist der Folgemonat (1 für Januar) zahlenmäßig kleiner als der Vormonat (12 für Dezember)

Abhilfe schafft folgende Bedingung: Mit dieser Formel bekommen wir alle Dax-Kurse zum Monatswechsel – auch wenn der Januar auf den Dezember folgt

Auch hier können die leeren Zellen in Spalte D durch Sortieren gelöscht werden, gefolgt von der Hilfsspalte C

Mit den verbleibenden Daten können nun auf Monatsbasis Renditen berechnet werden

Verwenden Sie für jährliche Renditen die Excel-Funktion =YEAR()

Die if-Funktion ist fast identisch mit der Berechnung für Wochenrenditen

Die kleine Änderung ist =IF(C4

Exponential Functions in Excel Update

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 Update Exponential Functions in Excel
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Die Eulersche Zahl e – Mathematik … – Mathematik Nachhilfe New Update

Um die natürliche Exponentialfunktion aufzurufen, muss in der Regel eine Umschalttaste gedrückt werden. Neben dem Rechner bzw Taschenrechner rechnen viele Schüler und Studenten auch gerne mit Microsofts Excel herum. Hier wird die e-Funktion über den Befehl EXP() ausgeführt.

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Die vielleicht wichtigste Zahl / Konstante in unserem Leben, nicht nur in der Mathematik, ist die sogenannte Euler-Zahl e = 2,718281828…

Wenn man sich die ersten Ziffern von e ansieht, würde man fast annehmen, dass die Zahl periodisch ist

Aber ganz im Gegenteil, die Mathematiker konnten beweisen, dass e keine rationale Zahl ist

Das zu beweisen war alles andere als trivial

1737 gelang Leonhard Euler der Nachweis der Irrationalität von e

Ihm zu Ehren wird die Zahl daher auch Eulersche Zahl genannt

Aber Euler wurde nicht nur für seinen Beweis berühmt, er war auch der Erste, der den Buchstaben e an die Zahl setzte

Witzigerweise passt das e sehr gut zu seinem Nachnamen, aber die Namensgebung hatte wohl eher mit der Nähe zur Exponentialfunktion zu tun

Dass e auch transzendent ist, war noch schwieriger zu beweisen und gelang erst 1873 dem französischen Mathematiker Charles Hermite

Die Eulersche Zahl stellt einerseits die Basis des natürlichen Logarithmus ln = log e dar und andererseits auch die Basis für die natürliche Exponentialfunktion x -> ex

Die Funktion ex ist ein ganz spezieller Fall einer Exponentialfunktion ax, bei der die Funktionswerte und die jeweiligen Ableitungen miteinander übereinstimmen

Diese Eigenschaft macht die Zahl e und die zugehörige Exponentialfunktion ex zu einem ganz besonderen und reizvollen Element in der Mathematik, da die zugehörigen Integrale und Differentiale viel einfacher zu handhaben sind

Einfache Formeln zur Berechnung der Eulerschen Zahl

Die Mathematik kennt unzählige Formeln zur Berechnung der Zahl e

Die eleganteste und natürlichste Formel ist wohl die folgende von Leonhard Euler entdeckte unendliche Reihe:

Eine Formel, die sich ebenfalls relativ natürlich entwickelt, basiert auf dem Grenzwert einer Zinseszinsrechnung, die bis ins Unendliche fortgesetzt wird: Ähnlich wie bei der Zahl Pi gibt es auch hier einen Wettbewerb um das Auswendiglernen der Ziffern von e

2018 stellte der Inder Akshat Khandal den Weltrekord im Auswendiglernen der Ziffern von e mit 10.000 Dezimalstellen auf

Eulersche Zahl und die e-Funktion

Eulers Zahl e in Alltag und Natur

Die Zahl e wird in der Mathematik selten allein verwendet, sondern fast immer in Bezug auf den natürlichen Logarithmus ln(x) und insbesondere auf

Auch bekannt als Sterben

Gerade in der Physik sind viele Formeln mit dieser Funktion gespickt

Sie taucht zum Beispiel bei Wachstumsproblemen auf, aber auch überall dort, wo Schwingungen im Spiel sind und auch im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeiten

Auch Biologie und Epidemiologie sind ohne die E-Funktion nicht vorstellbar – die Corona-Pandemie hat uns das ganz deutlich vor Augen geführt

In diesem Fall kommt neben dem exponentiellen Wachstum auch das logistische Wachstum ins Spiel

Denn im Gegensatz zur Mathematik sind die Ressourcen im realen Leben und in der Natur nicht unendlich, sodass am Ende meist noch ein Dämpfer obendrauf kommt 😉

Die Zahl e taucht im Alltag und in der Natur öfter auf, als man denkt

Der Verlauf des radioaktiven Zerfalls ist ein Klassiker

Und selbst die Abkühlung einer Tasse Kaffee wird mit dem Newtonschen Abkühlungsgesetz und damit mit einer E-spiked-Formel beschrieben

Und auch die Gauß-Verteilung lebt im Kern von der e-Funktion und ist vollgepackt mit Unmengen an Statistiken

Zum Beispiel bei der Verteilung von Intelligenz, Körpergröße, Armlänge oder Schuhgröße.

Witzig ist auch der folgende Fall einer Permutation ohne Fixpunkt

Die Gäste einer Hochzeitsfeier lassen ihre Hüte in der Garderobe

Das Garderobenpersonal gibt die Hüte am Ende der Veranstaltung stichprobenartig an die Gäste zurück

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Gast seinen eigenen Hut zurückbekommt? Die Wahrscheinlichkeit nähert sich sehr schnell dem Wert 1/e = 0,3678794…

In diesem Zusammenhang spricht man oft von der 37%-Regelung

Wert der Eulerschen Zahl und Berechnung mit der e-Funktion auf dem Taschenrechner

Natürlich findest du die Zahl e und die Funktion ex auf jedem besseren Taschenrechner

Insbesondere die e-Funktion ist etwas versteckter – unter der ln-Funktion

Diese Funktion zur Berechnung des natürlichen Logarithmus (warum auch immer) hat auf den meisten Computertastaturen Vorrang

Um die natürliche Exponentialfunktion aufzurufen, muss meist eine Umschalttaste gedrückt werden

Neben dem Taschenrechner oder Taschenrechner rechnen viele Schüler und Studenten auch gerne mit Microsoft Excel

Hier wird die e-Funktion über den Befehl EXP() ausgeführt

Der Wert der Zahl e wird daher unter Verwendung des Ausdrucks EXP(1) gefunden

FAQ – Fragen zur Eulerschen Zahl / e-Funktion

Was ist e?

Eulers Zahl e ist sowohl eine irrationale als auch eine transzendente reelle Zahl

Es wurde nach dem Mathematiker Leonhard Euler benannt

In der Regel tritt e im Zusammenhang mit der natürlichen Exponentialfunktion ex oder dem natürlichen Logarithmus ln(x) auf – beide basieren darauf

Wie ist die Eulersche Zahl definiert?

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Eulersche Zahl zu definieren

Als Grenzwert einer speziellen Zinseszinsformel oder als unendliche Reihe e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + … oder als Basis einer Exponentialfunktion, bei der alle Funktionswerte mit dem Wert der Ableitung übereinstimmen

Wie viele Nachkommastellen hat die Zahl e

Aufgrund ihrer Irrationalität hat die Eulersche Zahl e unendlich viele Nachkommastellen

12 Billionen Ziffern sind derzeit bekannt, veröffentlicht von David Christle am 12

Juli 2020

Kann die e-Funktion Null werden?

Die e-Funktion ist eine streng steigende Funktion, bei der alle Funktionswerte größer Null sind (ex > 0)

Insbesondere ist die Umkehrfunktion ln(x) nicht auf Null definiert ( ln(0) )

Die e-Funktion berührt sozusagen nur die x-Achse im Unendlichen

Dies können Sie auch im Funktionsgraphen der e-Funktion sehen.

Using Excel with the Exponential – Exp() function to plot graphs. Update New

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 Update Using Excel with the Exponential - Exp() function to plot graphs.
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Eulersche Zahl – Wikipedia Update New

Die Eulersche Zahl, mit dem Symbol bezeichnet, ist eine Konstante, die in der gesamten Analysis und allen damit verbundenen Teilgebieten der Mathematik, besonders in der Differential-und Integralrechnung, aber auch in der Stochastik (Kombinatorik, Normalverteilung) eine zentrale Rolle spielt.Ihr numerischer Wert beträgt = … ist eine transzendente und somit auch irrationale reelle …

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Dieser Artikel deckt die Basis des natürlichen Logarithmus ab

Für andere Nummern, die nach Euler benannt sind, siehe Euler-Zahlen (Disambiguation)

Euler-Nummer, die vom Symbol E {\ displaystyle e} bezeichnet ist, ist eine Konstante, die in der gesamten Analyse und alle damit verbundenen Bereichen der Mathematik verwendet wird, insbesondere in differentialem und integrierter Kalkül, aber auch in Stochastik (Kombinatorik, Normalverteilung)

spielt eine zentrale Rolle

Sein numerischer Wert ist E = 2,718 28 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995. .

{\ displaystyle e = 2

69995 \, \ dots} [1]

E {\ displaystyle e} ist ein transzendenter und daher auch eine irrationale reelle Zahl

Es ist die Grundlage des natürlichen Logarithmus und der (natürlichen) exponentiellen Funktion

In der angewendeten Mathematik spielt die exponentielle Funktion und damit E {\ displaystyle e} eine wichtige Rolle bei der Beschreibung von Prozessen wie radioaktiven Zerfall und natürlichem Wachstum

Es gibt zahlreiche äquivalente Definitionen von E {\ displaystyle e}, dem bekanntesten Wesen :

E = 1 + 1 1 + 1 1 ⋅ 2 + 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + ⋯ = Σ k = 0 ∞ 1 k! {\ displaystyle e = 1 + {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 2} {1 \ cdot 2}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 2 \ cdot 3}} + { \ frac {1} {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4}} + \ dotsb = \ sum _ {k = 0} ^ {\ fmty} {\ frac {1} {k!}}}

Die Nummer wurde nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler [2] benannt, der zahlreiche Eigenschaften von E {\ displaystyle E} beschrieb

Es wird auch manchmal als Napierkonstante (oder Neverkonstante), nach dem schottischen Mathematiker John Napier, bezeichnet

Es ist eines der wichtigsten Konstanten in der Mathematik

Es gibt einen internationalen Tag der Euler-Nummer E {\ displaystyle e}

In Ländern, in denen, wie in Deutschland, der Tag vor dem Monat (27

Januar) für das Datum, ist am 27

Januar geschrieben

[3] In Ländern, in denen, wie in den USA, der Monat, der der Tag vor dem Tag (2/7), am 7

Februar geschrieben ist.

Die Zahl E {\ \ displaystyle e} wurde von Leonhard Euler von der folgenden Serie definiert: [4]

e = 1 + 1 1 + 1 1 ⋅ 2 + 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 + 1 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + ⋯ = 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + ⋯ = Σ k = 0 ∞ 1 k! {\ displaystyle {\ beginn {\ \ \ frac} E & = 1 + {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 2}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 2 \ CDOT 3}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4}} + \ dotsb \\ & = {\ frac {1} {0!}} + {\ frac {1} {1} { 1!}} + {\ Frac {1} {2!}} + {\ Frac {1} {3!}} + {\ Frac {1} {4!}} + \ Dotsb \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ fly} {\ frac {1} {k!}} \\\ ende {ausgerichtet}}}}

Für k ∈ N 0 {\ displaystyle k \ in \ mathbb {n} _ {0}}} _ {0}} Wir haben k! {\ displaystyle k!} Die Fachrichtung von k {\ displaystyle k}, dh in dem Fall K> 0 {\ displaystyle k> 0} das Produkt K! = 1 ⋅ 2 ⋅. .

⋅ K {\ displaystyle k! = 1 \ cdot 2 \ cdot \ ldots \ cdot k} der natürlichen Zahlen von 1 {\ displaystyle 1} bis k {\ displaystyle k}, während 0! : = 1 {\ displaystyle 0 !: = 1} ist definiert.

Als Euler erwiesen wird Euler-Nummer E {\ displaystyle e} auch als Funktionsgrenze erhalten: [5]

e = lim t → ∞ t ∈ R (1 + 1 t) t {\ displaystyle e = \ lim _ {t \ to \ fly \ \ \ \ in \ mathbb {r} \ in \ mathbb {r}} \ links (1 + {\ frac { 1} {t}} \ rechts) ^ {t}}

Was insbesondere bedeutet, dass es auch die Grenze der Sequenz (an) n ∈ N {\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {n}}} mit AN: = (1 + 1 n) ist n {\ displaystyle a_ {n}: = \ Left (1 + {\ frac {1} {n}}}} ^ {n}} Ergebnisse in :

e = lim n → ∞ (1 + 1 n) n {\ displaystyle e = \ lim _ {n \ to \ fly} \ links (1 + {\ frac {1} {n}} \ rechts) ^ {n} }

Dies basiert auf der Tatsache, dass e = exp ⁡ (1) = E 1 {\ displaystyle e = \ exp (1) = e ^ {1}}

Gilt, E {\ displaystyle e} ist der Funktionswert der exponentiellen Funktion (oder “e \ \ displaystyle e} -Function”) an Position 1 {\ displaystyle 1}

In diesem Zusammenhang wird die obige Seriendarstellung von e {\ displaystyle E} durch Auswertung der Taylor-Serie der exponentiellen Funktion um den Erweiterungspunkt 0 {\ displaystyle 0} an der Stelle 1 {\ displaystyle 1} erhalten.

