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In diesem Video zeigen wir euch, wie ihr mit einem Motor einen elektrischen Würfel oder ein Roulette bauen könnt. Weitere Bastelideen, Infos und Bauteile findet ihr auf unserer Website: www.kleine-ingenieure.de

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New Update Elektrischer Würfel | Zufallsgenerator bauen — Elektrischer Würfel | Zufallsgenerator bauen New

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Arduino Projekt: Würfelspiel mit Sieben-Segment-Display Update New

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Mit einem Arduino und einer einstelligen Sieben-Segment-Anzeige baue ich in diesem Projekt einen einfachen Würfel, der auf Knopfdruck per Zufallsgenerator eine Zahl zwischen 1 und 6 auf dem Sieben-Segment-Display anzeigt.
ACHTUNG: Das CA bei diesem Element (ca. ab 01:15) bedeutet nicht \”Common Anode\” wie im Video gesagt, sondern \”CAthode\

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Update New Arduino Projekt: Würfelspiel mit Sieben-Segment-Display — Arduino Projekt: Würfelspiel mit Sieben-Segment-Display Update New

Münzwurf – Zufallsgenerator Update New

Zufallsgenerator – Münzwurf – Kopf oder Zahl mit einer oder mehreren Münzen. Laß den Zufall entscheiden.

Münzwurf

Münzwurf Lass die Münze entscheiden! Der Münzwurf entscheidet per Zufall

Kopf oder Zahl? Generieren eines Münzwurfs – Kopf oder Zahl

Wer kennt nicht die Qual der Wahl? Soll ich das blaue oder das rote Kleid anziehen? Schwimmbad oder Kino? Manchmal kann eine Münze unsere Entscheidung erleichtern

Der Münzwurf eignet sich für jede Art von Ja/Nein-Entscheidung

Definieren Sie zu Beginn, was mit Zahl und was mit Kopf geschehen soll

Für ein noch schöneres Münzwurf-Erlebnis bietet der Zufallszahlengenerator die visuelle Darstellung einer Münze

Sehen Sie mit eigenen Augen, auf welcher Seite die Münze landet!

Gibt es Zufall wirklich? Das Würfel-Experiment und der Butterfly-Effekt | Phil’s Physics Update New

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Ist Würfeln wirklich Zufall? Wir überprüfen das Ganze. Dazu bauen wir eine Würfelmaschine aus einem Arduino.
Wenn man ein Symbol für den Zufall wählen muss, dann würde man wohl den Würfel wählen. Doch ist würfeln wirklich Zufall? Gibt es so etwas wie Zufall überhaupt? Oder ist das nur das, was wir nicht berechnen können? Wir werden heute einen Versuch durchführen, der diese Frage endgültig beantworten soll.
Eine Menge andere spannende Experimente, Erklärungen und Life-Hacks findest du in meinem Buch \”Phil’s Physics\” (Philip Häusser, 2016): http://phils-physics.de/bestellen
Hat dir das Video gefallen? Klick auf \”Daumen hoch\” und schenk mir ein Abo! Dein Feedback motiviert mich zu neuen Videos. Dankeschön 🙂

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Zufallsgeneratoren – Ultimatesolver.com Aktualisiert

Zufallsgenerator – Würfel werfen. Mit diesem Zufallsgenerator kannst du bis zu 15 Würfel gleichzeitig werfen. Dank diesem kryptografisch sicheren Generator brauchst du hierfür keine realen Würfel zur Hand haben, sondern kannst einfach die …

Zufallsgenerator – JA / NEIN

Dieser Zufallszahlengenerator generiert zufällig die Antwort Ja oder Nein

Wenn Sie unsicher sind und ein Orakel brauchen, dann sind Sie bei uns genau richtig

Dank des kryptografisch sicheren Zufallszahlengenerators müssen Sie sich nicht mehr selbst entscheiden.

Java lernen mit BoS #7: Zufallsgenerator (Würfel) New

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Board of Symbol (Github):
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New Java lernen mit BoS #7: Zufallsgenerator (Würfel) — Java lernen mit BoS #7: Zufallsgenerator (Würfel) New Update

Zufallsgenerator – Gruppen bilden – Ultimatesolver.com Aktualisiert

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In diesen Zufallsgenerator können verschiedene Namen eingegeben werden, aus denen dann zufällig Gruppen der gewünschten Größe gebildet werden

Eine genauere Beschreibung finden Sie hier

ZUFÄLLIGE GENERATORGRUPPEN

Statistiken Dieser Zufallszahlengenerator wurde mehr als 1.845.100 Mal verwendet

Datenschutz Die Verbindung zu diesem Zufallszahlengenerator ist über SSL verschlüsselt

Es werden keine eingegebenen oder ausgegebenen Daten gespeichert oder weitergegeben! Alle Namen:

Anna Michael Sophie Thomas Es sind noch 10000 Zeichen übrig

Die Namen werden getrennt durch:

Komma-Leerzeichen für neue Zeile

Modus:

Gruppen bilden Sortierung innerhalb einer Gruppe:

Alphabetische Reihenfolge Zufällige Reihenfolge Mit jeder Person Gruppen bilden Unvollständige Gruppen:

Erstellen Sie keine unvollständigen Gruppen

Überzählige Personen sollten nach dem Zufallsprinzip auf alle vollen Gruppen verteilt werden

Sortierung innerhalb einer Gruppe:

Alphabetische Reihenfolge Zufallsreihenfolge Gruppenpuzzle (Puzzle-Methode) mit Teilaufgaben Unvollständige Gruppen:

Erstellen Sie keine unvollständigen Stammgruppen

Überzählige Personen sind nach dem Zufallsprinzip auf alle vollen Hauskreise zu verteilen

Dadurch gibt es in manchen Kerngruppen mehrere Experten für eine Teilaufgabe

Ladezeit: Sekunden Wie Sie diese Funktion freischalten, erfahren Sie hier

Vollbild KLICK HIER 11100000010001110111001100010111100111001111110111011101110010110100011100011111000000011011100001101110001100100110100011010000110101111001010011100000000011011110011100011010101111110100010011110000001111010000100111101111111110010000011111000110011011110100001111101000010011011000001000011101100010010010110110111101011100100010000000101001000101000001001000101000101111101001110011111101010111111101000000010110101110111100100101100111000110001010011011111111101111010111110001001100110001000001010110010101111111110111000110011001100011010111000110000110100010010101111110111011011011101001100111111001100100111110110011110000110011011001001110001100111101000001101000010111100100100110111001010011011111011101101110011011111100001010100001100111001000100011001010101101100001000000010001110001111010101000101011110110101010011100110001100001011001111011000101000111100111011100011101110110010100100010110111011110100001010011011001010011110100100111100010111111111010100 1 10001011101110101010011000000111111111100101101001011110001100010111110010010011111010101111110010011101010110111011111101110001100001110010010010110000100010111110001100011011000110100001010111111001100101101110010100101010100111000000010010110011010001110100101101001101001110101100110100000110111001011010000001001011110100101101100110000111111101100101011000001111001100111001111111111011001111011110001110111110111110010001100111000101101110000111010001100000110011111001111101110100000101101001111011001011111111111101000001000110110101110010001000011001100110111110011100010110001011111101110111001110001001110111100110000000000010001111100000110011110101100000011101100000011100110100111110110100110001001101011110100111011001010110011110110100000000001100001011001100011010000111001001101110101111010100000110010101010111000011110110110101001011011100101101000101001000111001010001110111000101000001111110011111101101001111101011110100011110011101111011100101110000011111011000001011101010 11 11011010011110110101000110100010100111010101011111000101010001111101011000000111011000000111001101001111101101001100010011010111101001110110010101100111101101000000000011000010110011000110100001110010011011101011110101000001100101010101110000111101101101010010110111001011010001010010001110010100011101110001010000011111100111111011010011111010111101000111100111011110

Würfel per Zufallsgenerator programmiert mit der Basic Stamp New

Weitere Informationen zum Thema würfel zufallsgenerator

Im Hintergrund rechnet die Basic Stamp fortlaufend. Der Wert der zum Zeitpunkt des Tastendrucks gerade „aktuell“ ist wird in Form von passend angeordneten LED’s dargestellt.

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Spielwürfel – Wikipedia New

Als Zufallsgenerator eingesetzt, wird von einem Würfel üblicherweise eine Gleichverteilung der möglichen Ergebnisse erwartet. Diese sollen also auf lange Sicht gleich häufig eintreten, falls die Würfe nicht bewusst beeinflusst werden.

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Klassischer 6-seitiger Würfel

Ein alter römischer Würfel

Verschiedene Würfel mit unterschiedlich vielen Gesichtern

Ein Spielwürfel, umgangssprachlich einfach (wie auch ursprünglich) Würfel (von althochdeutsch warfil: verwandt mit werfen und werfen[1]), ist ein Gegenstand, der nach dem Werfen auf einer horizontalen Ebene eine von mehreren unterscheidbaren stabilen Ruhen einnimmt Positionen und wird in vielen Spielen zum Generieren eines Zufallssymbols (oft eine Zufallszahl) verwendet

Außerdem trägt ein Würfel Symbole, von denen eines nach dem Wurf eine hervorragende Position einnimmt

Dieses Symbol gilt dann als Wurfergebnis

Die mit Abstand häufigsten Würfel sind die mit den Zahlen 1 bis 6 bzw

der entsprechenden Punktzahl, die Augen, beschriftete Würfel oder Hexaeder

Im Alltag bezieht sich der Begriff Würfel meist nur auf diese Sechskantigen und so wurde der Name für den geometrischen Körper übernommen

Es gibt jedoch viele andere Würfel, die ebenfalls unten beschrieben werden

Regelmäßige Benutzer verschiedener Würfeltypen bezeichnen sie oft mit der Abkürzung W oder d (für englische Würfel oder die Einzahl der Würfel), [2] gefolgt von der Anzahl der Seiten, dh W6 oder D6 für sechsseitig, W10, W20, W30 für zehn-, zwanzig- und dreißigseitige Würfel

Bei Würfelspielen sind Würfel das zentrale Spielelement; nur der Vergleich der Würfelergebnisse selbst oder direkt damit zusammenhängende Taktiken zählen

Hier kommen meist der klassische Sechskantwürfel oder speziell bemalte, aber immer noch Sechskantwürfel zum Einsatz

Viele Glücksspiele fallen in diese Kategorie

Bekannte Beispiele aus dem Freizeitbereich sind Kniffel oder Zehntausend, bei denen bestimmten Augenkombinationen unterschiedliche Punktzahlen zugeordnet werden

Craps und Sic Bo sind unter anderem in Casinos üblich, wo Sie auf die Ergebnisse einzelner Würfe setzen

Darüber hinaus sind Würfel in einer Vielzahl von Brettspielen wichtig, um beispielsweise die Bewegungsgeschwindigkeit von Spielfiguren oder den Ausgang von Zufallsereignissen zu bestimmen

Auch hier kommen überwiegend Sechsseitener zum Einsatz

Würfel werden in Rollenspielen verwendet, wo sich in den letzten Jahrzehnten die Verwendung einer Vielzahl anderer Würfel mit unterschiedlichen Seitenzahlen etabliert hat, um Zufallsentscheidungen flexibler und vielfältiger zu gestalten

Ein eher seltenes Spielprinzip, das ganz auf Würfel als Spielmaterial setzt, sind Sammelwürfelspiele, bei denen man analog zu Sammelkartenspielen eine große Anzahl Würfel kaufen und taktisch einsetzen muss

Ein bekannter Vertreter ist Dragon Dice

In all diesen Bereichen gibt es Fälle, in denen neben dem einfachen Würfeln auch mehrere Würfel gleichzeitig geworfen werden müssen

Die Ergebnisse können addiert werden (eine Waffe verursacht in einem Rollenspiel so viel Schaden wie zwei Würfel zusammen zeigen) oder als Ganzes betrachtet werden (in vielen Brettspielen folgen Sonderaktionen, wenn mehrere Würfel die gleiche Zahl zeigen)

eines sogenannten Doubles)

Würfelbecher (sogenannte Puzzlebecher) werden verwendet, um das Werfen mehrerer Würfel zu erleichtern, um Betrug mit Trickwürfen zu vermeiden oder um das Ergebnis vor anderen Spielern zu verbergen

Hochwertige Exemplare haben auf der Innenseite sogenannte Lippen, damit die Würfel beim Herausrollen immer springen

Dadurch soll das Ergebnis des Wurfs unabhängig von der ursprünglichen Position der Würfel gemacht werden

Der Würfelturm dient dem gleichen Zweck

Um laute Schlaggeräusche und das Wegrollen der Würfel zu vermeiden, wird manchmal ein gepolstertes und umrandetes Brett (sog

Würfelbrett oder Würfelplatte) verwendet.