Ein alternativer Ansatz zur Definition der Eulerschen Zahl erfolgt über verschachtelte Intervalle, ungefähr so, wie Konrad Knopp es in Theory and Application of Infinite Series vorstellt

Dann gilt für alle n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } :[6]

( 1 + 1 n ) n < e < ( 1 + 1 n ) n + 1 {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

Rechner, Tabellenkalkulation und Programm [Bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Euler hatte 23 Dezimalstellen berechnet:

e = 2,71828 18284 59045 23536 028

Taschenrechner und Tabellenkalkulationsprogramme verwenden 8 bis 16 Dezimalstellen:

e = 2,71828183 (8 Nachkommastellen) e = 2,7182818284 (10 Nachkommastellen, Excel) e = 2,7182818284590452 (16 Nachkommastellen)

Tabellenkalkulationen verwenden die Konstante: EXP(1)

In Programmen wird die Euler-Zahl üblicherweise als Konstante definiert: const long double euler = 2.7182818284590452353602874713526625 (34 Dezimalstellen)

Die Vorgeschichte vor Euler [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

Die Geschichte der Eulerschen Zahl e {\displaystyle e} beginnt bereits im 16

Jahrhundert mit drei Problemfeldern, in denen eine Zahl auftaucht, der sich damals Mathematiker näherten und die später e {\displaystyle e}: genannt wurde

Als Grundlage der Logarithmen in den Logarithmentafeln von John Napier und Jost Bürgi

Beide hatten ihre Tabellen unabhängig voneinander entwickelt, eine Idee von Michael Stifel übernommen und Ergebnisse von Stifel und anderen Mathematikern des 16

Jahrhunderts verwendet

1620 veröffentlichte Bürgi seine „Arithmetischen und geometrischen Fortschrittstabellen“

Als Grundlage seines Logarithmensystems verwendet Bürgi offenbar instinktiv eine Zahl nahe e {\displaystyle e} 1 / e {\displaystyle 1/e} [7] Napier und Bürgi wollten die Logarithmentafeln verwenden, um Multiplikationen auf Additionen zu reduzieren, um umfangreiche Berechnungen einfacher und weniger zeitaufwändig durchzuführen

Napier und Bürgi wollten die Logarithmentafeln nutzen, um die Multiplikation auf die Addition zu reduzieren, um komplexe Berechnungen einfacher und weniger zeitaufwändig zu machen

Als Grenze einer Sequenz im Zinseszins

1669 stellte Jacob Bernoulli die Aufgabe: “Eine Geldsumme wird für Zinsen angelegt, so dass in den einzelnen Momenten ein proportionaler Teil der jährlichen Zinsen zum Kapital hinzugefügt wird.” Heute nennen wir diesen anteiligen Zinszuschlag „laufende Zinsberechnung“

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[8] Bernoulli fragt, ob durch Kontrakte, bei denen die einzelnen Momente immer kürzer werden, beliebig große Vielfache der Anfangssumme erreicht werden können, und kommt als Lösung auf eine Zahl, die wir heute Eulersche Zahl e {\displaystyle e} nennen [9 ]

Bernoulli fragt, ob durch Kontrakte, bei denen die einzelnen Momente immer kürzer werden, beliebig große Vielfache der Anfangssumme erreicht werden können, und kommt als Lösung auf eine Zahl, die wir heute Eulersche Zahl als unendliche Reihe nennen (Fläche der Hyperbel von Apollonius von Perge)

Es war (in heutiger Sprache) die Frage, wie weit sich eine Fläche unter der Hyperbel xy = 1 {\displaystyle xy=1} x = 1 {\displaystyle x=1} Grégoire de Saint-Vincent (latinisiert Gregorius a Sancto Vincentino) entwickelt hat eine Funktion zu seiner Lösung, die wir heute den natürlichen Logarithmus nennen und mit ln {\displaystyle \ln } die Funktionsgleichung des Logarithmus, die auch Napier und Bürgi zur Konstruktion und Verwendung ihrer Logarithmentafeln verwendeten.[10] Es ist nicht sicher, ob ihm bewusst war, dass die Basis dieses Logarithmus die Zahl ist, aus der später e {\displaystyle e} wurde [11]

Spätestens sein Schüler und Mitautor Alphonse Antonio de Sarasa stellte den Zusammenhang mit einer logarithmischen Funktion dar

In einer Abhandlung über de Sarasas Verbreitung von Saint-Vincents Ideen heißt es, dass „die Beziehung zwischen Logarithmen und der Hyperbel von Saint-Vincent in allen Eigenschaften gefunden wurde, außer im Namen.“[12] Durch Arbeiten von Newton und Euler wurde es dann klar dass e {\displaystyle e} [13] Leibniz anscheinend der erste war, der einen Buchstaben für diese Zahl verwendete

In seiner Korrespondenz mit Christiaan Huygens von 1690/1 verwendete er den Buchstaben b als Basis einer Potenz.[14] Ursprung des Symbols e [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Das früheste Dokument, das die Verwendung des Buchstabens e {\displaystyle e} für diese Zahl durch Leonhard Euler zeigt, ist ein Brief von Euler an Christian Goldbach vom 25

November 1731.[15] Noch früher, 1727 oder 1728, begann Euler, den Buchstaben e {\displaystyle e} in dem Artikel “Meditation in experimenta explosione tormentorum nuper instituta” über Sprengkräfte in Kanonen zu verwenden, der erst 1862 veröffentlicht wurde

Die nächste zuverlässige Quelle für die Verwendung dieses Briefes ist Eulers Werk Mechanica sive motus scientia analytice exposita, II von 1736.[6] In der 1748 veröffentlichten Introductio in Analysin Infinitorum greift Euler diesen Begriff wieder auf.[18] Es gibt keinen Beweis dafür, dass diese Wahl des Buchstabens e {\displaystyle e} auf seinem Namen beruhte

Unklar ist auch, ob er dies in Anlehnung an die Exponentialfunktion tat oder aus praktischen Gründen der Abgrenzung zu den häufig verwendeten Buchstaben a, b, c oder d

Obwohl auch andere Bezeichnungen verwendet wurden, wie c in d’Alemberts Histoire de l’Académie, setzte sich e {\ displaystyle e} durch

Im Formelsatz wird e {\displaystyle e} nicht kursiv nach DIN 1338 und ISO 80000-2 gesetzt, um die Zahl von einer Variablen zu unterscheiden.[19] Aber auch kursive Schreibweise ist üblich

Eulers Zahl e {\displaystyle e} ist eine transzendente Zahl (Beweis nach Charles Hermite, 1873) und damit irrational (Beweis mit Kettenbrüchen für e 2 {\displaystyle e^{2}} und damit e {\displaystyle e} als bereits 1737 von Euler,[20] Nachweis im Beweisarchiv oder Artikel)

Sie lässt sich (wie die Kreiszahl π {\displaystyle \pi } nach Ferdinand von Lindemann 1882) nicht als Bruch zweier natürlicher Zahlen darstellen (auch nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung) und hat folglich eine unendliche nichtperiodische Dezimalzahl Erweiterung

Das Irrationalitätsmaß von e {\displaystyle e} ist 2 und damit so klein wie möglich für eine irrationale Zahl, insbesondere ist e {\displaystyle e} nicht Liouvillesch

Es ist nicht bekannt, ob e {\displaystyle e} zu irgendeiner Basis normal ist.[21] In Eulers Identität

e ich ⋅ π = ​​​​− 1 {\ displaystyle e ^ {\ mathrm {i} \ cdot \ pi } = -1}

grundlegende mathematische Konstanten verwandt sind: die ganze Zahl 1, die Eulersche Zahl e {\displaystyle e} , die imaginäre Einheit i {\displaystyle \mathrm {i} } der komplexen Zahlen und die Kreiszahl π {\displaystyle \pi }

Die Euler-Zahl erscheint auch in der asymptotischen Schätzung der Fakultät (siehe Stirling-Formel):[22]

2 π n ( n e ) n ≤ n ! ≤ 2 π n ( ne ) n ⋅ e 1 12 n {\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\leq n! \leq {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\cdot e^{\frac {1}{12n}}}

Die Cauchy-Produktformel für die beiden (jeweils absolut konvergenten) Reihen und das Ergebnis des Binomialsatzes

∑ k = 0 ∞ 1 k ! ⋅ ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! = ∑ k = 0 ∞ ∑ j = 0 k 1 j ! ( − 1 ) k − j ( k − j ) ! = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! ∑ j = 0 k ( kj ) 1 j ( − 1 ) k − j = ∑ k = 0 ∞ ( 1 + ( − 1 ) ) k = ∑ k = 0 ∞ 0 k = 1 = e ⋅ e − 1 {\ Anzeigestil \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{ k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{k}{\frac {1}{j!}}{\frac {( -1)^{kj}}{(kj)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\sum _{j=0}^{ k}{\binom {k}{j}}1^{j}(-1)^{kj}=\sum _{k=0}^{\infty }(1+(-1))^{k }=\sum _{k=0}^{\infty }0^{k}=1=e\cdot e^{-1}}

und daraus folgt sofort: e − 1 = 1 e = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! {\displaystyle e^{-1}={\frac {1}{e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k! }}}

Geometrische Interpretation [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

Die Integralrechnung liefert eine geometrische Interpretation der Eulerschen Zahl

Dementsprechend ist e {\displaystyle e} die eindeutig bestimmte Zahl b > 1 {\displaystyle b>1}, für die der Inhalt des Bereichs unterhalb des Funktionsgraphen der reellen Kehrwertfunktion y = 1 x {\displaystyle y={\ tfrac {1} {x}}} im Intervall [ 1 , b ] {\displaystyle [1,b]} genau gleich 1 {\displaystyle 1} ist:[23]

∫ 1 e 1 x d x = 1 {\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{x}}\,\mathrm{d} x=1}

Andere Darstellungen für die Euler-Zahl [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Die Eulersche Zahl kann auch durchgereicht werden

e = lim n → ∞ n n ! n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}

oder beschreiben Sie es durch die Grenze des Quotienten aus Fakultät und Teilfakultät:

e = lim n → ∞ n ! ! n

{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{!n}}.}

Über die Formeln wird eine Verbindung zur Verteilung der Primzahlen hergestellt

e = lim n → ∞ ( nn ) π ( n ) {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }({\sqrt[{n}]{n}})^{\pi (n)} } e = lim n → ∞ n # n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}}

klar, wobei π ( n ) {\displaystyle \pi (n)} die Primzahlfunktion bedeutet und das Symbol n # {\displaystyle n\#} die Primzahl der Zahl n {\displaystyle n} bedeutet, aus der die katalanische Darstellung besteht praktische Bedeutung

e = 2 1 1 ⋅ 4 3 2 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋯ {\displaystyle e={\sqrt[{1}]{\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{2}]{\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5 \cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdots }

Im Zusammenhang mit der Zahl e {\displaystyle e} gibt es spätestens seit der Veröffentlichung von Leonhard Eulers Introductio eine Vielzahl von Kettenbruchentwicklungen für e {\displaystyle e} und Größen, die sich aus e {\displaystyle e} ableiten lassen in Analysin Infinitorum im Jahr 1748

Also fand Euler die folgende klassische Identität für e {\displaystyle e}:

(1) e = [2; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , 1 , 1 , 10 , 1 , … ] = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + 1 6 + ⋯ {\displaystyle (1){\begin{aligned}e&=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1 ,1,10,1,\dotsc ]\\&=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{ 1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+\dotsb }}}}}}}}}} } }}}}}}\end{aligned}}} A003417 im OEIS)

Identität (1) scheint ein regelmäßiges Muster zu haben, das sich bis ins Unendliche fortsetzt

Es stellt einen regulären fortgesetzten Bruch dar, der von Euler aus dem Folgenden abgeleitet wurde:[24]

( 2 ) e + 1 e − 1 = [ 2 ; 6 , 10 , 14 , … ] = 2 + 1 6 + 1 10 + 1 14 + 1 ⋱ ≈ 2,163 9534137386 {\displaystyle (2){\begin{aligned}{\frac {e+1}{e-1} }&=[2;6,10,14,\dotsc ]\\&={2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{ \cfrac {1}{\;\,\ddots }}}}}}}}\\&\approx 2.1639534137386\end{aligned}}} A016825 in OEIS)

Dieser fortgesetzte Bruch ist wiederum ein Spezialfall des Folgenden mit k = 2 {\displaystyle k=2} :