Anstatt sie zu werfen, also zufällige Ergebnisse zu generieren, können Würfel auf bestimmte Werte gedreht und verwendet werden, um diese anzuzeigen

Das bekannteste Beispiel ist der Verdopplungswürfel, der verwendet wird, um den Punktestand eines Spiels im Backgammon anzuzeigen

Auch beim Geschicklichkeitsspiel Dice Stacking kommen Würfel zum Einsatz

Allgemeine Eigenschaften [ Bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Standardwürfel in Unicode-Codepoint-Zeichen

(200%) Bezeichnung U+2680 ⚀ DAS GESICHT-1 U+2681 ⚁ DAS GESICHT-2 U+2682 ⚂ DAS GESICHT-3 U+2683 ⚃ DAS GESICHT-4 U+2684 ⚄ DAS GESICHT-5 U+2685 ⚅ DAS GESICHT-6

Simulation: ⚁

Siebenseitiger Würfel: Beispiel für verschiedene Seitentypen und nur ungefähre Idealität

Transparente Präzisionswürfel

Als Zufallszahlengenerator verwendet, wird von einem Würfel normalerweise eine gleichmäßige Verteilung der möglichen Ergebnisse erwartet

Diese sollten auf Dauer gleich häufig auftreten, wenn die Würfe nicht bewusst beeinflusst werden

Dann heißt der Würfel fairer, idealer oder realer Würfel oder – nach Pierre-Simon Laplace, der die Gleichverteilung erforschte – Laplace-Würfel

Bei der Produktion des Würfels (siehe Produktion) kommt es immer wieder zu Abweichungen, wodurch der Würfel nicht ganz optimal ist

Bei hochwertigen Würfeln können diese jedoch sehr klein gehalten werden

Sieht man von diesen Abweichungen ab, so ist Idealität eine Eigenschaft des Bauplans des Würfels, also unter anderem seiner geometrischen Form

Der Bauplan ist ideal, wenn die Ruhepositionen des Würfels aufgrund seiner Symmetrie nur durch Beschriftung erkennbar sind

Ein Würfel ist meistens nach einem konvexen Polyeder gestaltet

Ein solches ist genau dann ideal, wenn seine Gesichter alle die gleiche Form und Größe haben und wenn man zwei Gesichter nicht durch ihre relative Position zu den anderen Gesichtern unterscheiden kann

Nur die fünf platonischen Körper, die katalanischen Körper und bestimmte verzerrte dieser beiden Klassen sowie Spindeln und Zylinder erfüllen diese Bedingung

Diese Formen werden übrigens aufgrund ihrer Symmetrie als besonders ästhetisch empfunden

Andere Polyeder haben unterschiedliche Arten von möglichen Landeflächen, was bedeutet, dass ihre Landewahrscheinlichkeiten unterschiedlich sein können

Bei manchen Formen kann man versuchen, dies durch die Wahl der richtigen Proportionen auszugleichen, indem man beispielsweise die Seitenflächen des hier als siebeneckiger Würfel dargestellten Prismas streckt

Allerdings können die Landewahrscheinlichkeiten neben der Geometrie auch von anderen Bedingungen abhängen, beispielsweise von der Reibung zwischen Würfel und Oberfläche oder – auch ungewollt – von der Wurftechnik

Sind diese Bedingungen nicht im Voraus bekannt oder ändern sie sich, so ist eine exakte Vergütung von vornherein ausgeschlossen

Würfel auf Basis solcher Körper können also nie wirklich ideal sein

Weitere Voraussetzungen sind, dass der Würfel gut – aber nicht zu lang – rollt und die Ruhepositionen eine gewisse Stabilität aufweisen

Dadurch wird die Form weiter eingeschränkt; Beispielsweise sind Würfel mit vielen Ruhepositionen schwieriger zu konstruieren

Oft sind die Ecken und Kanten abgerundet, um das Rollen und die Handhabung zu verbessern

Dies ist jedoch im Casino-Spiel Craps und bei manchen Rollenspielern verpönt, da ungleichmäßige Rundungen bestimmte Landeflächen begünstigen könnten.

Gelegentlich wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung bewusst zugunsten bestimmter Ergebnisse manipuliert, möglichst ohne optische Veränderung der Würfel, um sich einen Vorteil im Spiel zu verschaffen

In diesem Fall wird der Würfel als geladen bezeichnet

Zu den Möglichkeiten gehören eine veränderte Gewichtsverteilung, unterschiedlich stark abgerundete Kanten oder Ecken und verzogene Oberflächen

Zu stark markierte Würfel zeigen sich durch eine taumelnde Rollbewegung, die bei Verwendung eines Würfelbechers nicht auffällt

Eine andere Möglichkeit besteht darin, einen Dauermagneten im Inneren des Würfels zu platzieren, um einen zweiten Magneten, z

unter der Tischplatte hält, zu beeinflussen

In Casinos werden oft transparente Würfel verwendet, um das Rechen zu erschweren

Kubische und tetraedrische Würfel von Mohenjo-Daro

Astragal aus Stein

Asiatische historische Spielwürfel

Zu den ältesten erhaltenen Spielwürfeln gehören sowohl zweiseitige Stabwürfel[3] aus Ägypten, Stabwürfel mit vier Seiten (ungleich breit) und Tetraeder aus Sumer, aber auch sechsseitige

Frühe Funde sechsseitiger Würfel stammen aus Tepe Gawra (Nordirak), frühes 3

Jahrtausend v

und Mohenjo-Daro (Pakistan), spätes 3

Jahrtausend v

[4] Diese Fundstücke haben bereits die Form eines Würfels und sind mit Augen markiert

Aus der weiteren Frühgeschichte und Antike im Orient sind zahlreiche sechsseitige Würfel erhalten

Datiertes Spiel, genannt das königliche Spiel von Ur

Darin wurden Würfel verwendet, um die Bewegungsreichweite zu bestimmen

Auf dem Spielbrett fanden sich neben Spielsteinen einerseits vierseitige Hölzer und andererseits Tetraeder, die an zwei Ecken markiert waren

Dies sind die ältesten bekannten Würfel in Form eines regulären Polyeders außer dem Würfel.[5]

Beim ägyptischen Spiel Senet wurden mehrere halbkreisförmige Holzstäbe verwendet, die auf einer Seite markiert waren und somit nach dem Wurf an ihrer Position abgelesen werden konnten

Der erste bekannte Fund von Senet ist eine Grabmalerei aus dem Jahr 2686 v

datiert ist

Es gibt Spielbrettfunde aus dem Jahr 3500 v

und gehören vermutlich auch zu Senet

Damit ist dieses Spiel ein Kandidat für den erstmaligen Einsatz von würfelähnlichen Objekten.[6] Außerdem wurden in Ägypten Sprunggelenkknochen von Paarhufern wie Schafen oder Ziegen als Würfel verwendet

Diese Astragali genannten Knochen wurden auch in der griechischen und römischen Kultur verwendet

Aufgrund ihrer eckigen Form haben sie vier verschiedene mögliche Ruhepositionen, die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse ist unterschiedlich

Außerdem wurden Würfel verwendet

Sogar antike Autoren hatten Theorien über ihre Erfindung, darunter Plinius der Ältere, der sie während des Trojanischen Krieges Palamedes und Herodot dem lydischen Volk zuschrieb.[7] Es ist jedoch davon auszugehen, dass sie aus dem Orient übernommen wurden

Neben sechsseitigen Würfeln mit höheren Seitenzahlen wurden auch 12-, 18-, 20- und 24-seitige Würfel gefunden.[8][9] Eine breite Palette von Materialien hat überlebt, darunter Ton, Metall, Elfenbein, Kristall, Knochen und Glas

Außerdem gab es Würfel mit Buchstaben und Wörtern anstelle von Zahlen oder Augen, die für Wahrsagerei oder komplexe Würfelspiele verwendet wurden

Sowohl Würfel als auch Astragali wurden neben der Weissagung für Spiele verwendet

Es gab Spiele für Kinder und Frauen, teils Wurf-Geschicklichkeitsspiele, teils Würfelspiele im modernen Sinne

Das bekannteste Beispiel ist Astragaloi

Außerdem war das Spielen um Geld mit Würfeln und Astragali im Römischen Reich außerhalb von Saturnalien verboten und galt als schweres Laster, war aber dennoch weit verbreitet.[10]

Eine andere Tradition des Würfelspiels existierte in Indien

Seit vedischer Zeit gibt es hier Ritual- und Gesellschaftsspiele, bei denen die Nüsse des Vibhidaka-Baums (Terminalia bellerica) als fünfseitige Würfel verwendet werden

Später (im Spiel Jataka) entwickelten sich vierseitige prismatische Würfel (siehe unten).[11] Darüber hinaus ist davon auszugehen, dass die zufällige Entscheidung des Münzwurfs, die mit dem Würfeln verwandt ist, seit der Erfindung der Münze selbst praktiziert wird

Münzen können als zweiseitige Würfel verstanden werden (siehe unten), was ebenfalls eine Form mit langer Geschichte ist

Mittelalter und Frühe Neuzeit [Bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Backgammon-Würfel vom 1628 gesunkenen Kriegsschiff Vasa

Wie in der Antike war der sechsseitige Würfel eindeutig dominant, aber gelegentlich tauchten noch andere Seitenzahlen auf: 965 entwarf der französische Geistliche Wibold ein Spiel, das ein vierseitiges Prisma verwendete sterben, und ein mittelalterliches achtseitiges Prisma ist ebenfalls bekannt.[12] Wikingerwürfel wurden aus Fischbein, Geweih, Knochen oder Pechkohle hergestellt

Oft waren sie rechteckig, die 1 und 2 an den Enden und die 3, 4, 5, 6 an den vier Längsseiten

Die Summe der beiden gegenüberliegenden Seiten war normalerweise nicht 7

Ein bizarrer Würfel kommt aus Dublin

Er hat die Form eines üblichen Würfels, war aber nur mit den Zahlen 3, 4, 4, 5, 5, 6 gekennzeichnet

Bei Ausgrabungen in Crannóg Ballinderry Nr

2 in der Grafschaft Offaly, Irland, wurden 1933 die entdeckten Ballinderry-Würfel freigelegt

Es hat das Ogham-Zeichen mit dem Klangwert V statt fünf Punkten auf einer Seite

Würfelspiele verschiedener Formen waren in allen europäischen Ländern und bei allen Klassen beliebt und werden in zahlreichen zeitgenössischen Werken erwähnt

Professionelle Glücksspieler gab es schon früh,[13] 1254 erließ ein Dekret Ludwigs IX

spezielle Schauspielhäuser erstmals erwähnt.[14] Es gibt auch zahlreiche Berichte über geladene Würfel.[15] Trotz der weiten gesellschaftlichen Verbreitung galt das Glücksspiel mit Würfeln noch immer als Laster und wurde mit weltlichen und kirchlichen Verboten dagegen vorgegangen

In der französischen Literatur wurde der Würfel manchmal als Erfindung des Teufels gebrandmarkt.[16] Gemäß einem Judensteuervertrag von 1293 zwischen König Adolf von Nassau und Erzbischof Gerhard II

von Mainz waren im Streitfall jedoch drei Würfel zu verwenden.[17] Im Zusammenhang mit jüdischen Zöllen und Steuern war der sogenannte Würfelzoll regional weit verbreitet, sowohl als offizielle Steuer als auch als beliebte antijüdische Schikane im einfachen Volk

In der Vergangenheit wurden Würfel hauptsächlich für reine Würfelspiele verwendet und nur selten, wie beim Backgammon, als Teil anderer Spielarten im Laufe des 20

Jahrhunderts in einer wachsenden Zahl von Gesellschaftsspielen verwendet

Im Massenmarkt war dies fast immer auf sechsseitige Würfel beschränkt

Andere Formen tauchten erstmals in größerem Umfang mit dem Aufkommen von Tabletop-Spielen in den 1960er Jahren auf

Das erste erfolgreiche Pen-and-Paper-Rollenspiel Dungeons & Dragons etablierte dann ab 1974 die fünf platonischen Körper und ab den 1980er Jahren auch den zehnseitigen Würfel (Dekaeder oder fünfeckiges Trapez) als weit verbreitete Vorbilder

Durch die wachsende Zahl an Rollenspielsystemen und den Beginn des Sammelns entwickelte sich in den folgenden Jahrzehnten ein Markt für verschiedenste Würfeldesigns, der durch die Gründung zahlreicher Firmen aufgegriffen wurde

Produktionsleiste auf einem Wissenschaftswürfel

(Rasiermesserkante) Craps-Präzisionswürfel, matt und mit scharfen Kanten

Die meisten Würfel sind aus Kunststoff (ABS), Holz ist noch weit verbreitet, vereinzelt kommen auch andere Materialien wie Kork, Horn, Stein, Metall oder Pappe zum Einsatz

Gängige Würfel haben eine Kantenlänge von etwa anderthalb Zentimetern, der Markt deckt jedoch eine große Bandbreite an Größen ab

Kunststoffwürfel werden normalerweise gegossen und hinterlassen einen Stopfen, der zusammen mit anderen Unvollkommenheiten glatt bearbeitet wird

Die Inschriften sind meist Vertiefungen, in die Farbe gefüllt ist, seltener gedruckt

Diese unterschiedlichen Behandlungen der Seiten stellen streng genommen eine leichte Verzahnung dar, aber der Effekt ist minimal und in der Praxis vernachlässigbar

Für den Würfel- und Brettspiel-Massenmarkt gibt es zahlreiche Hersteller, aber für die exotischeren Rollenspiel-Würfel gibt es weltweit nur wenige namhafte Hersteller

Viele der unten genannten Würfelarten werden nur von einem dieser Unternehmen hergestellt, da einige Konstruktionen wie der Zocchieder sogar patentiert sind

Unter diesen Firmen dominieren vor allem Koplow und Chessex Games den Massenmarkt, Gamescience und Crystal Caste haben sich auf exklusivere Modelle spezialisiert und heben sich teilweise in den Herstellungsprozessen ab; Gamescience beispielsweise lehnt das Rollen der Produktionsgleise ab, da dies der Idealität des Würfels mehr schaden soll als die Gleise selbst.[18] Besonders aufwendig ist die Herstellung von Casinowürfeln, auch Präzisionswürfel genannt

Beim professionellen Glücksspiel werden höchste Anforderungen an die Idealität der verwendeten Würfel gestellt

Dafür wird anstelle der üblichen Kunststoffe Zelluloseacetat verwendet, das völlig blasenfrei hergestellt und somit besonders präzise verarbeitet werden kann

Die Würfel werden nicht gegossen, sondern früher mit Diamanten und jetzt mit Lasern aus größeren Blöcken geschnitten

Seit den 1960er Jahren hat Celluloseacetat das leicht entzündliche und lösliche Cellulosenitrat abgelöst

Doch das modernere Material hat eine Schwäche: Es ist temperatur-, feuchtigkeits- und lichtempfindlich und beginnt mit der Zeit zu kristallisieren und spröde zu werden.[19] Neben den höheren Kosten ist dies ein Grund, warum solche Würfel nur in Casinos verwendet werden, wo sie häufig getauscht werden, und nicht im Privatgebrauch, wo die Nutzungsdauer meist deutlich länger ist

Toleranzen für die Form von Casino-Würfeln liegen im Bereich von 0,0005 [20] oder 0,0002 [21] Zoll (0,0127 oder 0,00508 mm)

verwendet auch nur Farbe mit der Dichte des Würfelmaterials, um die Augen zu füllen

Je nach Spiel und Casino sind die Kanten und Ecken scharf (razor edge) oder abgerundet (ball cornered) und die Oberfläche matt (sanded) oder poliert (polished)

Bei letzterer Behandlung sind die Würfel transparent, was einige Zinkverfahren (siehe oben) erkennbar machen würde

Zu den verwendeten Sicherheitsmerkmalen gehören auch Seriennummern, auf der Innenseite sichtbare Zeichen oder Beschichtungen, die auf UV-Licht reagieren[22]

Das wichtigste Kriterium zur Unterscheidung von Würfeln ist die Seitenzahl und damit der Zahlenbereich, aus dem sie Zahlen generieren können

Entsprechend der bei Rollenspielern üblichen Terminologie werden die Würfel entsprechend der Seitenzahl n mit Wn bezeichnet, der normale sechsseitige Würfel mit W6

Der Begriff dn aus dem englischen Dice ist weit verbreitet

Die Spalte Ideal gibt an, ob bei einem perfekt gefertigten Repräsentanten einer Form (so) alle Ergebnisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten würden.

Unter dem Einfluss von Dungeons & Dragons haben sich die folgenden sechs Würfel als Standardsortiment unter Rollenspielern herauskristallisiert und sind damit die mit Abstand gängigsten Würfeltypen

Sie sind die fünf platonischen Körper und ein Trapez

Alle sechs sind aufgrund ihrer symmetrischen Form ideal

Typ Form Ideal Weitere Informationen W4 Tetraeder Ja Platonischer Körper aus vier gleichseitigen Dreiecken

Beim W4 bleibt immer ein Peak oben, so dass der normale Lesevorgang nicht durchgeführt werden kann

Es gibt zwei Varianten des W4: Beide haben auf jeder Seite drei Zahlen, die so angeordnet sind, dass der Würfel aus jedem Blickwinkel das gleiche Ergebnis zeigt

Diese befinden sich entweder an den Kanten oder an den Ecken

Bei der Kantenvariante zählt als Würfelergebnis die Zahl, die auf der Kante steht, die den Boden berührt; bei der Eckvariante zählt die Zahl an der oberen Ecke

Da der D4 sehr schlecht rollt, wird er meist wie ein Münzwurf hochgeschleudert

W6 Hexaeder Ja Platonischer Körper aus sechs Quadraten

Der W6 ist die Art von Würfeln, die in fast allen alltäglichen Spielen zu finden ist und wird daher oft als der Spielwürfel angesehen

Die Summe der Zahlen auf zwei beliebigen gegenüberliegenden Seiten ist in Standardschrift immer 7

Modifikationen davon haben Kanten, die nach außen oder nach innen gekrümmt sind[23]

W8 Oktaeder Ja Platonischer Körper aus acht gleichseitigen Dreiecken

In Standardschrift ist die Summe der Zahlen auf zwei beliebigen gegenüberliegenden Seiten 9

W10 fünfeckiges Trapez Ja Körper aus zehn Drachenquadraten (als einziger gebräuchlicher Würfel, der kein platonischer Körper ist)

Es wird normalerweise mit den Zahlen 0-9 geschrieben, wobei 0 oft als 10 angenommen wird

Ohne diese Umwandlung ist die Summe der Zahlen auf zwei beliebigen gegenüberliegenden Seiten 9

Es gibt selten Versionen mit den Zahlen 1-10, in diesem Fall die Zahlen auf jeweils zwei gegenüberliegenden Seiten ergeben 11 W100 verwendet (siehe unten)

W12 Dodekaeder Ja Platonischer Körper aus zwölf regelmäßigen Fünfecken

In der Standardschrift ist die Summe der Zahlen auf zwei beliebigen gegenüberliegenden Seiten 13

W20 Ikosaeder Ja Platonischer Körper aus 20 gleichseitigen Dreiecken

Bei der Standardschrift ist die Summe der Zahlen auf zwei beliebigen gegenüberliegenden Seiten 21

Durch die doppelte Vergabe der Zahlen 0-9 entsteht ein „platonisches W10“

Andere Polyeder [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Diese Würfel haben die Form eines hochsymmetrischen, aber nicht platonischen Polyeders

Besonders gut eignen sich hierfür katalanische oder archimedische Körper, wobei die katalanischen Körper aufgrund der Gleichmäßigkeit ihrer Oberflächen im Gegensatz zu den archimedischen Körpern als ideal gelten.

Typ Form Ideal Hersteller Zusatzinformation W12 Rautendodekaeder Ja Katalanischer Körper aus 12 kongruenten Rauten (Rauten) W14 Kuboktaeder Nein Archimedischer Körper aus 6 Quadraten und 8 gleichseitigen Dreiecken W24 Tetrakishexaeder Ja Chessex, GameScience, Koplow Katalanischer Körper aus 24 gleichschenkligen Dreiecken

Die Struktur kann man sich als Würfel mit allseitig aufgepfropften vierseitigen Pyramiden vorstellen

In Standardschrift ist die Summe der Zahlen auf zwei gegenüberliegenden Seiten 25

W24 Deltoidalicositetraeder Ja Katalanischer Körper aus 24 kongruenten Deltoiden (Drachenvierecke) W26 Kleines Rhombikuboktaeder Nein Archimedischer Körper aus 8 gleichseitigen Dreiecken und 18 Quadraten W26 Großes Rhombikuboktaeder Nein Archimedischer Körper von 12 Quadrate, 8 regelmäßige Sechsecke und 6 regelmäßige Achtecke D30 rhombisches Triacontaeder Ja GameScience, Koplow Katalanischer Körper aus 30 kongruenten Rauten

In Standardschrift ist die Summe der Zahlen auf zwei gegenüberliegenden Seiten 31

W32 Ikosidodekaeder Nein Archimedischer Körper aus 12 regelmäßigen Fünfecken und 20 regelmäßigen Dreiecken W32 Abgeschnittener Ikosaeder Nein Archimedischer Körper aus 12 regelmäßigen Fünfecken und 20 regelmäßigen Sechsecken

(“Football solid”) W48 Hexakisoctahedron Ja Katalanischer Körper aus 48 kongruenten Dreiecken W120 [24] Disdyakistriakontahedron Ja The Dice Lab Katalanischer Körper aus 120 kongruenten Dreiecken

Prismatische oder säulenförmige Würfel bestehen aus zwei Grundflächen und einer beliebigen, meist relativ kleinen, ungeraden Anzahl von Seitenflächen

Wenn ein prismatischer Würfel mit ungerader Seitenzahl auf eine seiner Seiten fällt, zeigt eine Kante nach oben

Aus diesem Grund werden die Werte hier mit farblich gekennzeichneten Punkten dargestellt, die über die Seitenränder laufen

Alternativ erfolgt die Beschriftung wie bei einem herkömmlichen W4, da in den möglichen Ruhepositionen keine der Seitenflächen oben ist

Prismatische Würfel mit mehr als zwei Flächen sind als Idealwürfel schwierig herzustellen, da die richtigen Verhältnisse von Seiten- und Grundflächen für eine ausgewogene Wahrscheinlichkeitsverteilung schwer zu berechnen sind

Der Spielwissenschaft ist es aber zumindest vermeintlich gelungen, ideale D5 und W7 zu schaffen – solche Formen gelten aber gemeinhin als nicht ideal.

Typ Form Ideal Hersteller Weitere Informationen W2 Zylinder (Scheibe) Ja Ein W2 ist in der Regel kein echter Würfel, sondern eine einfache Münze, die scherzhaft nach dem üblichen Namensschema genannt wird

Zusätzlich zu alltäglichen Situationen erfordern viele Spiele 50-50 zufällige Entscheidungen, daher produzieren einige Würfelhersteller speziell beschriftete Scheiben, um ihr Sortiment zu vervollständigen

Die Kante des W2 ist die einzige Seitenfläche und wird aufgrund ihrer extrem geringen Trefferwahrscheinlichkeit normalerweise vernachlässigt

W3 Triangular Prism (Ja) Verschiedene (für bestimmte Brettspiele) Diese Form eines W3 hat zwei unbeschriftete Decks mit einer Landewahrscheinlichkeit ungleich Null

Wenn der Wurf mit einem solchen Ergebnis wiederholt wird, ist der Würfel im Hinblick auf das Endergebnis immer noch ideal

Eine zylindrische Form (siehe unten) umgeht diese Schwäche

W5 Triangular Prism No GameScience Ein W5 ist eine dreieckige Säule, deren Oberseiten mit 1 und 5 beschriftet sind

Die Werte 2-4 sind auf den Seitenflächen verteilt und an den schmalen Kanten markiert

Der bekannte D5 von Gamescience ist streng genommen kein echter prismatischer Würfel, der Übergang von Seiten- zu Deckflächen wurde für ein besseres Verhalten abgeschrägt

W7 Fünfeckprisma No GameScience Das W7 ist eine fünfeckige Säule, deren Oberseiten mit 6 und 7 beschriftet sind

Die Werte 1-5 sind über die Flächen verteilt und an den Kanten markiert

W9 siebeneckiges Prisma No GameScience Das W9 ist eine siebeneckige Säule mit 1 und 9 oben

Die Werte 2-8 sind auf den Seitenflächen verteilt und an den Kanten markiert

Da solche Würfel selten sind, wird meist ein W10 als Abhilfe eingesetzt; es wird wieder ein 0-Wurf geworfen

Es gibt zwei unterschiedliche, aber ähnliche Bauweisen für Rollwürfel: Zum einen können n-seitige Prismen verwendet werden, die auf den Oberseiten n-seitige Pyramiden aufweisen

Die andere Möglichkeit sind Antiprismen (also gegeneinander versetzte Dreiecke als Seitenflächen) mit n 2 {\displaystyle {\frac {n}{2}}} -seitigen Pyramiden auf den Oberseiten

In beiden Fällen sorgen die Pyramiden dafür, dass weder die Deckflächen noch die Pyramidenflächen als Ergebnis erscheinen können, die Werte also ausschließlich auf die Seitenflächen verteilt werden

Das Prismenprinzip erlaubt eine beliebige Anzahl von Seiten ≥ 3 {\displaystyle \geq 3} , wird aber selten verwendet

Bei einer ungeraden Flächenzahl tritt das Problem auf, dass nach einem Wurf keine obere Fläche vorhanden ist, dies kann wie bei Prismen durch Kantenbeschriftung gelöst werden

Bei der Antiprisma-Variante sind nur gerade Seitenzahlen ≥ 4 {\displaystyle \geq 4} möglich; Es ist die weiter verbreitete Form von Rollwürfeln, meist als Alternative zu den Standardwürfeln

Es entsteht ein Tetraeder mit vier Seiten, und die oberen Flächen degenerieren zu Linien, so dass die Pyramiden oben wegfallen.

Typ Form Ideal Hersteller Weitere Informationen W3 Dreiecksprisma mit aufgesetzten Pyramiden Ja Kristallkaste In dieser Form durchaus möglich, aber selten anzutreffen

W4 Quadratprisma mit Pyramiden auf der Spitze Ja Diverse W4 Disphenoid Ja Dieses W4 stellt eine degenerierte Sonderform der Antiprismenrollenkonstruktion dar: Es besteht aus um 180° versetzten Dreiecken, hat aber statt der Pyramiden auf der Spitze nur zwei Kanten

W6 Dreieckiges Antiprisma mit Pyramiden auf der Spitze Ja Diverse W7 Abgerundetes Heptagonalprisma Ja In der gezeigten Form Rundungen statt Pyramiden, dies ist in der Regel eine Alternative

W8 quadratisches Antiprisma mit Pyramiden oben ja verschieden W10 fünfeckiges Antiprisma mit Pyramiden oben ja verschieden Die Anordnung der Flächen entspricht dem Ikosaeder (W20), jedoch ist der Mittelteil gestreckt

W12 Sechseckiges Antiprisma mit Pyramiden oben Ja Verschiedenes W12 Zwölfkantprisma mit Pyramiden oben Ja Dieses Modell hat nur auf einer Seite eine Pyramide, daher muss es eher gedreht als gerollt werden

W20 zehneckiges Antiprisma mit aufgesetzten Pyramiden Ja Diverse

Es gibt zwei Klassen von geometrischen Körpern, die optisch Spindeln oder Kreiseln ähneln

Zum einen gibt es die Bipyramiden, die aus zwei mit der Basis verklebten Pyramiden bestehen, so dass sich zwei Flächen am „Äquator“ treffen

Wenn die Inschrift auf den Stirnseiten sein soll, muss jede der beiden Pyramiden eine gerade Seitenzahl haben, damit eine Stirnseite oben sein kann

Das bedeutet, dass nur Würfel mit 4n Seiten möglich sind, d.h

jeder Halbkörper muss eine gerade Anzahl an Flächen haben, sonst wäre eine Kante oben

Die andere Variante sind Trapeze, die aus Drachenvierecken bestehen

Diese sind so angeordnet, dass sich Fläche und Kante am „Äquator“ treffen und somit einen Zickzackverlauf erhalten

Aus dem gleichen Grund wie oben sind bei Flächenbeschriftungen nur die Seitenzahlen 4n+2 möglich

Randbeschriftungen erlauben die anderen Seitenzahlen, also Bipyramiden mit 2n Seiten, n ungerade, und Trapeze mit 2n Seiten, n gerade

In der Praxis werden jedoch nur die Bereichskennzeichnungen verwendet

Die Hälften beider Formen sehen aus wie Kegelstümpfe mit hohen Seitenzahlen

Neben den unten aufgeführten exotischeren Würfeln gehören auch zwei der Standardwürfel zu dieser Klasse: Der W8 ist eine Bipyramide, der W10 ist ein Trapez

Das W6 kann auch als Trapez interpretiert werden

Typ Form Ideal Hersteller Weitere Informationen W14 14-seitiges Trapez Ja Chessex, GameScience Auch in dieser Version sind die Wochentage doppelt beschriftet

W16 16-seitige Bipyramide Ja Chessex, GameScience W34 34-seitiges Trapezoeder Ja Chessex Der W34 wird als Dänischer Lotteriewürfel vermarktet und soll tatsächlich in der Dänischen Lotterie als Zufallszahlengenerator verwendet worden sein

W48 48-seitige Bipyramide Ja W50 50-seitiges Trapezoeder Ja GameScience

Kugelwürfel sind eine sehr ungewöhnliche Konstruktion

Deshalb gilt einer von ihnen, der Zocchihedron-W100, als eine Art Krönung des Rollenspiels oder (allgemein) exotische Würfelkugel, die in einer der sechs Mulden zu liegen kommt

Die Kugel hat also sechs stabile Zustände

Dieser W6 ist genauso ideal wie ein normaler Würfel

Je nach Fertigungsqualität kann diese Form zu sehr langen Walzzeiten führen

W32-Geschoss Nr

Ein Geschoss mit 32 Vertiefungen

W50-Geschoss Nr

Ein Geschoss mit 50 Vertiefungen

W100 Ball No GameScience Wird nach seinem Erfinder Lou Zocchi auch Zocchihedron genannt

Es ist ein Doppelball

Die äußere Kugel hat 100 Vertiefungen für unterschiedliche Ruhepositionen, die innere ist mit den Werten bedruckt und enthält Plastikschrot für kürzere Rollzeiten.