( 3 ) coth ⁡ 1 k = e 2 k + 1 e 2 k – – 1 = [ k ; 3 k , 5 k , 7 k , … ] = k + 1 3 k + 1 5 k + 1 7 k + 1 ⋱ {\displaystyle (3){\begin{aligned}{\coth {\frac {1}{ k}}}&={\frac {e^{\frac {2}{k}}+1}{e^{\frac {2}{k}}-1}}\\&=[k;3k ,5k,7k,\dots ]\\&={k+{\cfrac {1}{3k+{\cfrac {1}{5k+{\cfrac {1}{7k+{\cfrac {1}{\;\,\ ddots }}}}}}}}}\\\end{aligned}}} ( k = 1 , 2 , 3 , … ) {\displaystyle (k=1,2,3,\dots )}

Eine weitere klassische Kettenbruchentwicklung, die nicht regulär ist, stammt ebenfalls von Euler:[25]

( 4 ) 1 e − 1 = 0 + 1 1 + 2 2 + 3 3 + 4 ⋱ ≈ 0,581 97670686932 {\displaystyle (4){\begin{aligned}{\frac {1}{e-1}}}& = {0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{\;\,\ddots }}}}}} } }}\approx 0.58197670686932\end{aligned}}} A073333 in OEIS)

Eine weitere Kettenbrucherweiterung der Eulerschen Zahl geht auf Euler und Ernesto Cesàro zurück, die einem anderen Muster folgt als in (1):[26]

( 5 ) e = 2 + 1 1 + 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 + 5 6 + 6 7 + 7 8 + ⋯ {\displaystyle (5){\begin{aligned}e&=2+{\ cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{5+{\cfrac {5}{ 6+{\cfrac {6}{7+{\cfrac {7}{8+\dotsb }}}}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}}

Im Zusammenhang mit der Eulerschen Zahl gibt es auch eine Vielzahl allgemeiner Kettenbruchfunktionsgleichungen

Als eine von mehreren erwähnt Oskar Perron die folgende allgemeine Darstellung der e {\displaystyle e} -Funktion:[26]

( 6 ) ez = 1 + z 1 − 1 z 2 + z − 2 z 3 + z − 3 z 4 + z − 4 z 5 + z − 5 z 6 + z − 6 z 7 + z − 7 z 8 + z − ⋯ {\displaystyle (6){\begin{aligned}{e^{z}}&=1+{\cfrac {z}{1-{\cfrac {1z}{2+z-{\cfrac { 2z}{3+z-{\cfrac {3z}{4+z-{\cfrac {4z}{5+z-{\cfrac {5z}}{6+z-{\cfrac {6z}{7+ z -{\cfrac {7z}{8+z-\dotsb }}}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}} ( z ∈ C ) {\displaystyle (z\in \ mathbb {C} )}

Ein weiteres Beispiel hierfür ist die Entwicklung des hyperbolischen Tangens von Johann Heinrich Lambert, der zu Lamberts Kettenbrüchen gezählt wird:[27][28]

( 7 ) tanh ⁡ z = ez − e − zez + e − z = e 2 z − 1 e 2 z + 1 = 0 + z 1 + z 2 3 + z 2 5 + z 2 7 + z 2 9 + z 2 11 + z 2 13 + z 2 15 + ⋯ {\displaystyle (7){\begin{aligned}{\tanh z}&={\frac {e^{z}-e^{-z}}}{ e^{z}+e^{-z}}}\\&={\frac {e^{2z}-1}{e^{2z}+1}}\\&=0+{\cfrac { z }{1+{\cfrac {z^{2}}{3+{\cfrac {z^{2}}}{5+{\cfrac {z^{2}}}{7+{\cfrac { z^{ 2}}{9+{\cfrac {z^{2}}{11+{\cfrac {z^{2}}}{13+{\cfrac {z^{2}}{15+\ dotsb }}} }}}}}}}}}}}}\end{aligned}}} ( z ∈ C ∖ { ich π 2 + k π : k = 0 , 1 , 2 , 3 , … } ) {\displaystyle \ left(z\in \mathbb {C} \setminus \left\{{\frac {\mathrm {i} \pi }{2}}+k\pi \colon k=0,1,2, 3,\dotsc\right\}\right)}

Erst 2019 fand ein Team um Gal Raayoni am Technion mit Hilfe eines nach Srinivasa Ramanujan als Ramanujan-Maschine benannten Computerprogramms eine weitere und bisher unbekannte Kettenbrucherweiterung für die Eulersche Zahl, letztlich basierend auf einem Trial-and- Fehlermethode

Im Vergleich zu allen bisher bekannten Kettenbruchentwicklungen, die alle von jeder ganzen Zahl kleiner als die Eulersche Zahl zunehmen, ist dies die erste, die von der ganzen Zahl 3, einer ganzen Zahl größer als die Eulersche Zahl, absteigt.[29] Allein das Auffinden eines (einzelnen) solchen absteigenden Kettenbruchs einer ganzen Zahl größer als die Eulersche Zahl ( 3 > e ) {\displaystyle (3>e)} legt nahe, dass es unendlich viele solcher absteigender Kettenbrüche von ganzen Zahlen mit n { \displaystyle n} gibt n > e {\displaystyle n>e} was auch zur Eulerschen Zahl führt.

( 8 ) e = 3 + − 1 4 + − 2 5 + − 3 6 + − 4 7 + − 5 8 + ⋯ {\displaystyle (8){\begin{aligned}e&=3+{\cfrac {-1 }{4+{\cfrac {-2}{5+{\cfrac {-3}{6+{\cfrac {-4}{7+{\cfrac {-5}{8+\dotsb }}}} }}}}}}\end{aligned}}}

Illustrative Interpretationen der Euler-Zahl [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Das folgende Beispiel macht nicht nur die Berechnung der Eulerschen Zahl anschaulicher, es beschreibt auch die Entdeckungsgeschichte der Eulerschen Zahl: Ihre ersten Ziffern fand Jakob I

Bernoulli bei der Untersuchung des Zinseszinses

Der Grenzwert der ersten Formel lässt sich wie folgt interpretieren: Jemand zahlt am 1

Januar einen Euro auf die Bank ein

Die Bank garantiert ihm einen laufenden Zinssatz von z = 100 % {\displaystyle z=100\,\%} pro Jahr

Wie hoch ist sein Guthaben am 1

Januar des nächsten Jahres, wenn er die Zinsen zu den gleichen Bedingungen anlegt? Nach der Zinseszinsformel wird das Startkapital K 0 {\displaystyle K_{0}} nach n {\displaystyle n} Verzinsung mit Zinssatz z {\displaystyle z} zum Kapital

K

n = K

0 ( 1 + z ) n

{\displaystyle K_{n}=K_{0}(1+z)^{n}.}

In diesem Beispiel ist K 0 = 1 {\displaystyle K_{0}=1} und z = 100 % = 1 {\displaystyle z=100\,\%=1} wenn der Zinszuschlag jährlich ist, oder z = 1 / n {\displaystyle z=1/n} , wenn der Zinszuschlag n {\displaystyle n} mal im Jahr anfällt, also unterjährig verzinst wird

Bei einem Jahreszuschlag wäre das schon

K 1 = 1 ⋅ ( 1 + 1 ) 1 = 2 ,00

{\displaystyle K_{1}=1\cdot (1+1)^{1}=2{.}00.}

Mit einem halbjährlichen Aufschlag haben Sie z = 1 2 {\displaystyle z={\frac {1}{2}}} ,

K 2 = 1 ⋅ ( 1 + 1 2 ) 2 = 2 , 25 {\displaystyle K_{2}=1\cdot \left(1+{\frac {1}{2}}\right)^{2}= 2{,}25}

also etwas mehr

Mit täglicher Aufzinsung ( z = 1 / 365 ) {\displaystyle (z=1/365)} erhält man

K 365 = 1 ⋅ ( 1 + 1 365 ) 365 = 2,714 567

{\displaystyle K_{365}=1\cdot \left(1+{\frac {1}{365}}\right)^{365}= 2.714567.}

Wenn zu jedem Zeitpunkt kontinuierlich zusammengesetzt wird, wird n {\displaystyle n} unendlich groß, und man erhält die erste oben angegebene Formel für e {\displaystyle e}.

e {\displaystyle e} findet sich auch oft in der Wahrscheinlichkeitstheorie: For Angenommen, ein Bäcker gibt für jedes Brötchen eine Rosine in den Teig und knetet ihn gut durch

Demnach enthält statistisch gesehen jedes e {\displaystyle e} -te Brötchen keine Rosine

Die Wahrscheinlichkeit p {\displaystyle p} dass bei n {\displaystyle n} Würfen keine der n {\displaystyle n} Rosinen in einer festen Wahl ist, ergibt die Grenze für n → ∞ {\displaystyle n\to \ infty } (37%-Regel):

p = lim n → ∞ ( n − 1 n ) n = lim n → ∞ ( 1 − 1 n ) n = 1 e

{\displaystyle p=\lim _{n\to \infty}\left({\frac {n-1}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\left (1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}={\frac {1}{e}}.}

Briefe und die dazugehörigen Umschläge mit den Adressen werden unabhängig voneinander geschrieben

Dann werden die Briefe ohne hinzusehen, also rein zufällig, in die Umschläge gesteckt

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Brief nicht im richtigen Umschlag ist? Euler löste dieses Problem und veröffentlichte es 1751 in dem Aufsatz „Berechnung der Erfolgswahrscheinlichkeit“

Bemerkenswert ist, dass sich die Wahrscheinlichkeit ab einer Zahl von 7 Buchstaben kaum ändert

Sie wird sehr gut angenähert durch 1 / e = 0,367 879 ⋯ ≈ 36,787 9 % {\displaystyle 1/e=0,367879\dots \approx 36,7879\,\%} , die Grenze der Wahrscheinlichkeiten bei zunehmender Buchstabenzahl.

Ein Jäger hat nur einen Schuss zur Verfügung

Aus einem Taubenschwarm, dessen Anzahl er kennt und der in zufälliger Reihenfolge an ihm vorbeifliegt, soll er die größte schießen

Was ist die beste Strategie für seine Chancen, die größte Taube zu treffen? Dieses Taubenproblem wurde von dem amerikanischen Mathematiker Herbert Robbins (* 1915) formuliert

Dasselbe Entscheidungsproblem besteht auch bei der Einstellung des besten Mitarbeiters für n Bewerber (Sekretärinnenproblem) und ähnlichen Verschleierungen

Lösung: Die optimale Strategie besteht darin, zuerst k {\displaystyle k} Tauben ( k < n ) {\displaystyle (k

Bei dieser optimalen Strategie beträgt die Wahrscheinlichkeit, die größte Taube zu fangen, etwa 1 / e {\displaystyle 1/e} unabhängig von n, was nicht zu klein sein sollte

Wenn wir k / n {\displaystyle k/n} als Schätzwert für 1 / e {\displaystyle 1/e} wählen, dann folgt: k ≈ 1 / e ∗ n {\displaystyle k\approx 1/e*n }

Bei 27 Tauben sollten Sie also nur 10 vorbeifliegen lassen

Bemerkenswert ist, dass in etwa 2 / 3 {\displaystyle 2/3} aller Fälle die gewünschte optimale Lösung nicht erreicht wird.[30] Für die Poisson-, die Exponential- und die Normalverteilung wird neben anderen Größen zur Beschreibung der Verteilung e {\displaystyle e} verwendet

Charakterisierung der Eulerschen Zahl nach Steiner [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Im vierzigsten Band von Crelle’s Journal von 1850 gibt der Schweizer Mathematiker Jakob Steiner eine Charakterisierung der Eulerschen Zahl e {\displaystyle e} , wonach e {\displaystyle e} als Lösung eines Extremwertproblems verstanden werden kann

Steiner zeigte, dass die Zahl e {\displaystyle e} als die eindeutig bestimmte positive reelle Zahl charakterisiert werden kann, die, wenn man aus sich selbst die Quadratwurzel zieht, die größte Wurzel ergibt

Wörtlich schreibt Steiner: “Wenn jede Zahl eine eigene Wurzel hat, dann liefert die Zahl e die allergrößte Wurzel.”[31]

Steiner beschäftigt sich hier mit der Frage, ob für die Funktion

f : ( 0 , ∞ ) → ( 0 , ∞ ) , x ↦ f ( x ) = xx = x 1 x {\displaystyle f\colon (0,\infty )\to (0,\infty ),\;x \mapsto f(x)={\sqrt[{x}]{x}}=x^{\frac {1}{x}}}

das globale Maximum existiert und wie man es bestimmt

Seine Aussage ist, dass es existiert und nur in xmax = e {\displaystyle x_{\mathrm{max} }=e}.

akzeptiert wird

Heinrich Dörrie gibt in seinem Buch Triumph Dermathematik eine elementare Lösung für diesen Extremwert Problem

Sein Ansatz geht von der folgenden wahren Aussage über die reelle Exponentialfunktion aus:

∀ y ∈ R ∖ { 0 } : e y > 1 + y {\displaystyle \forall y\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\colon e^{y}>1+y}

Nach der Substitution y = x − e e {\displaystyle y={\frac {x-e}{e}}} folgt für alle reellen Zahlen x ≠ e {\displaystyle x

eq e}

e x − e e > 1 + x − e e , {\displaystyle e^{\frac {x-e}{e}}>1+{\frac {x-e}{e}}},}

durch einfache Umformungen

e x e > x {\displaystyle e^{\frac {x}{e}}>x}

und schließlich für alle positiven x ≠ e {\displaystyle x

eq e} durch Quadratwurzel[32][33]

e e > x x

{\displaystyle {\sqrt[{e}]{e}}>{\sqrt[{x}]{x}}.}

Es gibt verschiedene ungefähre Darstellungen mit Brüchen für die Zahl e {\displaystyle e} und davon abgeleitete Größen

So fand Charles Hermite die folgenden gebrochenen Annäherungen:

e ≈ 58291 21444 ≈ 2,718 289498 {\displaystyle e\approx {\frac {58291}{21444}}\approx 2,718289498} e 2 ≈ 158452 21444 ≈ 7,389 10651 {\displaystyle e {approx \445}15 \ungefähr 7,38910651}

Hier weicht der erste Bruch um weniger als 0,0003 Prozent von e {\displaystyle e} ab.[34] Die optimale gebrochene Näherung im dreistelligen Zahlenbereich, also die optimale gebrochene Näherung e ≈ Z 0 N 0 {\displaystyle e\approx {\frac {Z_{0}}{N_{0}}}} mit N 0 , Z 0 < 1000 {\ displaystyle N_{0},Z_{0}<1000} , ist

e ≈ 878 323 ≈ 2,718 266254 {\displaystyle e\approx {\frac {878}{323}}\approx 2,718266254} [35]

Diese Annäherung ist jedoch nicht die beste Annäherung an einen Bruch im Hinblick auf die Anforderung, dass der Nenner höchstens drei Stellen haben sollte

In diesem Sinne ist die beste Annäherung eines Bruchs der 9

Annäherungsbruch der Kettenbrucherweiterung der Eulerschen Zahl:

e ≈ 1457 536 ≈ 2,718 28358 … {\displaystyle e\approx {\frac {1457}{536}}\approx 2,71828358\dots }

Die angenäherten Brüche der zu e {\displaystyle e} gehörigen Kettenbrucherweiterungen (siehe oben) ergeben beliebig genaue Bruchannäherungen für e {\displaystyle e} und daraus abgeleitete Größen

Mit diesen können Sie sehr effizient beste Annäherungen an Brüche der Eulerschen Zahl in jedem Zahlenbereich finden

Beispielsweise erhält man im fünfstelligen Zahlenbereich die beste gebrochene Näherung

e ≈ 49171 18089 ≈ 2,718 281828735 … {\displaystyle e\approx {\frac {49171}{18089}}\approx 2,718281828735\dots }

was zeigt, dass die von Charles Hermite gefundene fraktionale Annäherung für die Eulersche Zahl im fünfstelligen Bereich noch nicht optimal war

e − 1 2 ≈ 342762 398959 {\displaystyle {\frac {e-1}{2}}\approx {\frac {342762}{398959}}}

für Eulersche Zahl eine weitere Verbesserung, nämlich

e ≈ 1084483 398959 ≈ 2,718 2818284585 … {\displaystyle e\approx {\frac {1084483}{398959}}\approx 2,7182818284585\dots }

erreicht werden soll.[36]

Insgesamt beginnt die Folge der besten Näherungsbrüche der Eulerschen Zahl, die sich aus ihrer regulären Kettenbruchdarstellung ergeben, wie folgt:[37]

p 0 q 0 = [ 2 ] = 2 1 {\displaystyle {\frac {p_{0}}{q_{0}}}=[2]={\frac {2}{1}}}

p 1 q 1 = [ 2 ; 1 ] = 3 1 {\displaystyle {\frac {p_{1}}{q_{1}}}=[2;1]={\frac {3}{1}}}

p 2 q 2 = [ 2 ; 1 , 2 ] = 8 3 {\displaystyle {\frac {p_{2}}{q_{2}}}=[2;1,2]={\frac {8}{3}}}

p 3 q 3 = [ 2 ; 1 , 2 , 1 ] = 11 4 {\displaystyle {\frac {p_{3}}{q_{3}}}=[2;1,2,1]={\frac {11}{4}}}

p 4 q 4 = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 ] = 19 7 {\displaystyle {\frac {p_{4}}{q_{4}}}=[2;1,2,1,1]={\frac {19}{ 7}}}

p 5 q 5 = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 ] = 87 32 {\displaystyle {\frac {p_{5}}{q_{5}}}=[2;1,2,1,1,4]={\frac {87}{32}}}

p 6 q 6 = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 ] = 106 39 {\displaystyle {\frac {p_{6}}{q_{6}}}=[2;1,2,1,1,4,1] ={\frac {106}{39}}}

p 7 q 7 = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 ] = 193 71 {\displaystyle {\frac {p_{7}}{q_{7}}}=[2;1,2,1,1,4, 1.1]={\frac {193}{71}}}

p 8 q 8 = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 ] = 1264 465 {\displaystyle {\frac {p_{8}}{q_{8}}}=[2;1,2,1,1, 4,1,1,6]={\frac {1264}{465}}}

p 9 q 9 = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 ] = 1457 536 {\displaystyle {\frac {p_{9}}{q_{9}}}=[2;1,2,1, 1,4,1,1,6,1]={\frac {1457}{536}}}

p 10 q 10 = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 ] = 2721 1001 {\displaystyle {\frac {p_{10}}{q_{10}}}=[2;1,2, 1,1,4,1,1,6,1,1]={\frac {2721}{1001}}}

p 11 q 11 = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 ] = 23225 8544 {\displaystyle {\frac {p_{11}}{q_{11}}}=[2;1, 2,1,1,4,1,1,6,1,1,8]={\frac {23225}{8544}}}

… {\displaystyle \dots}

p 20 q 20 = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , 1 , 1 , 10 , 1 , 1 , 12 , 1 , 1 , 14 ] = 410105312 150869313 {\displaystyle {\frac { p_{20}}{q_{20}}}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12, 1,1,14]={\frac {410105312}{150869313}}}

… {\displaystyle \dots}

Berechnung der Nachkommastellen [Bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Die Serienanzeige wird normalerweise zur Berechnung der Nachkommastellen verwendet

e = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + 1 4 ! + ⋯ = 1 + 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + ⋯ {\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1 }{4!}}+\dotsb =1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+\dotsb }

ausgewertet, die schnell konvergiert

Wichtig bei der Implementierung ist die Großzahlarithmetik, damit Rundungsfehler das Ergebnis nicht verfälschen

Eine Methode, die ebenfalls auf dieser Formel basiert, aber keine komplexe Implementierung erfordert, ist der Trickle-Algorithmus zur Berechnung der Dezimalstellen von e {\displaystyle e} , den A

H

J

Sale gefunden hat.[38] Entwicklung der Anzahl bekannter Dezimalstellen von e {\displaystyle e} Datum Zahl der Mathematiker 1748 23 Leonhard Euler[39] 1853 137 William Shanks 1871 205 William Shanks 1884 346 J

Marcus Boorman 1946 808 ? 1949 2.010 John von Neumann (berechnet mit ENIAC) 1961 100.265 Daniel Shanks und John Wrench 1981 116.000 Steve Wozniak (berechnet mit Apple II) 1994 10.000.000 Robert Nemiroff und Jerry Bonnell Mai 1997 18.199.978 Patrick Demichel August 1990.20.0.0.0.0.00 Birger Seifert September 1997 50.000.817 Patrick Demichel Februar 1999 200.000.579 Sebastian Wederiwski Oktober 1999 869.894.101 Sebastian Wedeievi 21

November 1999 1.250.000.000 Xavier Gourdon 10

Juli 2000 2.147.483.648 SHIGERU Kondo und Xavier Gourdon 16

Juli 2000 3.221

225.472 Colin Martin und Xavier Gourdon 2

August 2000 6.442.450.944 Shigeru Kondo und Xavier Gourdon 16

August 2000 12.884.901.000 Shigeru Kondo und Xavier Gourdon 21

August 2003 25.100.000.000 Shigeru Kondo und Xavier Gourdon 18

September 2003 50.100.000.000 Shigeru Kondo und Xavier Gourdon 27

April 2007 100.000.000.000 Shigeru Kondo und Steve Pagliarulo, 6

Mai 2009 200,000,000,000 € Shigeru Kondo und Steve Pagliarulo Februar 2010 500.000,0 00.000 Alexander Yee [40] 5

Juli 2010 1.000.000.000.000 Shigeru Kondo [40] 24

Juni 2015 1.400.000.000.000 Ellie HEBERT [40] 14

Februar 2016 1.500.000.000.000 Ron Watkins [40] 29

Mai 2016 2.500.000.000.000 “Yoyo” – Unverifizierte Berechnung [40] 29

August 2016 5.000.000.000.000 Ron Watkins [40] 3

Januar 2019 8.000.000.000.000 Gerald HOFMANN [40] 11

Juli 11

Januar , 2020 12.000

000.000.000 David Christle[40] 22

November 2020 31.415.926.535.897 David Christle[40]

Eulers Nummer in den Medien [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

In der Fernsehserie Die Simpsons und ihrer Fortsetzung Futurama gibt es viele mathematische Referenzen, einige haben auch mit Eulers Zahl e {\displaystyle e} und Euler zu tun.[41] 1995 gewährte die Nummer 2-7-1-8-2-8 in der Fernsehserie Akte X zwei FBI-Agenten Zugang zu einem geheimen Archiv

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Da ging es nicht um die Euler-Zahl, sondern um die Napier-Konstante.[42] – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Eulersche Zahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

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 Update How to use the EXP Function in Excel
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Was ist das gegenteil vom Logarithmus (Log) – Rückwärts … New

14/02/2016 · Das wäre die Exponentialfunktion: log(0,0000182)= -4,739. also: 0,0000182=exp(-4,739) edit: KuarThePirat hat Recht, du meintest wohl mit “log” den Zehner-Logarithmus und nicht den natürlichen. Dann wäre die Inverse Funktion also 10^x: 0,0000182=10^(-4,739)

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lg(0,0000182) = – 4,739

-log(0.0000182)= 4.739

Das Logarithmieren ist eine der inversen Arithmetik zur Potenzierung

Exponentiation hat (im Gegensatz zu Addition und Multiplikation) wegen der Nichtkommutativität zwei davon:

Ziehe die Quadratwurzel, um eine Basis zu finden

Den Logarithmus nehmen, um einen Exponenten zu finden

log a(b) = x manchmal auch log_a (b) = x

eigentlich wird das a abgesenkt und etwas kleiner geschrieben (das ist mit diesem Editor nicht möglich.

Sie müssen sich klar sein, wenn Sie sehen, dass: x der Exponent ist), a die Basis ist; Was bleibt, ist der Potenzwert

Dann funktioniert die wichtige Umrechnung immer: log a(b) = x <====> a^x = b

Das muss man im Schlaf können!

-log(0.0000182) = 4.739 Ihr Beispiel

Es fehlt also die Basis

Das geht nicht im Kopf; und längst nicht jeder Taschenrechner kann das

Bearbeiten Sie zuerst das Minus:

log(0,0000182) = – 4,739 <====> b^(- 4,739 ) = 0,0000182

Bei Wolfram erhalten Sie b = 10

Dies ist natürlich eine sehr beliebte Basis, da wir das Dezimalsystem verwenden

Es wird oft geschrieben als lg.

lg (0,0000182) = – 4,739 oder log 10 (0,0000182) = – 4,739

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Potenz (Mathematik) – Wikipedia New Update

Definition. Man spricht als a hoch n, n-te Potenz von a, a zur n-ten Potenz oder kurz a zur n-ten aus. Im Fall = ist auch a (zum) Quadrat üblich.. heißt Basis (oder Grundzahl), heißt Exponent (oder Hochzahl) der Potenz.Das Ergebnis heißt Potenz oder Wert der Potenz.. Die Definitionsmengen sowohl auf seiten der Exponenten wie auf seiten der Basen werden im Folgenden Schritt für …

+ Details hier sehen

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig

Für das Konzept der Kraft in der Geometrie siehe Kraft (Geometrie)

Potenzwert = Basisexponent {\displaystyle {\text{Potenzwert}}={\text{Basis}}^{\text{Exponent}}} Die Notation einer Potenz:

Eine Potenz (von lat

potentia ‚Reichtum, Macht‘)[1][2] ist das Ergebnis der Potenzerhöhung (Potenzierung), die wie die Multiplikation ursprünglich eine abgekürzte Schreibweise für eine sich wiederholende mathematische Operation ist

So wie beim Multiplizieren ein Summand immer wieder addiert wird, so wird beim Potenzieren ein Faktor immer wieder multipliziert

Die zu multiplizierende Zahl heißt Basis

Wie oft diese Basis als Faktor vorkommt, wird durch den Exponenten angegeben

Man schreibt Potenzwert = Basisexponent

{\displaystyle {\text{Potenzwert}}={\text{Basis}}^{\text{Exponent}}.}

Man spricht a n {\displaystyle a^{n}} aus als a hoch n, n-te Potenz von a, a hoch n-te Potenz oder kurz a hoch n-te

Im Fall n = 2 {\displaystyle n=2} a (to) ist auch das Quadrat üblich.

a {\displaystyle a} bedeutet Basis (oder Grundzahl), n {\displaystyle n} bedeutet Exponent (oder Exponent) der Macht {\displaystyle a^{n}}

Das Ergebnis wird als Leistung oder als Wert der Leistung bezeichnet

Die Definitionsmengen sowohl auf der Seite der Exponenten als auch auf der Seite der Basen werden im Folgenden Schritt für Schritt erweitert

Natürliche Exponenten [ edit | Quelle bearbeiten ]

Die Potenz a n {\displaystyle a^{n}} wird für reelle oder komplexe Zahlen a {\displaystyle a} (allgemeiner gesagt Elemente eines beliebigen multiplikativen Monoids) und natürliche Zahlen n {\displaystyle n} angegeben

ein := ein ⋅ ein ⋅ ein ⋯ ein ⏟ n Faktoren {\displaystyle {\begin{matrix}a^{n}:=\underbrace {a\cdot a\cdot a\dotsm a} _{n\ \mathrm { Faktoren} }\end{matrix}}}

Sind festgelegt

Diese Definition gilt nur für n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\dotsc } , sodass daraus (auch nur für n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n= 1,2,3,\dotsc } ) die folgende Identität a ⋅ an = an + 1 {\displaystyle a\cdot a^{n}=a^{n+1}} auch für n = 0 {\displaystyle n= 0} gilt, ist a 0 := 1 {\displaystyle a^{0}:=1} angegeben

(Anmerkungen zum Fall a = 0 {\displaystyle a=0} siehe unten.)