Neben diesen Familien gibt es einige noch exotischere Modelle, darunter polyederförmige, aber weniger regelmäßige Körper und völlig isolierte Konstruktionsprinzipien

Typ Form Ideal Hersteller Weitere Informationen W3 Ellipsoid mit drei konkaven Flächen Ja GameScience Neben den Zahlen 1-3 mit R, P, S beschriftet für Rock, Paper, Scissors

W5 Unregelmäßig geformter Körper mit Stützflächen Nein Schädelform mit 1-5 Löchern W6 Rhomboeder (quaderförmig) Ja Wird wegen des seltsamen Rollverhaltens als Scherzwürfel verkauft

W6 Human Fitted in Cube Nein Beispiel für eine Vielzahl von Varianten, bei denen eine Figur in einer ungefähren W6-Form eingepasst wurde

W10 Unregelmäßiges Polyeder Nr

Körper aus 2 Quadraten und 8 Trapezen, entspricht einem an 2 gegenüberliegenden Ecken abgeschnittenen Oktaeder

W14 Unregelmäßiges Polyeder Nein Festkörper bestehend aus 2 regelmäßigen Sechsecken und 12 unregelmäßigen Fünfecken

W18 Unregelmäßiges Polyeder Nein GameScience Körper aus 6 Quadraten und 12 Sechsecken

W20 Unregelmäßiges Polyeder No GameScience Körper bestehend aus 12 Fünfecken, 6 Rauten und 2 Sechsecken

W26 Unregelmäßiges Polyeder No GameScience Körper aus 2 regelmäßigen Achtecken, 8 Rechtecken und 16 Trapezen

W? Pig No MB Games Ein Gummischwein, das im Spiel Mess als Würfel verwendet wird

Aufgrund mehrerer möglicher Schräglagen ist dies ein höchst unidealer Würfel, der jedoch die hier verwendeten Definitionen erfüllt

W1 Gömböc Ja Der Gömböc repräsentiert eine extreme Form des Würfels

Es ist ein Körper mit nur einer stabilen Gleichgewichtslage

Zahlen und Punkte [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Das grün dargestellte Netz – Spiegelebene ist chiral zum obigen Netz, die Würfel sind ebenfalls chiral

Der obere Würfel ist linkshändig, der untere rechtshändig, die Wendigkeit (im Beispiel von vier über fünf bis sechs zählend) ist blau markiert

Die beiden Würfel können nicht zur Deckung gebracht werden

Würfel sind chiral, die Anordnung der Ziffern ist spiegelbildlich

Es wird fast ausschließlich das oben gezeigte Netz mit dem dazugehörigen Würfel verwendet

Die Anordnung der Ziffern im dargestellten Netzwerk unterhalb der – markierten – Spiegelebene ist chiral zum Netzwerk darüber, die Würfel sind ebenfalls chiral

Der obere Würfel ist linksgängig, der untere rechtsgängig, Wendigkeit (im Beispiel von oben gezählt) ist markiert

Die beiden Würfel können nicht ausgerichtet werden

Japanisch d6

Spielwürfel sind üblicherweise mit Zahlen beschriftet, da diese das meistgewünschte Zufallsergebnis darstellen und bei Verwendung mehrerer Würfel eine Addition und sonstige Verarbeitung ermöglichen

Anstelle von arabischen Ziffern werden manchmal runde Markierungen, die Augen, verwendet, insbesondere beim W6, die als völlig gleichwertig mit den Ziffern angesehen werden können

Bei den meisten Würfeln, deren Konstruktionsprinzip klare Gegenseiten beinhaltet, ist es üblich, die Zahlen so anzuordnen, dass sich jeweils zwei gegenüberliegende Seiten eines n-seitigen Würfels zu n + 1 {\displaystyle n+1} addieren

Es gibt jedoch Ausnahmen von dieser Regel

Und selbst wenn es befolgt wird, ist die genaue Anordnung der Nummern noch nicht klar definiert, da es meist mehrere Labels gibt, die diese Regel erfüllen

Beispielsweise sind für den W6 zwei Ausrichtungen möglich, die beide seit der Antike verwendet werden.[25] Diese beiden Ausrichtungen der Ziffern im Würfel sind Spiegelbilder (wie Chiralität in der Chemie und auch in der Mathematik)

Die Ziffern 6 und 9 sind bis auf die Drehung identisch

Bei Würfeln, deren Zahlenbereich beide Ziffern verwendet, wird normalerweise ein Merkmal zur leichteren Unterscheidung hinzugefügt

Ein Punkt auf der Seite, der unten lautet, oder eine Unterstreichung davon, ist üblich.

In China und teilweise in Japan werden die Standardaugen W6 etwas anders lackiert als in Europa

Typisch sind ein besonders großes, rotes Auge für die eine, eine rote Vier und Anordnung der beiden Augen der beiden nebeneinander statt diagonal.[26]

Andere Aufdrucke [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Mathematik-Würfel

Würfel mit Symbolen

Ein vielfältiges Feld sind Würfel mit alternativen Beschriftungen

Halbierte Würfel werden verwendet, um ungewöhnliche Seitenzahlen mit häufigeren Formen zu simulieren, wie z

ein W2, das durch Schreiben von zwei Einsen und zwei Zweien auf ein W4 entsteht

Zehnerwürfel sind Varianten des W10, die statt 0-9 00-90, 000-900 oder 0000-9000 oder Nachkommastellen (nach englischer Notation mit Punkt statt Komma) wie. 0- haben

9,. 00-.09 und

000-.009 sind beschriftet

Diese werden in Kombination gewürfelt und die Ergebnisse werden addiert, sodass Sie Würfelergebnisse mit mehreren Zehnerstellen erhalten

Besonders verbreitet ist die Verwendung einer W10 mit 00-90 und einer mit 0-9 als simulierte W100 (auch W%) genannt oder eine W10 mit 00-90 und eine mit 1-10, bei der beide Zahlen addiert werden

Dies kann mit zwei unterschiedlich farbigen W10 mit 0-9 erreicht werden, wobei die rote beispielsweise die Zehnerstelle darstellt

Zusammengefasste Würfel sind Oktaeder, die die Summe mehrerer Münzwürfe (normalerweise 0 und 1) zusammenfassen: Das „d2“ ist mit 4 0 und 4 1 beschriftet

Entsprechend der Wahrscheinlichkeit hat die „2W2“ zwei 0en und 2en und vier 1en

Das „3W2“ hat je eine 0 und 3 und je drei 1 und 2

Theoretisch wären auch größere Würfel (1×0, 4×1, 6×2, 4×3, 1×4 usw.) möglich, aber die Anzahl der benötigten Seiten wäre 2n und würde schnell sehr groß werden

Einige Spiele verwenden Würfel mit Symbolen, die keine Zahlen sind

In den meisten Fällen sind dies W6

Beispiele sind Würfel für Würfelpoker, Chuck-a-Luck-Varianten oder diverse moderne Brettspiele

Würfel mit Trefferzonen sind in Rollenspielen üblich

Farben werden manchmal anstelle von Symbolen verwendet

Es gibt auch Kombinationen aus Zahlen- und Symbolwürfeln, bei denen beispielsweise zu Werbezwecken nur eine Zahl durch ein Firmenlogo oder durch ein Symbol für ein besonders wichtiges Ereignis in einem Spiel ersetzt wird

Da es in der menschlichen Kultur viele genau gezählte Kategorien gibt, ist es sinnvoll vorzuschlagen, diese mit passenden Würfeln zu überdecken

So gibt es W4 mit den vier Grundrechenarten, W8 mit den acht Himmelsrichtungen, W12 mit den Kalendermonaten und ähnliche Produkte

Wahrscheinlichkeitsverteilung beim Werfen von 1 bis 5 W6

Als überschaubare Alltagsgegenstände und Systeme sind Würfel beliebte Beispiele in der Wahrscheinlichkeitstheorie

Umgekehrt liefert die Wahrscheinlichkeitstheorie wichtige Erkenntnisse über die Verwendung von Würfeln in Spielen

Der Wurf eines einzigen idealen Würfels, unabhängig von der Seitenzahl n, ist das klassische Beispiel einer Gleichverteilung: Jedes der möglichen Ergebnisse hat genau dieselbe Wahrscheinlichkeit; Bei langen Spielen ist nach dem Gesetz der großen Zahl zu erwarten, dass sich die Häufigkeiten der Zahlen angleichen

Der Erwartungswert eines solchen Wurfes ist immer n + 1 2 {\displaystyle {\frac {n+1}{2}}}.

In vielen Spielen, wenn zwei identische Würfel gleichzeitig geworfen werden und das Ergebnis addiert wird hat das Wahrscheinlichkeitsdiagramm die Form eines Dreiecks, ist ein Ergebnis umso häufiger, je näher es am Mittelwert der Ergebnisspanne liegt

Wenn Sie weitere Würfel hinzufügen, rundet sich die Kurve ab und die Verteilung nähert sich einer Normalverteilung.

Außerdem verwenden viele Spiele kompliziertere Würfelsysteme, für die auch Wahrscheinlichkeitsberechnungen durchgeführt werden können

Häufige Probleme sind die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ergebnisklassen (z

ein Double, also zwei identische Ergebnisse, bei Monopoly), das Über- oder Unterschreiten einer bestimmten Grenze durch das Gesamtergebnis (in vielen Rollenspielsystemen sogenanntes „Over-Rolling“ und „ Under-Rolling”) oder die Risikobewertung zwischen verschiedenen Distributionen (z

wenn Sie in einem Rollenspiel die Wahl zwischen einer 2W10-Schadenswaffe oder einer 1W20-Waffe haben)

eine mit 1, 2, 2, 3, 3, 4 und die andere mit 1, 3, 4, 5, 6, 8

Dies ist die einzige alternative Möglichkeit der Beschriftung mit positiven ganzen Zahlen, sodass jede mit diesem Paar gewürfelte Summe gerecht auftritt so oft wie bei gewöhnlichen Spielwürfeln

Statistisch interessant sind intransitive Würfel

Für jeden dieser unterschiedlich gekennzeichneten Würfel gibt es einen anderen, der langfristig gegen ihn gewinnt, d.h

häufiger eine höhere Zahl zeigt als eine niedrigere

Dabei handelt es sich um bewusst markierte[29] Objekte, um Zufallszahlengeneratoren zu haben, deren Wurfergebnisse nicht als gleich wahrscheinlich anzusehen sind.[30] Klemmenblöcke dienen demselben Zweck.[31]

Andere Zufallszahlengeneratoren [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

Spinner A sechsseitig

Würfeln ist nicht die einzige Methode, die in Spielen verwendet wird, um zufällige Ergebnisse zu erzielen

Die als Spinner oder Glücksspielkreisel bekannten Objekte sind eng mit Würfeln verwandt

Sie bestehen aus einem würfelähnlichen Körper und einer zentralen Achse, um die sie gedreht werden können, und verhalten sich wie ein Kreisel, bis sie zur Ruhe kommen und ein Ergebnis analog zu einem Würfel anzeigen

Beispiele hierfür sind der Dreidel und der Nimmgib

Ein weiterer mechanischer Zufallszahlengenerator ist das Glücksrad, bei dem sich ein Rad mit Ergebnisaufschriften unter einem Zeiger dreht

Es ist möglich, Personen die Zufallsentscheidung direkt treffen zu lassen, zum Beispiel durch blindes Losziehen oder Kartenspielen und Schere-Stein-Papier

Es können auch elektronische Zufallszahlengeneratoren verwendet werden

Siehe auch [Bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

– Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Würfel Simulation mit Python | Deutsch New

Weitere Informationen zum Thema würfel zufallsgenerator

Ich zeige euch in diesem Video, wie ihr einen Würfel in Python simulieren könnt. Ich benutze hierfür das Programm PyCharm. Ein kleines Tutorial dazu ist auch mit drin.
PyCharm: https://www.jetbrains.com/de-de/pycharm/download/

würfel zufallsgenerator Ähnliche Bilder im Thema

Update New Würfel Simulation mit Python | Deutsch — Würfel Simulation mit Python | Deutsch Update

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Random Integer Generator. This form allows you to generate random integers. The randomness comes from atmospheric noise, which for many purposes is better than the pseudo-random number algorithms typically used in computer programs.

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Hier seht ihr einen Bausatz für ein Würfel den ich bei Ebay gekauft habe. Es ist ein gutes Beispiel für einen Zufallsgenerator in der Elektrotechnik. Die verwendeten ICs sind NE555 und CD4017.