Die folgende Modifikation erleichtert die Handhabung des Spezialfalls n = 0 {\displaystyle n=0} :

Potenznotation bedeutet “multiplizieren Sie die Zahl 1 mit der Basiszahl so oft, wie durch den Exponenten angegeben”, dh a n = 1 ⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋯ a ⏟ n f a c t o r s

{\displaystyle {\begin{matrix}a^{n}=1\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot a\dotsm a} _{n\ \mathrm {factors} }.\end{matrix}}}

Der Exponent 0 besagt, dass die Zahl 1 niemals mit der Basiszahl multipliziert wird und alleine steht, was das Ergebnis 1 ergibt

a 2 = 1 ⋅ a ⋅ aa 1 = 1 ⋅ aa 0 = 1 {\displaystyle {\ begin{aligned}a ^{2}&=1\cdot a\cdot a\\a^{1}&=1\cdot a\\a^{0}&=1\end{aligned}}}

Wenn die Basis negativ und der Exponent gerade ist, ist die Potenz positiv

( − | ein | ) 2 n = | ein | 2 n {\displaystyle (-|a|)^{2n}=|a|^{2n}}

Wenn die Basis negativ und der Exponent ungerade ist, ist die Potenz negativ

( − | ein | ) 2n + 1 = − | ein | 2 n + 1 {\displaystyle (-|a|)^{2n+1}=-|a|^{2n+1}}

Ganzzahlige negative Exponenten [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

Negative Exponenten bedeuten, dass Sie die Umkehroperation (Division) zur Multiplikation durchführen sollten

Also „dividiere die Zahl 1 so oft durch die Basiszahl, wie der Betrag des Exponenten anzeigt“

a − n = 1 : a : a : a : ⋯ : a ⏟ n Teiler {\displaystyle {\begin{matrix}a ^{-n}=1:\underbrace {a:a:a:\dotsb :a} _{n\\mathrm{Teiler}\end{Matrix}}}

Für eine reelle Zahl a {\displaystyle a} und eine natürliche Zahl n {\displaystyle n} definiert man:

a − n := 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}:={\frac {1}{a^{n}}},\quad a

Gl

0}

Die analoge Definition wird auch in einem allgemeineren Kontext angewendet, wenn Multiplikations- und inverse Elemente verfügbar sind, beispielsweise bei invertierbaren Matrizen

Rationale Exponenten [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Sei q {\displaystyle q} eine rationale Zahl mit der Bruchdarstellung q = mn {\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}} mit m ∈ Z , n ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,\n\in \mathbb{N} }

Für jede positive reelle Zahl a {\displaystyle a} definiert man:

aq = amn := amn {\displaystyle a^{q}=a^{\tfrac {m}{n}}:={\sqrt[{n}]{a^{m}}}} {\displaystyle \ qquad } amn := ( an ) m {\displaystyle a^{\tfrac {m}{n}}:=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}}

Zum Beispiel:

2 3 , 1 = 2 31 / 10 = 2 31 10 = ( 2 10 ) 31 {\displaystyle 2^{3,1}=2^{31/10}={\sqrt[{10}]{2^{ 31}}}=({\sqrt[{10}]{2}})^{31}}

Der Wert der Potenz hängt nicht davon ab, welche Bruchdarstellung Sie gewählt haben

Die gleiche Definition gilt auch für a = 0 {\displaystyle a=0}

Daraus folgt, dass 0 q = 0 {\displaystyle 0^{q}=0} für q > 0 {\displaystyle q>0} und dass 0 q {\displaystyle 0^{q}} für q < 0 {\ displaystyle q <0} existiert nicht

Lässt man Wurzeln negativer Zahlen mit ungeraden Wurzelexponenten zu, so kann man diese Definition auf negative Basen und solche rationalen Exponenten erweitern, deren gekürzte Bruchdarstellung ungerade Nenner hat

Dazu gehören auch Potenzen mit negativen Basen und ganzen Exponenten, denn in diesem Fall sind die Nenner gleich 1 {\displaystyle 1}

Für den Fall a < 0 {\displaystyle a<0} kann man aq {\displaystyle a ^{q}} mit allen Bruchdarstellungen q = mn {\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}} berechnen ungerade n {\displaystyle n}

Aber bei der Verwendung von Bruchdarstellungen mit geraden n {\displaystyle n} können Fehler auftreten

Zum Beispiel:

− 2 = ( − 8 ) 1 / 3 = − 8 3 = ( − 8 ) 3 9 ≠ ( − 8 ) 2 6 = 2 {\displaystyle -2=(-8)^{1/3}={\sqrt [{3}]{-8}}={\sqrt[{9}]{(-8)^{3}}}

eq {\sqrt[{6}]{(-8)^{2}}}=2}

Reelle Exponenten [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

x, 2x, ex und 10x Exponentialfunktionen 0,5, 2, e und 10

Wenn a > 0 {\displaystyle a>0} , r {\displaystyle r} eine beliebige reelle Zahl und ( qn ) {\displaystyle (q_{n } )} eine Folge rationaler Zahlen, die gegen r {\displaystyle r} konvergiert, man definiert:

ein r := lim n → ∞ ein q n {\displaystyle a^{r}:=\lim _{n\to \infty }a^{q_{n}}}

Diese Definition ist richtig, d

das heißt, die Grenze existiert immer und hängt nicht von der Wahl der Folge ab ( qn ) {\displaystyle (q_{n})}

Zum Beispiel ist 2 π {\displaystyle 2^{\pi }} gleich der Grenze von Episode 2 3 , 2 3 , 1 , 2 3 , 14 , …

{\displaystyle 2^{3},\,2^{3{,}1},\,2^{3{,}14},\,\dotsc. }

Die Definition kann nicht auf den Fall a < 0 {\displaystyle a<0} erweitert werden, da in diesem Fall der Grenzwert nicht existieren muss oder für verschiedene Wahlen der Folge ( qn ) {\displaystyle (q_{n})} unterschiedlich ist Grenzwerte ergeben

Eine andere Definition ist über die natürliche Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus möglich:

a r := exp ⁡ ( r ln ⁡ a ) {\displaystyle a^{r}:=\operatorname {exp} (r\ln a)}

Dazu kann die Exponentialfunktion über ihre Reihenentwicklung definiert werden:

exp ⁡ ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle \operatorname {exp} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}

Insgesamt sind die Potenzen mit nichtnegativen Basen für alle reellen Exponenten definiert

Im Gegensatz dazu werden die Potenzen mit negativen Basen nur für diejenigen rationalen Exponenten definiert, deren reduzierte Bruchdarstellungen ungerade Nenner haben

Alle Potenzen mit negativen Basen und ganzen Exponenten sind enthalten

Potenzen negativer Zahlen mit anderen reellen Exponenten können im Bereich der komplexen Zahlen definiert werden, sind aber nicht reellwertig

Technische Notation [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Wenn Hochstellung nicht möglich ist (z

B

in einem ASCII-Text), verwendet man oft die Notation a^b (z

B

in Algol 60,[3] im TeX-Quellcode oder in Computeralgebrasystemen wie Maple), gelegentlich auch a**b ( zB in Fortran, Perl oder Python)

Aufgrund der unterschiedlichen Wahlmöglichkeiten für die Domänen von Basis und Exponent stellt Haskell drei Potenzoperatoren zur Verfügung: a^b , a^^b und a**b. [4]

Zehnerpotenzen werden in der elektronischen Datenverarbeitung oder in der Anzeige von Taschenrechnern oft mit e oder E dargestellt

Z.B

−299792458 = −2,99792458 108

-2,9979 08 (8-stellige 7-Segment-Anzeige) -2,997925 08 (10-stellige 7-Segment-Anzeige) -2,9979256 08 (8-stellige 7-Segment-Anzeige + Exponentenfeld) -2,99792458 E+ 08 (16-stellige Punktmatrixanzeige) -2.99792458E+08 (Gleitkommadarstellung nach IEEE)

Um die folgende Tabelle nicht zu überladen, betrachten wir nur Potenzen mit reellen Basen, die ungleich 0 {\displaystyle 0} sind

Betrachtet man jedoch eines der unten aufgeführten Gesetze nur mit positiven Exponenten, dann gilt es auch für Potenzen zur Basis 0 {\displaystyle 0}

Spricht man von rationalen Zahlen mit geradem oder ungeradem Nenner, sind immer die Nenner ihrer gekürzten Bruchdarstellung gemeint

a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} für alle a ≠ 0 {\displaystyle a

eq 0} siehe unten) a − r = 1 ar {\displaystyle a^{-r}={\frac {1}{a^{r}}}} für jedes reelle r {\displaystyle r} a > 0 { \displaystyle a>0}

für jedes rationale r {\displaystyle r} mit ungeraden Nennern, wenn a < 0 {\displaystyle a<0}

amn = amn = ( an ) m {\displaystyle a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=({\sqrt[{n}] {a}})^{m}} für jedes natürliche n {\displaystyle n} m {\displaystyle m} a > 0 {\displaystyle a>0}

für jede natürliche Ungerade n {\displaystyle n} m {\displaystyle m} a < 0 {\displaystyle a<0} ar + s = ar ⋅ as {\displaystyle a^{r+s}=a^{r}\ cdot a^{s}} für jedes reelle r , s {\displaystyle r,s} a> 0 {\displaystyle a>0}

für jedes rationale r , s {\displaystyle r,s} a < 0 {\displaystyle a<0} ar − s = aras {\displaystyle a^{rs}={\frac {a^{r}}{a^ {s}}}} für jedes reelle r , s {\displaystyle r,s} a> 0 {\displaystyle a>0}

für jedes rationale r , s {\displaystyle r,s} a < 0 {\displaystyle a<0} ( a ⋅ b ) r = ar ⋅ br {\displaystyle (a\cdot b)^{r}=a^{ r}\cdot b^{r}} für jede natürliche r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} a ⋅ b ≠ 0 {\displaystyle a\cdot b

Gl

0}

für jedes reelle r {\displaystyle r} , wenn a > 0 , b > 0 {\displaystyle a>0,b>0} ;

für alle rationalen r {\displaystyle r} mit ungeraden Nennern, wenn mindestens eine der Zahlen a , b {\displaystyle a,b} negativ ist

( ab ) r = arbr {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}}} für beliebig b ≠ 0 {\displaystyle b

eq 0} r {\displaystyle r} r ≤ 0 {\displaystyle r\leq 0} a ≠ 0 {\displaystyle a

Gl

0}

für jedes reelle r {\displaystyle r} , wenn a > 0 , b > 0 {\displaystyle a>0,b>0} ;

für alle rationalen r {\displaystyle r} mit ungeraden Nennern, wenn mindestens eine der Zahlen a , b {\displaystyle a,b} negativ ist

( ar ) s = ar ⋅ s {\displaystyle (a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}} für jede ganze Zahl r , s {\displaystyle r,s} a ≠ 0 {\ Anzeigestil a