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Zufallsgenerator Würfel – Minecraft – Redstone – Server Vorstellung Update

Neues Update zum Thema würfel zufallsgenerator

Eine ganz kurze Vorstellungsreihe zu unserem alten Server.
Alte aber Innovative Redstone Schaltungen.
Hier seht ihr die Möglichkeit einen Würfel für ein \”Gesellschaftsspiel\” zu erstellen 🙂
Über ein Like oder ein Abo würde ich mich freuen 🙂
——————–
(c) 2016 Julius van Vern
https://www.youtube.com/user/MrKlobuerste

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Update Zufallsgenerator Würfel - Minecraft - Redstone - Server Vorstellung — Zufallsgenerator Würfel – Minecraft – Redstone – Server Vorstellung Update New

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 1 … Neueste

Zum Seitenanfang : Bevor wir zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten kommen, müssen wir wissen, was sie bedeuten. Gehen wir von einem der einfachsten Zufallsexperimente aus: dem Würfel (Beispiel 1 oben).Das Maß für die Sicherheit, die höchste Augenzahl 6 zu würfeln, könnte vielleicht so formuliert werden: “Ungefähr bei jedem sechsten Würfel-Versuch wird die …

+ hier mehr lesen

Zufall und Wahrscheinlichkeit

Nicht nur in den Naturwissenschaften kommt es auf eine möglichst genaue Beschreibung der untersuchten Phänomene an

Wir alle wünschen uns manchmal, wir könnten genug über die Dinge wissen, die uns betreffen, um genaue Vorhersagen über zukünftige Ereignisse treffen zu können

Die Natur und das Leben setzen diesem Unterfangen jedoch Grenzen

Zufall und Zufallsexperiment

Manche Dinge, die wir sagen, passieren zufällig

Wir meinen damit, dass wir sie nicht mit Sicherheit vorhersehen können

Der Grund dafür kann in schlichter Unwissenheit liegen (wen treffe ich an der nächsten Kreuzung?) oder in einer grundsätzlichen Unschärfe, wie sie der Freiheit menschlicher Entscheidungen innewohnt und nach den Erkenntnissen der Quantentheorie auch ist sogar ein grundlegendes Merkmal der “Natur” ist auf einer physischen Ebene

Wir sind daher oft auf „ungefähre“ Vorhersagen angewiesen, beispielsweise über das Wetter der nächsten Tage

Wenn sich die Mathematik mit dem Zufall beschäftigt, braucht sie Modelle von Situationen, deren Ausgang ungewiss ist und die sich mit ihren Mitteln beschreiben lassen

Wir nennen solche Modelle (ideale) Zufallsexperimente (oder Zufallsversuche)

Dieses Kapitel ist ihren grundlegenden Eigenschaften gewidmet

Die anschaulichsten Zufallsexperimente kommen aus einem Lebensbereich, der einerseits klare Regeln hat, uns aber andererseits ausdrücklich Ungewissheit wünscht: das Glücksspiel (das auch der Ausgangspunkt der Wahrscheinlichkeitsrechnung in der Geschichte der Mathematik war)

Beispiel 1 eines Zufallsexperiments: Ein (idealer) Würfel wird geworfen

Die Zusatzbezeichnung „ideal“ weist darauf hin, dass es sich um einen absolut „fairen“ Würfel handeln soll, der jeder Zahl genau die gleiche Chance gibt – eine Vorgabe, die in der Realität ganz gut zu erreichen ist, letztlich aber ein Gedankenexperiment darstellt.

Die möglichen Ergebnisse der Experiment sind die sechs Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5 und 6

Beispiel 2 eines Zufallsexperiments: Es werden zwei unterscheidbare (ideale) Würfel geworfen

Stellen wir uns der Einfachheit halber vor, es wäre ein roter und ein blauer Würfel

Die beiden Würfel sollten unabhängig voneinander fallen, d

das Verhalten des einen sollte das Verhalten des anderen nicht beeinflussen

Die Würfel sollen nicht nur an sich „ideal“ sein, sondern es wird auch ihre Unabhängigkeit als weiteres „ideales“ Element dieses Zufallsexperiments gefordert

Die möglichen Ergebnisse des Experiments sind alle 36 möglichen geordneten Zahlenpaare: ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 1 , 6 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 3 ) ,..

( 6 , 4 ) , ( 6 , 5 ) und ( 6 , 6 ).

Beispiel 3 eines Zufallsexperiments: Es gibt 10 rote, 15 blaue und 5 grüne Kugeln in einer Urne

Ein Ball wird zufällig (“blind”) ausgewählt

Auch hier wird ein “Idealzustand” angenommen, nämlich dass jede der Kugeln die gleiche Chance hat, gezogen zu werden

Außerdem wollen wir nicht zwischen gleichfarbigen Kugeln unterscheiden

Mögliche Ergebnisse des Experiments sind die 3 Farben der Kugeln in der Urne: rot (steht für: eine rote Kugel wird gezogen)

(steht für: ) blau (steht für: eine blaue Kugel wird gezogen )

(steht für: ) grün (steht für: eine grüne Kugel wird gezeichnet ) Wie diese Beispiele zeigen, ist ein Zufallsexperiment eine gedankliche Konstruktion

Wie andere mathematische Konstruktionen muss es “wohldefiniert” sein

Und wie in anderen Bereichen der Mathematik lassen sich mentale Konstruktionen näherungsweise auf die Realität übertragen (z

auf realistische Würfel, auf eine Tombola-Ziehung oder – als Beispiel für ein komplexeres Zufallsexperiment – auf das Problem der Wettervorhersage).

Jedes (ideale) Zufallsexperiment hat eine Menge möglicher Ergebnisse

Jedes Testergebnis wird auch als Elementarereignis bezeichnet

Die Menge all dieser elementaren Ereignisse nennen wir den Ereignisraum

Betrachten wir die Ereignisräume der obigen drei Beispiele: Beispiel 1 (Würfel): Der Ereignisraum ist die Menge der möglichen Zahlen {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Es hat 6 Elemente

Beispiel 2 (Würfeln mit zwei Würfeln): Der Ereignisraum ist die Menge aller geordneten Zahlenpaare { ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3),..

(6, 4), (6, 5), (6, 6)}

Es hat 36 Elemente

Beispiel 3 (Urne mit Kugeln): Das Ereignisfeld ist die Menge { rot , blau , grün }

Es hat 3 Elemente

In diesem Kapitel betrachten wir nur solche Zufallsexperimente, deren Ereignisraum endlich ist

In den nächsten Kapiteln zur Wahrscheinlichkeitsrechnung werden auch Zufallsexperimente auftauchen, deren Ereignisraum unendlich viele Elemente hat

Veranstaltungen und der Veranstaltungsraum

Prob.Berechnung

und Statistiken

2 | 3 | 4

Nun kommt ein wichtiger Begriff ins Spiel, der oft zu Missverständnissen führt: Ein Event ist eine Zusammenfassung von Testergebnissen, also von Elementarereignissen

Genauer gesagt: Ein Event ist eine Teilmenge des Veranstaltungsraums

Jedes elementare Ereignis ist ein Ereignis, aber es gibt auch andere Ereignisse

Betrachten wir einige Ereignisse der drei oben betrachteten Zufallsexperimente: Beispiel 1 (Würfel): Mögliche Ereignisse sind Die Anzahl der Punkte ist 2

Dies entspricht der Teilmenge {2} des Ereignisraums

Die Anzahl der Punkte ist eine gerade Zahl

Dies entspricht der Teilmenge {2, 4, 6} des Ereignisraums

Beispiel 2 (Würfeln mit zwei Würfeln): Mögliche Ereignisse sind Die Zahlen sind ( 1 , 4 )

Dies entspricht der Teilmenge {(1,4)} des Ereignisraums.

Dies entspricht der Teilmenge { } des Ereignisraums

Beide Pips sind nicht größer als 2

Dies entspricht der Teilmenge {( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 } des Ereignisraums

Die Summe der Pips ist gerade

Die Augen der Roten , , , Beispiel 3 (Urne mit Kugeln): Mögliche Ereignisse sind Eine blaue Kugel wird gezogen Dies entspricht der Untermenge { blau } des Ereignisraums.

Kugel gezogen Dies entspricht der Untermenge { } der Ereignisraum

Ein roter oder blauer Ball wird gezeichnet

Dies entspricht der Untermenge { rot , blau } des Ereignisraums

Wie diese Beispiele zeigen, können Ereignisse auch verbal als „Aussagen“ formuliert werden, die eine Beschreibung ihrer Elemente darstellen ist wichtig, dass jede solche Aussage eindeutig eine Teilmenge des Ereignisraums definiert (obwohl es manchmal schwierig sein kann, alle seine Elemente aufzulisten.) Übung: Welche der oben angegebenen Beispiele sind Elementarereignisse und welche nicht? Schreiben Sie das E-Ereignis ” Die Summe der Zahlen ist gerade” aus Beispiel 2 als Größe! Denken Sie an andere Ereignisse, die mit diesen drei Beispielen zusammenhängen! Wenn die zufällige Experiment durchgeführt wird, sagen wir, dass ein Ereignis A eintritt, wenn das Ergebnis des Experiments in der Menge A enthalten ist

Wenn beispielsweise in Beispiel 1 „Zahl 4“ gewürfelt wurde (dies ist das Ergebnis des Experiments), dann das Ereignis “Die Zahl ist gerade” ist eingetreten

Die Ereignisse „Die Zahl ist 2“ und „Die Zahl ist ungerade“ sind nicht aufgetreten

Beachten Sie, dass “Ergebnis” und “Ereignis” nicht identisch sind!

Bei jedem experimentellen Ergebnis treten bestimmte Ereignisse auf und andere nicht

Die bisher vorgestellten Begriffe (Zufallsexperiment, experimentelles Ergebnis = elementares Ereignis, Ereignisraum, Ereignis) definieren den Rahmen, in dem sich die Wahrscheinlichkeitsrechnung bewegt

Darauf beziehen sich auch weitere Themen, die wir in den folgenden Kapiteln behandeln werden (z

das der Zufallsvariablen und der Wahrscheinlichkeitsverteilung)

Wahrscheinlichkeit

Prob.Berechnung

und Statistiken

2 | 3 | 4

Wenn die Mathematik die Grenzen unserer Fähigkeit widerspiegelt, genaue Vorhersagen zu treffen, entsteht der Wunsch, zumindest ein gewisses Maß an Gewissheit (oder Unsicherheit) zu liefern, die mit einer Aussage verbunden ist

Ein solches Maß ist die Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ordnet jedem Ereignis in einem Zufallsexperiment eine Eintrittswahrscheinlichkeit zu

Nennen wir ein Ereignis A , wird die ihm zugeschriebene Wahrscheinlichkeit mit p(A) oder p A bezeichnet

(Der Buchstabe p kommt aus dem Englischen Wahrscheinlichkeit)

Andere Bezeichnungen, die Sie in der Literatur finden, sind P(A) , P A und Prob (A).

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A ist immer eine reelle Zahl, für die

0 £ p(A) 1 £(1)

anwendbar

Zwei Extremfälle kennzeichnen Gewissheit: Wenn p ( A ) = 1 , dann tritt A mit Sicherheit auf.

, dann tritt mit Sicherheit auf

Wenn p(A) = 0 ist, dann kommt A sicher nicht vor

Die Werte dazwischen drücken Sicherheitsgrade aus

Je größer die Wahrscheinlichkeit p(A) ist, desto „wahrscheinlicher“ ist die Annahme, dass Ereignis A eintritt

Aber was bedeutet das genau? Wie werden die durch Wahrscheinlichkeiten ausgedrückten Gewissheitsgrade definiert? Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit Seitenanfang

Bevor wir zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten kommen, müssen wir wissen, was sie bedeuten

Beginnen wir mit einem der einfachsten Zufallsexperimente: dem Würfel (Beispiel 1 oben)

Das Maß für die Gewissheit, die höchste Zahl 6 zu würfeln, könnte man vielleicht so formulieren: „Die Zahl 6 erscheint ungefähr bei jedem sechsten Würfelversuch“

Das bedeutet: „Bei 6 Würfelversuchen erscheint die Zahl 6 ungefähr 1 Mal“

Natürlich können wir nicht absolut sicher sein, dass die gewünschte Zahl bei nur 6 Versuchen genau einmal erscheint, also würfeln wir öfter: „Bei 6000 Würfelversuchen erscheint die Zahl 6 etwa 1000 Mal“

Das klingt plausibler

Gehen wir noch einen Schritt weiter: „Bei einer sehr großen Anzahl n von Würfelversuchen kommt die Zahl 6 etwa n/6 mal vor“

Jetzt wollen wir etwas genauer werden: Wenn wir ein Zufallsexperiment n-mal auf identische Weise durchführen und dabei genau m-mal das Ereignis A eintritt, nennen wir den Quotienten h(A) = mn (2)

die relative Häufigkeit, mit der Ereignis A aufgetreten ist

Die relative Häufigkeit wird nicht für jeden Satz von n Versuchen gleich sein

Wenn n jedoch sehr groß ist, ist die relative Häufigkeit jedes Mal ungefähr gleich, und wenn wir n gedanklich erlauben, in einem Grenzprozess über jede Grenze hinaus zu wachsen, sollte die relative Häufigkeit eine feste sein, die nur vom Zufallsexperiment abhängt und das betrachtete Ereignis A Wert annehmen

Wir nennen diesen Wert die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

Hinweis: Die Regelmäßigkeit, auf der diese Argumentation beruht, können Sie selbst nachvollziehen, indem Sie eifrig würfeln

Um es einfacher zu machen, haben wir das Würfeln auf einen Zufallszahlengenerator übertragen und in diesen n Experimenten für drei Werte von n und der dazugehörigen relativen Häufigkeit die Anzahl der Vorkommen der Zahl 6 ermittelt

Jedes dieser n Experimente wurde 5 mal durchgeführt:

n Zahl 6 kommt so oft vor relative Häufigkeit 6 1, 1, 0, 2, 0 0,1667, 0,1667, 0, 0,3333, 0 60 7, 9, 8, 10, 9 0,1167, 0,15, 0,1333, 0,1667, 0,15 6000 1046, 1026 , 993, 963, 986 0,174, 0,171, 0,166, 0,161, 0,164

Sie können sehen, dass sich die relativen Häufigkeiten, die in der dritten Spalte erscheinen, mit zunehmendem n immer ähnlicher werden

Damit können wir eine Definition von Wahrscheinlichkeit formulieren: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die prognostizierte relative Häufigkeit seines Eintretens für eine gegen unendlich strebende Anzahl n von Ausführungen des betreffenden Zufallsexperiments

(3)

Da wir n in Wirklichkeit nicht “gegen unendlich streben” lassen können, haben wir es hier mit einer mathematischen Idealisierung zu tun, wie beim Begriff des Zufallsexperiments (siehe oben)

Diese Definition passt zu den beiden Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit, die wir bereits oben zusammen diskutiert haben: Die relative Häufigkeit jedes Ereignisses A erfüllt immer 0 £ h ( A ) £ 1 , und daher gilt dies auch für jede Wahrscheinlichkeit

(Beweis: Wenn die Tritt m-mal ein Ereignis ein, wenn das Zufallsexperiment n-mal durchgeführt wird, dann gilt 0 £ m £ n , woraus die Behauptung folgt).

erfüllt immer , also auch jede Wahrscheinlichkeit

(Beweis: Tritt das Ereignis bei der Durchführung des Zufallsexperiments einmal ein, so gilt , woraus die Behauptung folgt)

Wenn ein Ereignis A definitiv eintritt, tritt es immer n-mal auf, wenn das Zufallsexperiment n-mal durchgeführt wird

Seine relative Häufigkeit ist gleich n / n = 1 , und daher wird p ( A ) = 1.

sicher passieren, also passiert es, wenn das Zufallsexperiment mal durchgeführt wird, d.h

mal passiert

Seine relative Häufigkeit ist gleich und daher

Wenn ein Ereignis A definitiv nicht eintritt, wird es niemals eintreten, wenn das Zufallsexperiment n-mal, also 0-mal, durchgeführt wird

Seine relative Häufigkeit ist gleich 0/n = 0 und daher p(A) = 0

Mit dieser Definition sind wir nun in der Lage, zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten überzugehen

Grenzprozesse

Die einfachsten Zufallsexperimente zeichnen sich dadurch aus, dass jeder Ausgang des Experiments gleich wahrscheinlich ist

Wir nennen sie Laplace-Experimente

Ein typisches Beispiel ist der (ideale) Würfel

Auch wenn wir die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten jeder Zahl nicht kennen, sorgt ihre perfekte (ideale) Form dafür, dass sie alle gleich groß sind

Diese Information reicht jedoch aus, um es konkret zu berechnen: Wird n-mal gewürfelt, sagen wir für sehr große n und wegen der Gleichheit der Augenzahlen voraus, dass jede gegebene Augenzahl n/6-mal vorkommt

Mit (3) ist die entsprechende Wahrscheinlichkeit dann (n/6)/n = 1/6.