Gl

0}

für jedes reelle r , s {\displaystyle r,s} a > 0 {\displaystyle a>0}

für jedes rationale r , s {\displaystyle r,s} a < 0 {\displaystyle a<0}

Wenn mindestens einer der Exponenten r , s {\displaystyle r,s} irrational ist oder wenn beide rational sind, aber mindestens eine der Zahlen r {\displaystyle r} oder r ⋅ s {\displaystyle r\cdot s} einen geraden Nenner hat, dann ist einer der Ausdrücke ( ar ) s {\displaystyle (a^{r})^{s}} oder ar ⋅ s {\displaystyle a^{r\cdot s}} für a < 0 {\displaystyle a<0} undefiniert

Ansonsten sind beide definiert und stimmen entweder überein oder unterscheiden sich nur durch ihr Vorzeichen

Für beliebige r, s {\displaystyle r,s} , wenn a > 0 {\displaystyle a>0} , und für ganze r , s {\displaystyle r,s} , wenn a ≠ 0 {\displaystyle a

eq 0}, sie stimmen immer überein

Für a < 0 {\displaystyle a<0} und nicht ganzzahliges, aber rationales r , s {\displaystyle r,s} sind diese beiden Fälle möglich

Welcher Fall eintritt, hängt von der Anzahl der Zweien in der Primzahlzerlegung des Zählers von r {\displaystyle r} und des Nenners von s {\displaystyle s} ab

Um das rechte Vorzeichen auf der rechten Seite der Formel ( ar ) s = ± ar ⋅ s {\displaystyle (a^{r})^{s}=\pm a^{r\cdot s}} zu sehen, reicht es aus a = − 1 {\displaystyle a=-1} in diese Formel einzusetzen

Das Vorzeichen, mit dem es dann bei a = − 1 {\displaystyle a=-1} gilt, bleibt für alle a < 0 {\displaystyle a<0} und ein gegebenes r , s {\displaystyle r,s} richtig

Wenn ( ar ) s = − ar ⋅ s {\displaystyle (a^{r})^{s}=-a^{r\cdot s}} für a < 0 {\displaystyle a<0} , dann ( ar ) s = | ein | r ⋅ s {\displaystyle (a^{r})^{s}=|a|^{r\cdot s}} für alle a ≠ 0 {\displaystyle a

eq 0} (und auch für a = 0 {\displaystyle a=0} , wenn alle Exponenten positiv sind)

Zum Beispiel ( ( − 1 ) 2 ) 1 2 = 1 {\displaystyle ((-1)^{ 2 })^{\frac {1}{2}}=1} und ( − 1 ) 2 ⋅ 1 2 = − 1 {\displaystyle (-1)^{2\cdot {\frac {1}{2} } }=-1}

Also a 2 = ( a 2 ) 1 2 = − a 2 ⋅ 1 2 = − a {\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=(a^{2})^{\frac {1} { 2}}=-a^{2\cdot {\frac {1}{2}}}=-a} für alle a < 0 {\displaystyle a<0} und somit a 2 = | ein | {\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=|a|} gültig für alle reellen a {\displaystyle a}

Exponentiation ist auch nicht kommutativ, denn zum Beispiel 2 3 = 8 ≠ 9 = 3 2 { \displaystyle 2^{3}=8

ot =9=3^{2}} , immer noch assoziativ, denn zum Beispiel ( 3 1 ) 3 = 27 ≠ 3 = 3 ( 1 3 ) {\displaystyle \left(3^{1}\right)^{ 3} =27

eq 3=3^{\left(1^{3}\right)}}.

Die Schreibweise abc {\displaystyle a^{b^{c}}} ohne Klammern bedeutet a ( bc ) {\displaystyle a^{ (b^{c})}} , potenzieren ist also rechtsassoziativ, siehe Operatorranking.

Potenzen komplexer Zahlen [ edit | Quelle bearbeiten ]

Für ganzzahlige Exponenten kann man wie im Realfall Potenzen mit komplexen Basen definieren

Für beliebige reelle oder komplexe Exponenten muss man jedoch anders vorgehen

Der erste Schritt zur Definition von Potenzen mit komplexen Basen und Exponenten besteht in der stetigen Erweiterung der Funktion ex {\displaystyle e^{x}} auf die Menge C {\displaystyle \ mathbb {C} } der komplexen Zahlen

Dazu gibt es verschiedene Möglichkeiten

Sie können zum Beispiel die Serie verwenden

e z = ∑ n = 0 ∞ z n n ! {\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}

was für alle z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } und für alle z = x ∈ R {\displaystyle z=x\in \mathbb {R} } die Funktion ex {\displaystyle e ^{ x}} gibt an

Unter Verwendung von Operationen auf Reihen beweist man dann, dass ez 1 + z 2 = ez 1 ez 2 {\displaystyle e^{z_{1}+z_{2}}=e^{z_{1}}e^{z_ {2 }}}

für beliebiges z 1 , z 2 ∈ C {\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} } und die Euler-Formel

e ich y = cos ⁡ y + ich Sünde ⁡ y {\ displaystyle e ^ {i \, y} = \ cos y + i \, \ sin y}

für jedes y ∈ R {\displaystyle y\in \mathbb {R} }

Daraus folgt die Formel

ex + iy = ex ( cos ⁡ y + ich sin ⁡ y ) {\displaystyle e^{x+i\,y}=e^{x}\,(\cos {y}+i\,\sin {y })}

was auch für die Definition von e z {\displaystyle e^{z}} verwendet werden kann

Diese Formel zeigt, dass die Wertemenge von ez {\displaystyle e^{z}} C ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}} ist und dass diese Funktion mit periodisch ist Perioden 2 k π ich {\displaystyle 2k\pi i} , k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} }.

Daher ist seine Umkehrfunktion Ln ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {Ln} ( z)} mehrdeutig und für alle z ≠ 0 {\displaystyle z

eq 0} definiert

Sie kann mit der Formel Ln ⁡ ( z ) = ln ⁡ | berechnet werden z | + ich Arg ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {Ln} (z)=\ln |z|+i\operatorname {Arg} (z)} wobei | z | {\displaystyle |z|} der Absolutwert, Arg ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {Arg} (z)} die Wertemenge des Arguments von z {\displaystyle z} und ln ⁡ | z | {\displaystyle \ln |z|} ist der übliche reelle Logarithmus

Der Hauptwert ln ⁡ ( z ) {\displaystyle \ln(z)} dieser Funktion ergibt sich aus der Verwendung des Hauptwerts arg ⁡ ( z ) {\displaystyle \operatorname {arg} (z)} anstelle von Arg ⁡ ( z ) {\ displaystyle \operatorname {Arg} (z)} wird verwendet

Für reelles z = x > 0 {\displaystyle z=x>0} gilt gemäß der üblichen Definition arg ⁡ ( x ) = 0 {\displaystyle \operatorname {arg} (x)=0} , also ist diese Funktion ln { \ displaystyle \ln } auf der Menge R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} stimmt mit dem üblichen reellen Logarithmus überein

Für a , z ∈ C {\displaystyle a,z\in \mathbb {C} } mit a ≠ 0 {\displaystyle a

eq 0} ist dann definiert:

a z = e z Ln a {\displaystyle a^{z}=e^{z\,\operatorname {Ln} \,a}}

Dies ist auch eine mehrdeutige Funktion, deren Hauptwert durch Verwendung von ln {\displaystyle \ln } anstelle von Ln {\displaystyle \operatorname {Ln} } erhalten wird

Aber für z = n ∈ Z {\displaystyle z=n\in \ mathbb {Z} } verschwindet diese Mehrdeutigkeit und es entstehen Standardpotenzen mit ganzen Exponenten, die im ersten Abschnitt definiert wurden

Sei a ≠ 0 {\displaystyle a

eq 0} und φ ∈ Arg ⁡ ( a ) {\displaystyle \varphi \in \operatorname {Arg} (a)} , zeichnet dann die Exponentialdarstellung

ein = | ein | e ich φ {\ displaystyle a = | a | \, e ^ {i \ varphi }}

nachdem

ein n = | ein | n e ich n φ {\displaystyle a^{n}=|a|^{n}\,e^{in\varphi }}

gilt.

Für einen rationalen Exponenten q {\displaystyle q} mit der verkürzten Bruchdarstellung q = mn {\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}} , mit m ∈ Z , n ∈ N {\displaystyle m \ in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} } hat die Potenz aq {\displaystyle a^{q}} genau n {\displaystyle n} unterschiedliche Werte

Dies gilt insbesondere für a n = a 1 n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}

Wenn n {\displaystyle n} ungerade ist und a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } , dann gibt es genau eine reelle Zahl darunter, und das ist die Zahl aq {\displaystyle a^{q} } aus Abschnitt 1.3

Wenn n {\displaystyle n} gerade ist und a < 0 {\displaystyle a<0} , dann nimmt a q {\displaystyle a^{q}} keine reellen Werte an

Ist aber n {\displaystyle n} gerade und a > 0 {\displaystyle a>0}, dann nimmt die Potenz a q {\displaystyle a^{q}} genau zwei reelle Werte an, die unterschiedliche Vorzeichen haben

In diesem Fall ist die positive gleich der Zahl aq {\displaystyle a^{q}} aus Abschnitt 1.3

Als Beispiel betrachten wir die Potenz i {\displaystyle i} hoch i {\displaystyle i }.

Aus | ich | = 1 {\displaystyle |i|=1} und

Arg ⁡ ( ich ) = π 2 + 2 π k {\displaystyle \operatorname {Arg} (i)={\frac {\pi }{2}}+2{\pi }k} k ∈ Z {\displaystyle k \in\mathbb{Z}}

folgt

Ln ⁡ ( ich ) = ich ( π 2 + 2 π k )

{\displaystyle \operatorname {Ln} (i)=i\left({\frac {\pi }{2}}+2{\pi }k\right).}

Daraus ergibt sich: ii = ei ⋅ ich ( π 2 + 2 π k ) = e − π 2 − 2 π k {\displaystyle i^{i}=e^{i\cdot i({\frac {\pi } {2}} +2\pi k)}=e^{-{\frac {\pi }{2}}-2\pi k}} k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} }

Der Hauptwert entspricht k = 0 {\displaystyle k=0} und ist gleich e − π 2

{\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}.}

Besondere Kräfte [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

Ganzzahlige Zehnerpotenzen (Zehnerpotenzen) bilden die Grundlage unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems

Als Potenz geschrieben, z

10−9 für 0,000000001 oder 1011 für 100 Milliarden werden sie in den Naturwissenschaften verwendet, um sehr große oder sehr kleine positive Zahlen darzustellen

In Mathematik und Technik Potenzen mit der Basis e ≈ 2,718 2818284590452 { \displaystyle e\approx 2,7182818284590452} , Eulersche Zahl

Zweierpotenzen ergeben sich durch wiederholtes Verdoppeln

Das überraschend schnelle Wachstum der Zahlen macht Zweierpotenzen für praktische Beispiele beliebt

Ein Blatt Papier in Standardgröße kann nur etwa sieben Mal in der Mitte gefaltet werden

Es hat dann 128 Schichten und nur ein 128stel seiner Fläche

Könnte man ihn 42 Mal falten, was nur theoretisch möglich ist, entspräche seine Dicke von etwa 400.000 km etwa der Entfernung von der Erde zum Mond

Jeder hat zwei leibliche Eltern und die meisten haben vier Großeltern und acht Urgroßeltern

Ohne den Verlust von Vorfahren wären das vor 70 Generationen, zum Zeitpunkt der Geburt Christi, 2 70 ≈ 10 21 {\displaystyle 2^{70}\approx 10^{21}} Vorfahren, obwohl weniger als 10 9 Menschen lebten damals.

Vorfahren, obwohl damals weniger als 10 Menschen lebten

Auch die Weizenkorn-Legende des Erfinders des Schachspiels, der die Anzahl der Weizenkörner auf jedem Feld des Schachbretts verdoppelte, verdeutlicht das rasante Wachstum der Zweierpotenzen

Das duale System mit Basis 2 dient der digitalen Verarbeitung von Daten am Computer

Die Größeneinheiten digitaler Speichersysteme sind also Zweierpotenzen, also die Potenzen zur Basis von 2 (also 1, 2, 4, 8, 16,. ..)

Ein Kibibyte (abgekürzt als KiB) entspricht 2 10 = 1024 {\displaystyle 2^{10}=1024} Bytes.

In Schneeballsystemen, zum Beispiel sogenannten Geschenkkreisen, werden manchmal Systeme gestartet, die sich nicht nur verdoppeln, sondern Verachten Sie zum Beispiel die Zahl der neuen Mitglieder pro Schritt

Solche Folgen wachsen so schnell, dass die Systeme nach wenigen Schritten unweigerlich zusammenbrechen

See also  The Best 15 zoll wie groß Update

Die von den Initiatoren oft suggerierte Stabilität von Schneeballsystemen kann es nicht geben

Sie sind daher in vielen Ländern aus gutem Grund verboten

Null auf Null [Bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

guten Beweis einfügen.