Jetzt erinnern wir uns, dass Ereignisse auch komplexer sein können: Sie sind Zusammenfassungen von experimentellen Ergebnissen

Für den (idealen) Würfel ist also auch „die Zahl ist gerade“ ein Ereignis

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens? Dazu betrachten wir: Unter den 6 möglichen Zahlen (den sogenannten möglichen Fällen) sind 3 gerade Zahlen (nämlich 2, 4 und 6)

Dies sind die sogenannten günstigen Fälle

Jeder einzelne günstige Fall (und auch jeder einzelne ungünstige Fall) tritt beim n-maligen Würfeln für sehr große n gleich oft auf, nämlich n/6-mal, d.h

sein relativer Anteil ist 1/6

Jetzt müssen wir rechnen: Der relative Anteil günstiger Fälle (gerade Zahlen) ist dreimal so groß wie der relative Anteil jeder einzelnen Zahl, also 3/6 = 1/2

Daher ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln, 1/2.

Hinter diesem Argument steht eine auf jedes Laplace-Experiment anwendbare Regel, die die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten auf das Zählen von Fällen reduziert

Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse eines Laplace-Experiments (d

die Anzahl der Elemente seines Ereignisraums) wird als “Anzahl möglicher Fälle” bezeichnet

Alle diese Fälle sind (für ein Laplace-Experiment) gleich wahrscheinlich. .

genannt “

Alle diese Fälle sind (für ein Laplace-Experiment) gleich wahrscheinlich

Nun sei A ein Ereignis

Es besteht aus bestimmten experimentellen Ergebnissen, und ihre Anzahl wird zu „Anzahl günstiger Fälle“ genannt.“ (Es ist die Anzahl der Elemente, die Ereignis A – als Teilmenge des Ereignisraums – besitzt, oder anders ausgedrückt, die Anzahl möglicher experimenteller Ergebnisse, aus deren Eintreten die Es folgt das Eintreten von A

Dann ist die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses A gegeben durch den Quotienten p(A) = Anzahl günstiger Fälle Anzahl möglicher Fälle (4)

gegeben.

Beispiel: Um die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Die Summe der Zahlen ist gerade“ im obigen Beispiel 2 (ein roter und ein blauer Würfel) zu berechnen, benötigen wir die Anzahl der möglichen Fälle (Anzahl möglicher Ergebnisse)

Sie ist 36.

die Anzahl günstiger Fälle, d

die Anzahl möglicher Ausgänge, bei denen die Summe der Zahlen gerade ist

Dazu müssen wir ein wenig nachdenken: Die Summe der Zahlen ist gerade, wenn beide Zahlen gerade sind oder wenn beide Zahlen ungerade sind

Da jeder Würfel 3 gerade und 3 ungerade Zahlen hat, gibt es 9 Ergebnisse der Form (gerade, gerade) und 9 Ergebnisse der Form (ungerade, ungerade)

Insgesamt gibt es 18 günstige Fälle

Die Rechnung ist jetzt ganz einfach mit (4):

p( Die Summe der Zahlen ist gerade ) = 18/36 = 1/2.

Um Papierkram zu sparen, kann dem Ereignis ein Name gegeben werden, z.B

A , was bedeutet: p(A) = 1/2

Vergessen Sie nicht, dass die schöne Formel (4) nur für Laplace-Experimente gilt

Nicht jedes Zufallsexperiment ist von dieser Art

Beispiel: Beispiel 3 oben (Urne mit 10 roten, 15 blauen und 5 grünen Kugeln, wobei gleichfarbige Kugeln nicht unterschieden werden und eine Kugel zufällig gezogen wird) ist kein Laplace-Experiment

Dies folgt aus der Tatsache, dass die Versuchsergebnisse Rot, Blau und Grün (für den gepickten Ball) nicht die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, einzutreten

Aber es lässt sich leicht auf ein Laplace-Experiment reduzieren, wenn wir einen kleinen Trick anwenden: Wir nummerieren die Kugeln (heimlich) so, dass jede ihre eigene Identität hat

Nun wird jede Zahl mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen – wir haben aus dem Urnenbeispiel vorübergehend ein Laplace-Experiment gemacht: Die Anzahl der möglichen Fälle ist 30 (Anzahl der Kugeln in der Urne).

(Anzahl der Kugeln in der Urne)

In Bezug auf das Ergebnis des Experiments ist Rot die Anzahl der günstigen Fälle 10 (die Anzahl der roten Kugeln in der Urne).

ist die Anzahl der günstigen Fälle (die Anzahl der roten Kugeln in der Urne)

In Bezug auf das Ergebnis des Experiments ist Blau die Anzahl der günstigen Fälle 15 (die Anzahl der blauen Kugeln in der Urne).

ist die Anzahl der günstigen Fälle (die Anzahl der blauen Kugeln in der Urne)

In Bezug auf das Ergebnis des Experiments grün beträgt die Anzahl der günstigen Fälle 5 (die Anzahl der grünen Kugeln in der Urne)

Die Wahrscheinlichkeiten für die drei Ergebnisse des ursprünglichen Zufallsexperiments sind daher p (Eine rote Kugel wird gezogen) = 10/30 = 1/3.

p (eine blaue Kugel wird gezogen) = 15/30 = 1/2.

p( Ein grüner Ball wird gezogen ) = 5/30 = 1/6

Die geheime Nummerierung der Kugeln entfällt

Diese drei Zahlen (die genau den relativen Häufigkeiten der drei Arten von Kugeln in der Urne entsprechen) drücken die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse im Zufallsexperiment aus (z

für das Ereignis, eine nicht rote Kugel zu ziehen)

Wie das geht, besprechen wir im nächsten Abschnitt

Ebenso lassen sich viele Probleme der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Laplace-Experimente zurückführen

Versuchen Sie, die Logik hinter diesen Argumenten und den Geltungsbereich von Formel (4) so genau wie möglich zu verstehen! Berechnungsregeln für Wahrscheinlichkeiten Zum Seitenanfang

Lassen Sie uns nun einige grundlegende Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten diskutieren

Wir gehen von einem Zufallsexperiment und seinem Ereignisraum aus

Wie oben diskutiert, ist der Ereignisraum – wir nennen ihn jetzt E – die Menge aller Versuchsergebnisse (oder elementaren Ereignisse)

Wir nennen ihn jetzt die Menge aller Versuchsergebnisse (oder elementaren Ereignisse)

Ein Ereignis ist eine Zusammenfassung von Studienergebnissen und kann als Teilmenge von E.

Ereignisse können auf verschiedene Weise miteinander in Beziehung gesetzt werden, und ein Ereignis kann aus anderen Ereignissen konstruiert werden

Da Ereignisse Teilmengen des Ereignisraums sind, können ihre Beziehungen in Begriffen der Mengentheorie ausgedrückt und wie Mengen in Beziehung gesetzt werden

Wir werden nun einige dieser Verbindungen untersuchen und diskutieren, wie die Wahrscheinlichkeiten der entsprechenden Ereignisse zusammenhängen

Disjunkte Ereignisse und die Additionsregel

Beträge

Aus zwei Ereignissen A und B (d

zwei Teilmengen des Ereignisraums E ) kann ein drittes gebildet werden: ihre Vereinigung A È B

Es besteht aus allen Versuchsergebnissen, die entweder in A oder B enthalten sind, und ist, da A È B wieder eine Teilmenge von E ist, auch ein Ereignis

Wir können es als „Es ist entweder A oder B, das auftritt“ oder kurz „A oder B“ bezeichnen

Eine andere Schreibweise dafür ist A Ú B, wobei das Symbol Ú als „oder“ ausgesprochen wird

Beachten Sie, dass A È B = B È A

Vereinigungsmenge

logisches „oder“

Wir nennen jetzt zwei Ereignisse A und B disjunkt oder schließen sich gegenseitig aus, wenn ihre Schnittmenge leer ist

Beispiele: In obigem Beispiel 1 (Würfel) sind die Ereignisse A = „Die Zahl ist gerade“ und B = „Die Zahl ist 1 oder 3“ disjunkt

„Die Zahl ist gerade“ und „Die Zahl ist 1 oder 3“ sind disjunkt

Im obigen Beispiel 2 (zwei Würfel) sind die Ereignisse A = „Beide Zahlen sind nicht größer als 2“ und B = „Die Summe der Zahlen ist 5“ disjunkt

„Beide Zahlen sind nicht größer als 2“ und „Die Summe der Zahlen ist 5“ disjunkt

In obigem Beispiel 3 (Urne mit Kugeln) sind die Ereignisse A = „eine rote Kugel wird gezogen“ und B = „eine nicht rote Kugel wird gezogen“ disjunkt

Disjunkte Ereignisse können nicht gleichzeitig auftreten, dh bei jedem Versuchsausgang tritt entweder A oder B (oder keines von beiden) auf

Die Vereinigung A È B zweier disjunkter Ereignisse A und B (die sogenannte “disjunkte Vereinigung”) kann in der Form geschrieben werden „Entweder A oder B kommt vor, aber nicht beides gleichzeitig“

Für die Wahrscheinlichkeiten disjunkter Ereignisse gilt die Additionsregel

disjunkt

p(A oder B) º p(A È B) º p(A Ú B) = p(A) + p(B)

(5)

Mit anderen Worten, wenn A und B sich gegenseitig ausschließen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder A oder B eintritt, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für A und B

Beispiele: In obigem Beispiel 1 (Würfel) sei A = „Die Zahl ist gerade“

B = “Die Zahl ist 1 oder 3”

Diese beiden Ereignisse sind disjunkt, und nach (4) gilt: p ( A ) = 3/6 = 1/2

p(B) = 2/6 = 1/3

Daher ist p ( A È B ) = 1/2 + 1/3 = 5/6 die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Punkte entweder gerade oder 1 oder 3 ist

Diese beiden Ereignisse sind disjunkt, und nach (4) haben wir: Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl entweder gerade oder 1 oder 3 ist

In obigem Beispiel 2 (zwei Würfel) sei A = „Beide Zahlen sind nicht größer als 2“

B = “Die Summe der Zahlen ist 5”

Diese beiden Ereignisse sind disjunkt, und nach (4) gilt: p ( A ) = 4/36 = 1/9

p(B) = 4/36 = 1/9

Also ist p ( A È B ) = 1/9 + 1/9 = 2/9 die Wahrscheinlichkeit, dass entweder beide Zahlen nicht größer als 2 sind oder die Summe der Zahlen 5 ist.

Diese beiden Ereignisse sind disjunkt, und nach (4) gilt: Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass entweder beide Zahlen nicht größer als 2 sind oder die Summe der Zahlen 5 ist

In Beispiel 3 oben (Urne mit Kugeln) sei A = ” Es wird eine nicht rote Kugel gezogen”

Mit anderen Worten: A = „Es wird eine blaue oder eine grüne Kugel gezogen“

Da jede Sphäre nur eine Farbe hat, sind die Ereignisse blau und grün disjunkt

Ihre Wahrscheinlichkeiten haben wir oben bereits berechnet: p ( blau ) = 1/2

p(grün) = 1/6

Daher ist p(A) = p(blau oder grün) = 1/2 + 1/6 = 2/3 die Wahrscheinlichkeit, dass eine nicht rote Kugel gezogen wird

(Eine zweite Methode zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit sehen wir etwas weiter unten)

Mit anderen Worten: “A oder ein Ball wird gezogen.” Da jede Sphäre nur eine Farbe hat, sind die Ereignisse und disjunkt

Ihre Wahrscheinlichkeiten haben wir oben bereits berechnet: Also die Wahrscheinlichkeit, dass eine nicht rote Kugel gezogen wird

(Eine zweite Methode zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit sehen wir etwas weiter unten)

Die Additionsregel (5) kann auf mehrere Ereignisse A 1 , A 2 , A 3 ,. .

erweitert werden, sofern sie paarweise disjunkt sind

In diesem Fall gilt für ihre Wahrscheinlichkeiten

p(A 1 ˆ A 2 ˆ A 3 ˆ. ..) = p(A 1 ) + p(A 2 ) + p(A 3 ) +. .

(6)

Achtung: Natürlich kann auch der Verband beliebiger Veranstaltungen gebildet werden

Wenn sie jedoch nicht (paarweise) disjunkt sind, dann gilt die Additionsregel (5) oder (6) nicht für sie

Wenn A ein Ereignis ist (also eine Teilmenge des Ereignisraums E), dann können wir sein Komplement E\A bilden, also die Menge aller Versuchsergebnisse, die nicht in A sind

Da es wieder eine Teilmenge von E ist, ist es das auch eine Veranstaltung

Wir können es als „A kommt nicht vor“ oder kurz „nicht-A“ bezeichnen

Eine andere Schreibweise dafür ist Ø A, wobei das Symbol Ø als „nicht“ ausgesprochen wird

Es wird auch das Gegenereignis von A (oder die Negation von A) genannt

Beachten Sie, dass das Gegenereignis des Gegenereignisses wieder das ursprüngliche Ereignis ist: Ø Ø A = A.

Die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses (die sogenannte Gegenwahrscheinlichkeit) ist durch

ergänzender Satz

logisches “nicht”

p( Ø A ) = 1 – p(A)

(7)

gegeben

Sie können sich diese Formel auch in der Form p(A) + p( Ø A ) = 1 merken: Die Summe aus der Wahrscheinlichkeit und der entgegengesetzten Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich 1

Beispiel: In obigem Beispiel 3 (Urne mit Kugeln) sei A = „Es wird eine nicht rote Kugel gezogen“

Wir haben seine Wahrscheinlichkeit oben mit der Additionsregel (5) berechnet

Eine andere Methode besteht darin, zu erkennen, dass A das entgegengesetzte Ereignis zu B ist = „eine rote Kugel wird gezogen“, dessen Wahrscheinlichkeit wir oben bereits mit 1/3 berechnet haben

Daher ist mit (7) p(A) = 1 – p(B) = 1 – 1/3 = 2/3 die Wahrscheinlichkeit, dass eine nicht rote Kugel gezogen wird (und stimmt natürlich mit dem bereits erhaltenen Ergebnis überein)

Wir haben seine Wahrscheinlichkeit oben mit der Additionsregel (5) berechnet

Eine andere Methode besteht darin, das Gegenteil zu erkennen, dessen Wahrscheinlichkeit wir oben bereits berechnet haben

Daher ist (7) die Wahrscheinlichkeit, dass eine nicht rote Kugel gezogen wird (und stimmt natürlich mit dem bereits erhaltenen Ergebnis überein)

Die Verwendung von Gegenereignissen ist ein bewährter Trick, um Berechnungen zu verkürzen, den Sie bei konkreten Problemen immer berücksichtigen sollten

Normalisierung von Wahrscheinlichkeiten

Wir wenden uns nun dem Ergebnis des Experiments (Elementarereignisse) zu

Da zwei beliebige experimentelle Ergebnisse (die als Ein-Element-Teilmengen des Ereignisraums E betrachtet werden) disjunkt sind, können wir ihre disjunkte Vereinigung bilden

Das ist der Veranstaltungsraum selbst! Die ihm zugeordnete Wahrscheinlichkeit ist 1, da eines der möglichen Ergebnisse des Experiments mit Sicherheit eintritt

Wenn wir alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments in der Form A 1 , A 2 , A 3 ,. .

nummerieren, dann gilt (6)

p(A 1 ) + p(A 2 ) + p(A 3 ) +. .

= 1

(8.)

In Worten: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse ist gleich 1

Diese Tatsache wird Normalisierung der Wahrscheinlichkeiten oder Normalisierungsbedingung genannt

Dies ist besonders wichtig für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen, wie wir es im nächsten Kapitel tun werden

Beispiel: Für Beispiel 3 oben (Urne mit Kugeln) wurden die Wahrscheinlichkeiten aller drei Testergebnisse bereits berechnet

Jetzt können wir ihre Normalisierung überprüfen: 1/3 + 1/2 + 1/6 = 1

Der Befund (8) gibt Anlass zu zwei Bemerkungen: Wahrscheinlich-

Kalkül und Statistik 2

Da die Vereinigung aller Ereignisse in (8) gleich dem gesamten Ereignisraum ist, drückt diese Beziehung die Tatsache aus, dass p ( E ) = 1

(Anmerkung: Der Ereignisraum selbst ist als Teilmenge seiner selbst ebenfalls ein Ereignis !Da es alle Testergebnisse enthält, also bei jedem Testergebnis auftritt, ist seine Wahrscheinlichkeit 1 ).

ist

(Anmerkung: Der Ereignisraum selbst ist auch ein Ereignis als Teilmenge von sich selbst! Da er Testergebnisse enthält, d

eintritt, wenn das Testergebnis eintritt, ist seine Wahrscheinlichkeit gleich )

Wenn A ein beliebiges Ereignis ist, also eine Teilmenge von E, dann können wir es uns als disjunkte Vereinigung aller aus seinen Elementen gebildeten Einzelelementmengen vorstellen

Aus (6) folgt dann, dass p ( A ) gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller in A enthaltenen Versuchsausgänge ist

Mit dieser Verallgemeinerung von (8) lässt sich die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses aus den Wahrscheinlichkeiten des Versuchs berechnen Ergebnisse

Jedenfalls, dh eine Teilmenge von , können wir sie uns als die disjunkte Vereinigung aller Einzelelementmengen vorstellen, die aus ihren Elementen gebildet werden

Aus (6) folgt dann, dass gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller in enthaltenen Versuchsausgänge ist

Mit dieser Verallgemeinerung von (8) lässt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus den Wahrscheinlichkeiten der Testergebnisse berechnen

Es gibt eine spezielle Teilmenge des Ereignisraums, die wir noch nicht betrachtet haben: die leere Menge { }

Der Vollständigkeit halber weisen wir ihm die Wahrscheinlichkeit p({ }) = 0 zu

Eine hilfreiche Idee

leeres Set

Die bisher gewonnenen Ergebnisse, insbesondere die Additionsregel (5) und (6) für disjunkte Ereignisse, legen eine besonders hilfreiche Vorstellung von den Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen nahe: Stellen Sie sich vor, dass jedes experimentelle Ergebnis (also jedes Element des Ereignisraums) hätte ein „Gewicht“ , sodass der gesamte Ereignisraum das „Gewicht“ 1 hat

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, also einer Teilmenge des Ereignisraums, ist dann einfach das „Gewicht“ dieser Menge

(Anstelle eines „Gewichts“ können Sie sich auch eine andere Größe vorstellen, wie z

eine „Fläche“ oder ein „Volumen“

Wichtig ist nur, dass die Werte dieser Größe addiert werden, wenn mehrere Elemente zusammengefasst werden, und zwar die Summe ist 1).

Gehen Sie als Übung die Formeln (5), (6), (7) und (8) noch einmal unter diesem Gesichtspunkt durch!

Die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse

Betrachten wir wieder zwei Ereignisse A und B

Daraus können wir die Durchschnittsmenge A Ç B bilden, also die Menge all jener Testergebnisse, die in A und in B enthalten sind

Da dies wieder eine Teilmenge des Ereignisraums E ist, ist es auch ein Ereignis

Wir können es als „Enter A and B“ oder kurz „A and B“ bezeichnen

Eine andere Schreibweise dafür ist A Ù B, wobei das Symbol Ù als „und“ ausgesprochen wird

Beachten Sie, dass A Ç B = B Ç A

Der Schnittpunkt zweier Ereignisse ist dann von besonderem Interesse, wenn aufgrund der Definition eines Zufallsexperiments von vornherein klar ist, dass sie statistisch unabhängig sind, das Eintreten eines Ereignisses also irrelevant ist die Chance, dass der andere passiert

Dies gilt beispielsweise, wenn das Zufallsexperiment aus zwei (oder mehreren) unabhängigen Teil-Zufallsexperimenten besteht

Schauen wir uns ein Beispiel an: Beispiel 2 oben (ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen) besteht aus zwei solchen partiellen Zufallsexperimenten (roter Würfel und blauer Würfel)

Das Ereignis

C = „Die Zahl auf dem roten Würfel ist kleiner als 3 und die auf dem blauen Würfel ist gerade“

kann aus den Ereignissen zusammengesetzt werden

A = “Die Punktzahl des roten Würfels ist kleiner als 3”.

B = “Die Punktzahl des blauen Würfels ist gerade”.

C wird zusammengesetztes Ereignis genannt, weil es eine “Zusammensetzung” aus zwei Ereignissen ist A und B der partiellen Zufallsexperimente

Sie kann in der Form C = A Ç B geschrieben werden, wobei A und B statistisch unabhängig sind

Für die Wahrscheinlichkeiten solcher Ereignisse gibt es mittlerweile eine einfache Berechnungsformel, die sogenannte Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse

Er gilt allgemein für die statistisch voneinander unabhängigen Ereignisse A und B (also insbesondere dann, wenn sie ein zusammengesetztes Ereignis definieren) und lautet: Durchschnittsbetrag

logisches „und“

p(A und B) º p(A Ç B) º p(A Ù B) = p(A) p(B)

(9)

Mit anderen Worten, wenn A und B statistisch unabhängig sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintreten, gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von A und B

Beispiel: Auf einer Party sind 15 Frauen und 15 Männer

Unter diesen werden 3 Tombolapreise verlost (jede Person kann also nur einen Preis bekommen, und die Gewinnchance ist natürlich unabhängig vom Geschlecht)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person eine Preisträgerin ist? Lösung: Die Ereignisse „die ausgewählte Person ist weiblich“ und „die ausgewählte Person hat einen Preis gewonnen“ sind laut Annahme statistisch voneinander unabhängig

Die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person weiblich ist, ist nach (4) der Quotient Anzahl Frauen / Gesamtzahl Personen = 15/30 = 1/2.

Personen

Gemäß (4) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person einen Preis gewonnen hat, der Quotient Anzahl der Preise / Gesamtzahl der Personen = 3/30 = 1/10.

der Personen

Daher ist nach (9) die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich dem Produkt (1/2) × (1/10) = 1/20

Auf den Begriff der statistischen Unabhängigkeit gehen wir weiter unten näher ein und beweisen (9) allgemein

Wir erwähnen an dieser Stelle nur, dass sich auch die Umkehrung bewahrheiten wird: Zwei Ereignisse, die (9) erfüllen, sind statistisch unabhängig voneinander, auch wenn sie kein zusammengesetztes Ereignis definieren

Beachten wir vorläufig, dass (9) zur Berechnung mittlerer Ereigniswahrscheinlichkeiten verwendet werden kann, wenn die statistische Unabhängigkeit von A und B (wie im gerade berechneten Beispiel) von vornherein klar ist.

für zusammengesetzte Ereignisse

Baumdiagramme Seitenanfang

Zufallsexperimente bestehen häufig aus mehreren nacheinander durchgeführten Schritten, wobei jeder Schritt ein separates Zufallsexperiment ist, dessen Einzelheiten vom Ergebnis des vorherigen Schritts abhängen können

Obwohl für bestimmte Arten von Zufallsexperimenten rechnerische Zählmethoden verfügbar sind (wir werden sie im nächsten Abschnitt besprechen), kann es in solchen Fällen schnell verwirrend werden, Wahrscheinlichkeiten zu finden

Es gibt jedoch eine relativ einfache Form der grafischen Darstellung, die immer dann eingesetzt werden kann, wenn die Zahl der möglichen (oder interessanten) experimentellen Ergebnisse der Zwischenschritte nicht zu groß ist: das Baumdiagramm

Wir demonstrieren ihr Prinzip anhand von zwei Beispielen

In einem Baumdiagramm werden die Ergebnisse eines Zufallsexperiments als Linien dargestellt und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten addiert

Erinnern wir uns an die in Beispiel 3 oben angegebene Urne mit 10 roten, 15 blauen und 5 grünen Kugeln, wobei gleichfarbige Kugeln nicht unterschieden werden und eine Kugel zufällig ausgewählt wird

Die Wahrscheinlichkeiten, mit denen Kugeln der drei vorkommenden Farben gezogen werden, haben wir bereits berechnet: p( rote Kugel ) = 1/3

p( blaue Kugel ) = 1/2

p( grüne Kugel ) = 1/6

Die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten ist 1

(Wir wissen aus (8), dass dies der Fall sein muss)

Dieses Zufallsexperiment wird durch das folgende Diagramm dargestellt:

Jedes experimentelle Ergebnis wird als Linie aufgetragen

Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten werden ebenfalls geschrieben

Die Kugelsymbole am Ende jeder Linie und die Farben der Linien zeigen die einzelnen Testergebnisse an

(Natürlich können die Kugelsymbole durch entsprechende Beschriftungen ersetzt werden)

Die Linien entsprechen disjunkten (sich gegenseitig ausschließenden) Ereignissen

Das Diagramm ist insofern vollständig, als alle möglichen Ergebnisse eingezeichnet sind und sich ihre Wahrscheinlichkeiten zu 1 addieren

Wahrscheinlichkeiten lassen sich bereits aus diesem einfachen Diagramm ablesen: p ( rote Kugel ) wird an der Beschriftung der Linie abgelesen, die im roten Kugelsymbol endet als 1/3.

wird aus der Beschriftung der Zeile abgelesen, die im roten Kugelsymbol als endet

p ( roter oder blauer Ball ) wird durch Addition der Wahrscheinlichkeiten der roten und blauen Geraden bestimmt und ergibt 1/3 + 1/2 = 5/6.

Dahinter steckt einfach die Additionsregel (5) für disjunkte Ereignisse

wird bestimmt, indem die Wahrscheinlichkeiten der roten und blauen Linien genommen werden, und wird zu

Dahinter steckt einfach die Additionsregel (5) für disjunkte Ereignisse

Zur Kontrolle ermitteln wir die Gesamtwahrscheinlichkeit: p( rote oder blaue oder grüne Kugel ) ergibt sich aus der Addition der Wahrscheinlichkeiten der roten, der blauen und der grünen Linie und ergibt 1/3 + 1/2 +1/6 = 1.

Dahinter steckt einfach die Additionsregel (6) für mehr als zwei disjunkte Ereignisse

Das Ergebnis ist natürlich genau (8), die Normalisierung der Wahrscheinlichkeiten

Die Regeln zum Ablesen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A aus dem obigen Baumdiagramm lauten: Finden Sie die Linien, die zu A und gehören

zusammengehören und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten addieren

Betrachten wir nun ein komplizierteres Zufallsexperiment

Wir nehmen dieselbe Urne und ziehen zwei Kugeln hintereinander, ohne die erste zu ersetzen

Gefragt werden kann dann beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote und eine blaue Kugel gezogen werden (unabhängig von der Reihenfolge)

Das macht plötzlich alles komplizierter

Während die ersten Remiswahrscheinlichkeiten im obigen Baumdiagramm angezeigt werden, fehlt danach eine Kugel und die zweiten Remiswahrscheinlichkeiten hängen von der Farbe der zuerst gezogenen Kugel ab.