Aus welchem ​​Grund lässt das Analyselehrbuch Lambacher Schweizer 00 undefiniert? Dieser Artikel bzw

der folgende Abschnitt ist nicht ausreichend mit Nachweisen (z

B

Einzelnachweisen) ausgestattet

Informationen ohne ausreichende Beweise könnten bald entfernt werden

Bitte helfen Sie Wikipedia, indem Sie die Informationen recherchieren und

z = xy {\displaystyle z=x^{y}} x ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle x\in [0,1]} y ∈ [ − 1 , + 1 ] {\displaystyle y\in [- 1,+1]} ( 0 ; 0 ; z ) {\displaystyle (0;0;z)} 0 0 {\displaystyle 0^{0}} Der Graph der Funktion für und mit besonderer Beachtung der Nachbarschaft von, in denen (senkrechte) Geraden die Fläche beenden

Die farbigen Kurven zeigen unterschiedliche Annäherungen an (0;0) mit unterschiedlichen Cutoff-Werten für

Die Frage, ob und wie dem Ausdruck 0 0 {\displaystyle 0^{0}} ein eindeutiger Wert zugeordnet werden kann, beschäftigt die Mathematiker spätestens seit der ersten Hälfte des 19

Jahrhunderts -Darstellung des Graphen der Funktion z = xy {\displaystyle z=x^{y}} , dass beliebige Werte z ∈ R ≥ 0 {\displaystyle z\in \mathbb {R} _{\geq 0}} durch geeignete Wahl aus Nähepunkten ( x ; y ) {\displaystyle (x;y)} bis zum Ursprung ( 0 ; 0 ) {\displaystyle (0;0)} erreicht werden kann

Also z.B

Z.B

lim y → 0 + 0 y = 0 {\displaystyle \lim _{y\to 0+}0^{y}=0} lim y → 0 + ( e − y − 2 ) y = 0 {\ displaystyle \lim _{y\to 0+}{\Bigl (}e^{-y^{-2}}{\Bigr )}^{y}=0} lim t → + ∞ xy = c {\displaystyle \lim _ {t\to +\infty }x^{y}=c}

mit 0 < c < 1 {\displaystyle 0

Die Beispiele zeigen, dass die Funktion z = xy {\displaystyle z=x^{y}} bei ( 0 ; 0 ) {\displaystyle (0;0)} divergiert, weil ein Grenzwert vom Typ lim ( x ; y ) → ( 0 ; 0 ) xy {\displaystyle \textstyle \lim _{(x;y)\to (0;0)}\;x^{y}} existiert offensichtlich nicht

Ein Ausdruck, der unter das Vorzeichen des Grenzwerts fällt und nicht auf der Grundlage von Grenzwertsätzen und Kontinuitätseigenschaften berechnet werden kann, wird als unbestimmter Ausdruck bezeichnet

Beispiele sind 0 0 , ∞ ∞ {\displaystyle {\tfrac {0}{0}},\,{\tfrac {\infty }{\infty }}} und 0 0 {\displaystyle 0^{0}}

Letzterer Ausdruck tritt bei Potenzrechnungen auf, deren Basis und Exponent gleichzeitig gegen 0 {\displaystyle 0} streben und kann nicht bestimmt werden, wenn zwischen beiden kein Zusammenhang besteht

Ein geeigneter Wert kann unter naheliegenden Umständen 1 {\ displaystyle 1} sein (in der Abbildung ist dies die Gerade ( x ; 0 ; 1 ) {\displaystyle (x;0;1)} , denn x 0 = 1 {\displaystyle x^{0}=1} für jedes x ∈ R × {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{\times }}) oder 0 {\displaystyle 0} (der Strahl ( 0 ; + y ; 0 ) {\displaystyle (0;+y;0) } , denn 0 y = 0 {\displaystyle 0^{y}=0} für y ∈ R + {\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{+}} )

Allerdings gibt es auch moderne Analysis-Lehrbücher[5], die die Potenz 0 0 {\displaystyle 0^{0}} (in dieser Form) explizit undefiniert lassen

Bis Anfang des 19

Jahrhunderts verwendeten Mathematiker offenbar 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1} ohne diese Definition näher zu hinterfragen

Allerdings führte Augustin-Louis Cauchy 0 0 {\displaystyle 0^{0}} zusammen mit anderen Ausdrücken wie 0 / 0 {\displaystyle 0/0} in einer Tabelle mit unbestimmten Ausdrücken auf.[6] 1833 veröffentlichte Guillaume Libri einen Aufsatz[7], in dem er wenig überzeugende Argumente für 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1} präsentierte, die später umstritten wurden

Zur Verteidigung von Libri veröffentlichte August Ferdinand Möbius einen Beweis seines Lehrers Johann Friedrich Pfaff, der im Wesentlichen zeigte, dass lim x → 0 + xx = 1 {\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0+}x^{x} =1} gilt, und ein angeblicher Beweis für lim t → 0 + x ( t ) y ( t ) = 1 {\displaystyle \textstyle \lim _{t\to 0+}x(t)^{y(t) }=1} , wenn lim t → 0 + x ( t ) = lim t → 0 + y ( t ) = 0 {\displaystyle \textstyle \lim _{t\to 0+}x(t)=\lim _ {t\to 0+}y(t)=0} halten, ergab.[8] Die Richtigkeit dieses Beweises wurde durch das Gegenbeispiel x ( t ) = e − 1 / t {\displaystyle x(t)=e^{-1/t}} und y ( t ) = t {\displaystyle y(t )= t} schnell widerlegt

Donald E

Knuth erwähnte 1992 im American Mathematical Monthly die Geschichte der Kontroverse und wies entschieden die Schlussfolgerung zurück, dass 0 0 {\displaystyle 0^{0}} undefiniert bleibt.[9 ] Wenn man für die Potenz 0 0 {\displaystyle 0^{0}} nicht den Wert 1 annimmt, verlangen viele mathematische Aussagen wie der Binomialsatz dies

( a + b ) n = ∑ k = 0 n ( nk ) akbn − k {\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a ^{k}b^{nk}}

eine Sonderbehandlung[10] für die Fälle a = 0 {\displaystyle a=0} (bei Index k = 0 {\displaystyle k=0} ) oder b = 0 {\displaystyle b=0} (bei Index k = n { \displaystyle k=n} ) oder a + b = 0 {\displaystyle a+b=0} (bei n = 0 {\displaystyle n=0} ).

Die Potenz 0 0 {\displaystyle 0^{0 } } in Potenzreihen wie für die Exponentialfunktion

e t = ∑ n = 0 ∞ t n n ! {\displaystyle e^{t}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}}

für t = 0 {\displaystyle t=0} bei Index n = 0 {\displaystyle n=0} oder in der Summenformel für die geometrische Reihe

∑ k = 0 nqk = 1 − qn + 1 1 − q {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k}={\frac {1-q^{n+1}}} {1-q}}}

für q = 0 {\displaystyle q=0} bei Index k = 0 {\displaystyle k=0}

Auch hier hilft die Konvention 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1}

Die Anwendungsfälle der Potenz 0 0 {\displaystyle 0^{0}} sind (wie außerordentlich viele ähnlich andere) Aussagen über Polynome, Multinome oder Potenzreihen, bei denen der Exponent y {\displaystyle y} des Terms xy {\displaystyle x^{y}} konstant 0 ist und die Basis x {\displaystyle x} – eher ausnahmsweise – den Wert 0 annehmen

In all diesen Fällen treten als Terme stetige Summanden oder Faktoren auf, die für invertierbar x {\displaystyle x} den Wert 1 haben, deren Wert sich dann auch leicht für die Lücke x → 0 {\displaystyle x ändert \to 0} (und ganz im Sinne von 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1} ) kontinuierlich als 1 ergänzt werden kann

Knuth differenziert jedoch und schreibt: „Cauchy hatte guten Grund, 0 0 zu berücksichtigen {\displaystyle 0^{0}} als unbestimmte Grenzform“ (deutsch: Cauchy hatte guten Grund, 0 0 {\displaystyle 0^{0}} als unbestimmten Limes-Ausdruck anzusehen), wobei unter der Begrenzung form 0 0 {\displaystyle 0^{0 }} Grenzwertprozesse der Form lim x ( t ) y ( t ) {\displaystyle \lim x(t)^{y(t)}} wobei sowohl die Basis x ( t ) {\displaystyle x(t) } wie der Exponent y ( t ) {\displaystyle y(t)} für ein bestimmtes t {\displaystyle t} beliebig gegen 0 gehen kann

Mit dieser Vorgabe von DE Knuth werden die einfachen Fälle der absoluten Terme in Polynomen und Potenzreihen sofort und pausc hal gelöst, ohne mit einer detaillierten Betrachtung komplizierterer Randprozesse in Konflikt zu geraten

In der Mengenlehre wird eine Potenz BA {\displaystyle B^ {A}} zweier Mengen ist definiert als die Menge aller Funktionen von A {\displaystyle A} bis B { \displaystyle B}, also als eine Menge von Mengen f {\displaystyle f} von geordneten Paaren ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , sodass es für jedes a ∈ A {\displaystyle a\in A} genau ein b ∈ B {\displaystyle b\in B} mit ( a , b ) ∈ f gibt {\displaystyle (a,b)\in f}

Mit | gekennzeichnet Ein | {\displaystyle |A|} die Kardinalität von A {\displaystyle A} , dann | B EIN | = | B | | Ein | {\displaystyle |B^{A}|=|B|^{|A|}} (für endliche Mengen, aber auch darüber hinaus), was die Potenznotation für Mengen rechtfertigt.[11] Nun ist auf der leeren Menge ∅ {\displaystyle \emptyset } genau eine Funktion definiert, also eine Menge von Paaren mit obiger Eigenschaft, nämlich ∅ {\displaystyle \emptyset }

Also B ∅ = { ∅ } {\displaystyle B^{\emptyset }=\{\emptyset \}} , was auch für B = ∅ {\displaystyle B=\emptyset } gilt.

Die natürlichen Zahlen sind in der Menge Theorie rekursiv wie folgt definiert (siehe von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen):

0 := ∅ , 1 := { 0 } = { ∅ } , 2 := { 0 , 1 } = { ∅ , { ∅ } } , 3 := { 0 , 1 , 2 } = ⋯ {\displaystyle 0: =\emptyset ,\,1:=\{0\}=\{\emptyset \},\,2:=\{0,1\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\ ,3:=\{0,1,2\}=\dotsb }

Dementsprechend gilt in der Mengenlehre: 0 0 = ∅ ∅ = { ∅ } = 1 {\displaystyle 0^{0}=\emptyset ^{\emptyset }=\{\emptyset \}=1}

Da bei der Potenzierung das Kommutativgesetz nicht gilt, gibt es zwei Arten der Rückrechnung: das Wurzelziehen zum Lösen von Gleichungen des Typs x a = b {\displaystyle x^{a}=b} x {\displaystyle x}

Logarithmieren für Gleichungen vom Typ a x = b {\displaystyle a^{x}=b}

Allgemeinere Grundlagen [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

Im Allgemeinen gibt es Potenzen mit positiven ganzzahligen Exponenten in jeder Halbgruppe

Wenn dieser ein neutrales Element hat und somit zu einem Monoid M {\displaystyle M} wird, dann macht auch Exponent 0 Sinn, a 0 {\displaystyle a^{0}} ist dann immer das neutrale Element

Für alle a, b ∈ M; m , n ∈ N 0 {\displaystyle a,b\in M;m,n\in \mathbb {N} _{0}} die Potenzgesetze

ein m + n = ein m ⋅ ein n {\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}}

( ein m ) n = ein m ⋅ n {\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}}

( a ⋅ b ) m = am ⋅ bm {\displaystyle (a\cdot b)^{m}=a^{m}\cdot b^{m}} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} Austausch , dh H

wenn ab = ba {\displaystyle ab=ba}

Wenn a {\displaystyle a} ein invertierbares Element ist, kann man a − n = ( a − 1 ) n {\displaystyle \!\ a^{-n}=(a^{-1})^{n} } n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} }

Definieren Sie Potenzen mit beliebigen ganzzahligen Exponenten

Die Berechnungsregeln gelten analog

Im Fall von abelschen Gruppen geben sie an, dass die Potenzierung die Struktur eines Moduls Z {\displaystyle \mathbb {Z} } induziert

Allgemeinere Exponenten [ edit | Quelle bearbeiten ]

Allgemeinere Exponenten wie Matrizen werden meist nur im Zusammenhang mit der Basis e {\displaystyle e} betrachtet, also als Werte der verallgemeinerten Exponentialfunktion

Darüber hinaus wird die Potenznotation gelegentlich für andere natürliche Fortsetzungen verwendet

Beispielsweise werden in der algebraischen Zahlentheorie manchmal Potenzen von Elementen von (topologischen) Galois-Gruppen mit Exponenten in Vervollständigungen von Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}} betrachtet; es handelt sich dann um die eindeutig bestimmte kontinuierliche Fortsetzung der Abbildung

Z → G , n ↦ g n

{\displaystyle \mathbb {Z} \to G,\quad n\mapsto g^{n}.}

Für beliebige Kardinalzahlen | X | {\displaystyle |X|} und | Y | {\displaystyle |Y|} die Potenz kann durch | geteilt werden Y | | X | := | Y X | {\displaystyle |Y|^{|X|}:=|Y^{X}|} wobei YX {\displaystyle Y^{X}} die Menge aller Funktionen mit der ursprünglichen Menge X {\displaystyle X} und ist die Bildmenge Y {\displaystyle Y} bezeichnet, geht diese Verallgemeinerung vom Axiom der Potenzmengen aus, wobei für den Umgang mit den Kardinalzahlen meist auch das Wahlaxiom angenommen wird

Mehrdeutigkeit der Exponentenschreibweise [Bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Die Exponentenschreibweise kann insbesondere bei Funktionen unterschiedliche Bedeutungen haben, je nachdem ob die Schreibweise die Iteration der Verkettung oder die punktweise Multiplikation widerspiegeln soll

Daneben könnte auch ein oberer Index gemeint sein

In der Regel ergibt sich aus dem Kontext, was gemeint ist

Die Potenznotation wird häufig als verkürzte Notation für die Verkettung von Funktionen verwendet, deren Werte wiederum im Definitionsbereich liegen, beispielsweise für Iterationen in dynamischen Systemen

Man definiert, wo id die Identität auf der Domain bezeichnet, rekursiv:

f 0 := ich d ; f n := f ∘ f n − 1 {\displaystyle f^{0}:=\mathrm {id} ;\quad f^{n}:=f\circ f^{n-1}}

für n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} , also f 1 := f ; f 2 := f ∘ f , {\displaystyle f^{1}:=f;\quad f^{2}:=f\circ f,}

und so weiter.

Für die Funktionswerte bedeutet dies

f 0 ( x ) = ich d ( x ) = x ; f 1 ( x ) = f ( x ) ; f 2 ( x ) = ( f ∘ f ) ( x ) = f ( f ( x ) ) {\displaystyle f^{0}(x)=\mathrm {id} (x)=x;\quad f^{ 1}(x)=f(x);\quad f^{2}(x)=(f\circ f)(x)=f(f(x))}

und allgemein

f n ( x ) = ( f ∘ f n – – 1 ) ( x ) = f ( f n – – 1 ( x ) )

{\displaystyle f^{n}(x)=(f\circ f^{n-1})(x)=f\left(f^{n-1}(x)\right).}

Als Erweiterung dieser Definition definiert man üblicherweise f − 1 {\displaystyle f^{-1}} als Umkehrfunktion von f {\displaystyle f}

Insbesondere findet sich diese Schreibweise auch auf vielen Taschenrechnern wieder, beispielsweise wird dort und anderswo die Bogenfunktion arcsin {\displaystyle \arcsin } mit sin − 1 {\displaystyle \sin ^{-1}} bezeichnet

f − 1 {\displaystyle f^{-1}} bezeichnet oft auch die Urformfunktion

Die Exponentialschreibweise hat sich auch als verkürzte Schreibweise für die Multiplikation mehrerer Funktionswerte trigonometrischer Funktionen mit gleichen Argumenten bewährt, als sie kommen oft in den Additionssätzen für trigonometrische Funktionen naturalisiert vor, das heißt, schreibt man

Sünde 2 x := ( Sünde ⁡ x ) 2 = Sünde ⁡ ( x ) ⋅ Sünde ⁡ ( x ) = Sünde ⁡ x ⋅ Sünde ⁡ x {\displaystyle \sin ^{2}\!x:=(\sin x) ^{2}=\sin(x)\cdot \sin(x)=\sin x\cdot \sin x}

Dies ist mit der oben vorgestellten Notation für Verkettungsfunktionen nicht kompatibel

Dasselbe gilt für Polynome

Mit xn {\displaystyle x^{n}} meint man immer das n {\displaystyle n} mal das Produkt der Unbestimmtheit x {\displaystyle x} mit sich selbst

Da das Unbestimmte als Polynomfunktion die identische Abbildung ist, wäre die Exponentialschreibweise als Iteration von Funktionen hier nicht sinnvoll

Oberer Index [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

Bei indizierten Variablen wird der Index manchmal hochgestellt geschrieben, was in den Formeln den Eindruck einer Potenzierung erwecken könnte

Dies tritt vor allem in der Tensorrechnung auf, beispielsweise bei der Bezeichnung von Vektorfeldern in Koordinatenschreibweise oder bei der Indizierung von bereits indizierten Größen wie Folgen von Folgen

Wird der Exponent in Klammern geschrieben, ist meist die entsprechende Ableitung gemeint, f ( n ) {\displaystyle f^{(n)}} bezeichnet dann die n {\displaystyle n} -te Ableitung der Funktion f {\displaystyle f }.

Kraftwert mit Zirkel und Lineal [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Der Wert einer Potenz, wie die Quadratwurzel, Multiplikation und Division, kann auch als Zirkel-und-Lineal-Konstruktion mit dem Strahlensatz dargestellt werden

Die Bedingung ist: Die Basis a {\displaystyle a} ist eine reelle Zahl und der Exponent ist eine positive ganze Zahl

Es ist wichtig zu unterscheiden, ob die Basis a {\displaystyle a} größer oder kleiner als die Zahl 1 {\displaystyle 1} ist

Im Folgenden werden beide Möglichkeiten für einen Potenzwert gleich a 4 {\displaystyle a^{4}} beschrieben

Auch die Vorgehensweise für Potenzwerte a 2 {\displaystyle a^{2}} und a 3 {\displaystyle a^{3}} wird deutlich

Konstruktion für a > 1 [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

a 4 {\displaystyle a^{4}} a > 1 {\displaystyle a>1}

Die gestrichelten Linien und Potenzwerte mit Zirkel und Lineal, BeispielDie gestrichelten Linien und und werden für die Lösung nicht benötigt.

Zunächst wird der erste Strahl und durch den zuvor ermittelten Punkt 0 gezogen {\displaystyle 0} bestimmt die Länge gleich 1 {\displaystyle 1}

Es folgt der Halbkreis mit dem Radius a {\displaystyle a} um den Punkt 0 , {\displaystyle 0,} die Schnittpunkte sind A {\displaystyle A} und B

{\displaystyle B.} Nun wird eine Senkrechte zu A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} bei 1 {\displaystyle 1} errichtet, bis sie den Halbkreis bei B ′ {\displaystyle B’} schneidet

Es folgt das Zeichnen des zweiten Strahls durch den Punkt B ′ {\displaystyle B’}

Fahren Sie mit der Errichtung einer Senkrechten auf dem zweiten Strahl im Punkt B ′ {\displaystyle B’} fort, bis Sie den ersten Strahl in D {\displaystyle D} schneidet

Das Segment 0 D ¯ {\displaystyle {\overline {0D}}} entspricht dem Potenzwert a 2

{\displaystyle a^{2}.} Nun wird auf dem ersten Strahl am Punkt D {\displaystyle D} eine Senkrechte errichtet, bis sie den zweiten Strahl bei F {\displaystyle F} schneidet

Schließlich liefert eine letzte Senkrechte auf dem zweiten Strahl im Punkt F {\displaystyle F} den Potenzwert a 4 {\displaystyle a^{4}} als Geradenstrecke 0 G ¯ {\displaystyle {\overline {0G}}}.

Die zwei gestrichelten Linien und die Punkte C {\displaystyle C} E {\displaystyle E} a 4 {\displaystyle a^{4}} a 3 {\displaystyle a^{3}}

Konstruktion für a < 1 [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

a 4 {\displaystyle a^{4}} a < 1 {\displaystyle a<1} Potenzwert mit Zirkel und Lineal, Beispiel

Zuerst z

B

Auf einem Zahlenstrahl die Längen a {\displaystyle a} und 1 {\displaystyle 1} als Segmente AB ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} oder BD ¯ {\displaystyle {\overline {BD}} } angewandt

Dann wird der Halbkreis über A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} gezogen

Die Strecke BD ¯ {\displaystyle {\overline {BD}}} wird in E {\displaystyle E} halbiert und der Kreisbogen mit Radius ED ¯ {\displaystyle {\overline {ED}}} um E {\ displaystyle E} bis es den Halbkreis in F {\displaystyle F} schneidet

Nun wird das Lot von F {\displaystyle F} auf den Zahlenstrahl mit Basis G {\displaystyle G} fallen gelassen

Das Segment B G ¯ {\displaystyle {\overline {BG}}} entspricht dem Potenzwert a 2

{\displaystyle a^{2}.} Nach dem Verbinden der Punkte B {\displaystyle B} mit F {\displaystyle F} und D {\displaystyle D} mit F {\displaystyle F} wird der Scheitelpunkt F {\displaystyle F} ist ein rechter Winkel

Zeichne weiter eine Linie parallel zum Liniensegment DF ¯ {\displaystyle {\overline {DF}}} von G {\displaystyle G} bis sie auf BF ¯ {\displaystyle {\overline {BF }}} in H {\displaystyle trifft H}

Der folgende Kreisbogen mit Radius B H ¯ {\displaystyle {\overline {BH}}} um B {\displaystyle B} schneidet den Zahlenstrahl in I

{\displaystyle I.} Das Segment B I ¯ {\displaystyle {\overline {BI}}} entspricht dem Potenzwert a 3

{\displaystyle a^{3}.} Eine Linie parallel zur Strecke GH ¯ {\displaystyle {\overline {GH}}} von I {\displaystyle I} schneidet BF ¯ {\displaystyle {\overline {BF}}} in J

{\displaystyle J}

Schließlich wird der Bogen mit dem Radius B J ¯ {\displaystyle {\overline {BJ}}} um B {\displaystyle B} gezogen, bis er den Zahlenstrahl in K {\displaystyle K} schneidet

Das Segment B K ¯ {\displaystyle {\overline {BK}}} ist der gesuchte Potenzwert a 4

{\displaystyle a^{4}.}

In Programmiersprachen [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

Die Notation x y {\displaystyle x^{y}} mit hochgestellter Schrift ist bequem und lesbar in handschriftlichen Formeln und Schriftsätzen, aber unpraktisch auf Schreibmaschinen und Terminals, wo die Zeichen auf einer Zeile alle auf der gleichen Höhe sind

Daher verwenden viele Programmiersprachen alternative Möglichkeiten, um eine Macht darzustellen:

In vielen Programmiersprachen gibt es statt eines Potenzoperators eine entsprechende Bibliotheksfunktion, zum Beispiel pow(x,y) in C, Math.pow(x,y) in Java oder JavaScript und Math.Pow(x,y) in Cis.

Verwandte Themen [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

Die Exponentialfunktion ist eine Funktion mit variablem Exponenten, die Potenzfunktion mit variabler Basis

Entsprechende Folgen sind die geometrische Folge und die Potenzfolge

Die binäre Potenzierung ist ein effizientes Verfahren zur Potenzerhöhung mit natürlichen Exponenten

Potenztürme sind Potenzen, deren Basis und/oder Exponent selbst eine Potenz ist

Magnitude, wissenschaftliche Notation – wird verwendet, um Zahlen mit Potenzen darzustellen

Siehe auch [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Mathe mit Excel Exponentialfunktion bestimmen Tutorial Update

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 Update Mathe mit Excel Exponentialfunktion bestimmen Tutorial
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Parametrisch oder nichtparametrisch? Das ist hier die … New Update

06/09/2012 · Die Lösung muss dabei in einer Excel-Funktion möglich sein, bzw. mit hilft keine grafische Lösung, da ich knapp 8.000 Datensätze à 25 Spalten prüfen lassen muss. … Wenn ich das logarithmierte Einkommen mit der Exponentialfunktion zurücktransformiere dann habe ich ja wieder meine Ausgangsvariable „Einkommen“, die nicht …

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Woher weiß ich, ob meine Daten normalverteilt sind? Das Beste, was Sie tun können, ist, sich ein Normalverteilungsdiagramm für jede Gruppe einzeln anzusehen

Dort werden die Daten gegen die Erwartungswerte einer Normalverteilung aufgetragen

Liegen die Punkte sauber auf einer Geraden, sind die Daten normalverteilt

Es gibt auch Tests, die auf Normalverteilung prüfen, z

Shapiro-Wilk, aber diese sind oft zu streng

Hier ist meiner Meinung nach der optische „Test“ das Mittel der Wahl

Wenn die Punkte nicht schön auf einer Geraden liegen, können sie vielleicht durch eine Transformation normalverteilt “gemacht” werden

Dies ist insbesondere dann möglich, wenn die Punkte in einem Bogen um die Gerade liegen

Die gebräuchlichste Transformation ist der Logarithmus: Nehmen Sie einfach den Logarithmus der Daten und zeichnen Sie ihn erneut

Ist das Ergebnis jetzt gut? Dann wurden die Originaldaten lognormalverteilt

Die transformierten Daten sind nun normalverteilt und können für die Analyse mit parametrischen Methoden verwendet werden

Wenn auch durch eine Transformation keine Normalverteilung erreicht werden kann, ist das auch kein Problem

Für viele Methoden gibt es nichtparametrische Alternativen

Diese können übrigens auch auf normalverteilte Daten angewendet werden

Damit kann man (fast) nichts falsch machen.

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