Das Prinzip des Baumdiagramms besteht nun darin, an das Ende jeder Linie, die einem Ergebnis der ersten Ziehung entspricht, ein weiterer Zweig anzuhängen, der die zweite Ziehung darstellt (unter den entsprechenden neuen Umständen)

Das Diagramm, das wir auf diese Weise erhalten, sieht folgendermaßen aus:

Auch für die Möglichkeiten der zweiten Ziehung wurden Wahrscheinlichkeiten eingetragen

Dies sind die für jede Ziehung separat ermittelten Wahrscheinlichkeiten

(Die Berechnung funktioniert wie bei der ersten Ziehung nach Formel (4), nur mit den entsprechend veränderten Zahlen der noch in der Urne verbliebenen Kugeln

Dass die Zahl 29 im Nenner dieser Wahrscheinlichkeiten steht, ist natürlich aufgrund der Tatsache, dass nach der ersten Ziehung nur noch 29 Kugeln in der Urne sind)

Die Wahrscheinlichkeiten für jedes Teilplot (entsprechend einem Unentschieden) addieren sich zu 1

(Führen Sie diese Berechnungen zum Üben selbst durch!) Die neuen Endpunkte der Linien der zweiten Generation sind mit den Symbolen für die Kugeln markiert, die in der zweiten Ziehung erscheinen

(Sie können natürlich auch entsprechend beschriftet werden)

Jeder spezifische Verlauf des gesamten Experiments entspricht einem Pfad vom oberen Knoten des Diagramms zu einem unteren Endpunkt

Wir beschriften jetzt das Ereignis

“Eine rote Kugel und eine blaue Kugel werden gezogen (egal in welcher Reihenfolge)”

mit A und fragen Sie nach der Wahrscheinlichkeit

Dazu beobachten wir, dass es zwei Möglichkeiten für das Auftreten von A gibt: Entweder wird zuerst eine rote Kugel gezogen und dann eine blaue oder umgekehrt

Jede dieser Möglichkeiten entspricht einem Pfad, der aus zwei in Reihe geschalteten Linien besteht, für die jeweils eine Wahrscheinlichkeit angegeben ist

Man kann nun im Sinne von (3) mit relativen Häufigkeiten argumentieren, dass die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines solchen Pfades das Produkt der entlang ihm aufgezeichneten Wahrscheinlichkeiten ist

(Wir nennen dies die Multiplikationsregel für Baumdiagramme)

Für die beiden Pfade unseres Beispiels berechnen wir also:

p ( zuerst rot , dann blau ) = (1/3) × (15/29) = 5/29.

p( zuerst blau , dann rot ) = (1/2) × (10/29) = 5/29

(Die Wahrscheinlichkeiten sind gleich! Können Sie argumentieren, warum?) Diese Pfadwahrscheinlichkeiten werden jetzt hinzugefügt (wegen (5), da Pfade disjunkte Ereignisse darstellen)

Das Ergebnis ist:

p(A) = 5/29 + 5/29 = 10/29.

Soll aus dem Diagramm die Wahrscheinlichkeit ermittelt werden, dass die erste gezogene Kugel blau oder grün ist, sind nur die entsprechenden Linien der ersten Ziehung zu verwenden : Wir addieren die ihnen zugeordneten Wahrscheinlichkeiten und erhalten 1/2 + 1/6 = 2/3

In diesem Fall bestehen die relevanten Pfade jeweils nur aus einer einzigen Linie

(Hätten wir auch alle nachfolgenden Linien bis zum unteren Ende des Diagramms betrachtet, hätten wir aufgrund der Normalisierung der Wahrscheinlichkeiten in den nachfolgenden Teildiagrammen nach etwas längerer Rechnung das gleiche Ergebnis erhalten)

Wir haben nun die allgemeinen Regeln zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A in einem Baumdiagramm dargestellt

Sie sind: Finden Sie die Pfade, die zu A gehören (jeder Pfad beginnt am obersten Knoten)

gehören (wobei jeder Pfad am obersten Knoten beginnt), multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang dieser Pfade und

die Wahrscheinlichkeiten entlang dieser Wege und addieren Sie die erhaltenen Zahlen

Auf diese Weise lassen sich aus unserem Diagramm die Wahrscheinlichkeiten für beliebige Ereignisse ermitteln

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass die zweite gezogene Kugel grün ist, sieht beispielsweise so aus: p( Die zweite gezogene Kugel ist grün ) =

(1/3) × (5/29) + (1/2) × (5/29) + (1/6) × (4/29) = 5/87 + 5/58 + 2/87 = 1/ 6.

Versuchen Sie als Übung, diese Rechnung (und die drei zugrunde liegenden Pfade) zu verstehen! Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Kugel rot oder blau und die zweite gezogene Kugel grün ist! Einige der hier erzielten Ergebnisse hätten auch mit anderen Argumenten (und etwas mehr Theorie) erzielt werden können

Im Gegensatz dazu bieten Baumdiagramme eine Methode der „Buchführung“ über die Verzweigungen eines mehrstufigen Zufallsexperiments, die nicht zu viel Nachdenken erfordert, sobald die Struktur festgelegt ist

Es hilft, die Kombinationen einzelner Schritte im Auge zu behalten und funktioniert natürlich auch bei Zufallsexperimenten, die sich über mehr als zwei Schritte erstrecken

Wenn die Anzahl der zu zeichnenden Linien nicht zu groß ist, können Sie immer diese Methode verwenden

Zwei Tipps zum Abschluss dieses Abschnitts: Manchmal enthält eine Aufgabe Informationen, die in einem Baumdiagramm nicht benötigt werden

Enthält eine Urne beispielsweise Kugeln in zehn verschiedenen Farben und soll eine Wahrscheinlichkeit errechnet werden, bei der nur rote und blaue Kugeln eine Rolle spielen, kann man den Typ „andere Kugel“ einführen und so die Linienzahl im Diagramm beibehalten klein

Außerdem müssen nicht immer alle Unterdiagramme gezeichnet werden

Sollen im obigen Beispiel nur Ereignisse berücksichtigt werden, bei denen die erste Ziehung keine grüne Kugel ergibt, kann man sich das Zeichnen des dritten Teildiagramms der zweiten Generation sparen

Das so erhaltene „unvollständige Baumdiagramm“ stellt dann ein Zufallsexperiment dar, bei dem, wenn zuerst eine grüne Kugel gezogen wird, keine zweite Ziehung erfolgt (siehe Schaltfläche rechts)

unvollständig

Diagramm

Kombinatorik Zum Seitenanfang

Im vorangegangenen Abschnitt mit den Baumdiagrammen haben wir eine Methode kennengelernt, mit der wir Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnen können, die sich auf Selektions- und ähnliche Prozesse beziehen

Manchmal helfen auch Baumdiagramme nicht, besonders wenn es zu viele Möglichkeiten gibt, sie zu zeichnen

Die gute Nachricht ist jedoch, dass viele Zufallsexperimente auf Laplace-Experimente zurückgeführt werden können (deren Ergebnisse alle gleich wahrscheinlich sind) und die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit (4) auf das Zählen von Möglichkeiten reduziert wird

Kombinatorik ist das Studium von Zählmethoden und liefert einige nützliche Formeln, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet werden können

Wir wollen einige Fälle diskutieren und Beispiele geben, aber die vorgestellten Formeln nicht beweisen

Einige der folgenden Formeln werden Sie in Ihrer Mathematikausbildung benötigen, andere möglicherweise nicht

Je nachdem, was Sie lernen, können Sie diesen Abschnitt beim ersten Lesen überspringen oder sich einfach auf die Themen konzentrieren, die Sie benötigen

Wenden Sie sich bei Bedarf einfach an ihn!

Permutationen

Eine Permutation von n Elementen (im zweiten Funktionskapitel als bijektive Funktion beschrieben) ist eine Verteilung der n Elemente auf n Stellen

Es gibt

n! (10)

verschiedene Permutationen von n Elementen

Aufgabe: Auf wie viele Arten können 5 Personen auf 5 freie (unterscheidbare) Plätze verteilt werden?

Lösung: Auf 5! = 120 Arten.

Aufgabe: Jemand hat sich in der vorherigen Aufgabe eine genaue Sitzordnung für die Personen ausgedacht, kommt aber zu spät – die Gäste haben sich bereits (zufällig) auf die 5 verfügbaren Plätze verteilt

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich jede Person an den für sie vorgesehenen Platz gesetzt hat? Lösung: Mit (4) ist es 1/5! = 1/120.

(Die „Anzahl der möglichen Fälle“ ist 120 , die „Anzahl der günstigen Fälle“ ist 1 ).

Kombinationen ohne Wiederholung

Permutationen

Fakultät

Die nächsten vier Formeln befassen sich mit Auswahlverfahren

Stellen wir uns zur besseren Vorstellung vor, einzelne Elemente mit einer „Schleife“ zu umbinden und dadurch auszuwählen

In jedem der jetzt zu diskutierenden Fälle kommt es darauf an, ob die Schleifen unterscheidbar sind und ob ein Element mehr als eine Schleife haben kann

Um k Schleifen sind n (unterscheidbare) Elemente zu binden

Die Schleifen sind nicht unterscheidbar, und jedes Element darf höchstens eine Schleife haben

Es gibt

⎛ n ⎞ ⎝ k ⎠ (11)

(unterscheidbare) Möglichkeiten, dies zu tun

Binomialkoeffizienten

Aufgabe: Auf wie viele Arten kann eine Gruppe von 20 Personen ein 3er-Team bilden (deren Mitglieder alle die gleichen Kompetenzen haben)? Lösung: Setze n = 20 und k = 3

Das Ergebnis ist 1140.

Aufgabe: Wie oft klingeln die Gläser, wenn 10 Personen aufeinander anstoßen?

Lösung: Setze n = 10 und k = 2

(Die zwei Bänder werden Leuten gegeben, die aufeinander anstoßen)

Das Ergebnis sind 45.

Kombinationen mit Wiederholung

n (unterscheidbare) Elemente sollen um k Schleifen gebunden werden

Die Schleifen sind nicht unterscheidbar, und jedes Element kann mehrere Schleifen haben

Es gibt

⎛ n + k – 1 ⎞ ⎝ k ⎠ (12)

(unterscheidbare) Möglichkeiten, dies zu tun

Aufgabe: 50 Sportlerinnen nehmen an 7 Wettkämpfen teil (bei denen es jeweils genau einen Gewinner gibt)

Auf wie viele Arten können die Preise verteilt werden? Lösung: Setze n = 50 und k = 7

Das Ergebnis ist 231917400.

Variationen ohne Wiederholung

n (unterscheidbare) Elemente sollen um k Schleifen gebunden werden

Die Schleifen sind unterscheidbar (z

nummeriert) und jedes Element darf höchstens eine Schleife haben

Es gibt

n! (n – k)! (13)

(unterscheidbare) Möglichkeiten, dies zu tun

Aufgabe: Auf wie viele Arten kann aus einem 20-köpfigen Verein ein 3-köpfiger Vorstand bestehend aus Vorsitzendem, Schriftführer und Kassenwart werden? Lösung: Setze n = 20 und k = 3

Das Ergebnis ist 6840.

Aufgabe: 100 Athleten nehmen an einem Wettkampf teil

Einer gewinnt Gold, einer Silber, einer Bronze

Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es? Lösung: Setze n = 100 und k = 3

Das Ergebnis ist 970200.

Variationen mit Wiederholung

n (unterscheidbare) Elemente sollen um k Schleifen gebunden werden

Die Schleifen sind unterscheidbar (z

nummeriert) und jedes Element kann mehrere Schleifen haben

Es gibt

nk (14)

(unterscheidbare) Möglichkeiten, dies zu tun

Aufgabe: Wie viele „Wörter“ können entstehen, wenn aus einem Alphabet von 26 Länge 5 Buchstaben (nacheinander) ausgewählt werden? Lösung: Setze n = 26 und k = 5

Das Ergebnis ist 11881376.

Permutationen mit Gruppen nicht unterscheidbarer Elemente

Die

Problem

n Elemente werden in m Gruppen der Größe n 1 , n 2 ,. .

n m zusammengefasst ( n 1 + n 2 +. .

+ n m = n )

Elemente innerhalb einer Gruppe sind nicht unterscheidbar, Elemente aus verschiedenen Gruppen sind unterscheidbar

Um diese n Elemente sollten n Schleifen gebunden werden

Die Schleifen sind unterscheidbar (z

nummeriert) und jedes Element darf höchstens eine Schleife haben

Mit anderen Worten, die n Elemente müssen an n Stellen angeordnet (oder aneinandergereiht) werden

Es gibt

n! n 1 ! n2 !. ..nm! (fünfzehn)

(unterscheidbare) Möglichkeiten, dies zu tun

Aufgabe: Auf wie viele (unterscheidbare) Arten lassen sich 10 weiße, 12 schwarze und 14 rote Kugeln an 36 Stellen anordnen? (Es wird angenommen, dass Kugeln einer Farbe nicht unterschieden werden können)

Lösung: Setze n = 36 (die Anzahl der Quadrate und gleichzeitig die Anzahl der Kugeln), m = 3 , n 1 = 10 , n 2 = 12 , n3 = 14

(Die Schleifen, die die Bälle bekommen, bedeuten ungefähr die Anzahl der Orte, an denen sie landen)

Das Ergebnis ist 2454860399191200.

Mit diesen Formeln bewaffnet, sollte man bei der Bearbeitung konkreter Probleme, in denen solche Auswahl- und Anordnungsverfahren vorkommen, zunächst einmal versuchen, herauszufinden, um welche Art es sich handelt, was die „Elemente“ und was die „Schleifen“ sind

Das ist nicht immer einfach, und für einige Probleme (je nachdem, wie man sie betrachtet) gibt es zwei Formeln, die die Arbeit erledigen (und natürlich das gleiche Ergebnis liefern)

Aber wenn Sie es geschafft haben, haben Sie bereits gewonnen, denn der Rest besteht lediglich darin, Zahlen in die entsprechende Formel einzusetzen

Um Berechnungen mit Fakultäts- und Binomialkoeffizienten (die manchmal sehr große Zahlen beinhalten) durchzuführen, können Sie unser Tool verwenden

Online-Arithmetik mit Mathematica

benutzen

Geben Sie zum Beispiel 10 ein! oder Binomial[20,2] a!

Bedingte Wahrscheinlichkeit Seitenanfang

Bei zahlreichen Anwendungen tritt das Problem auf, dass nur diejenigen Testergebnisse eines Zufallsexperiments von Interesse sind, bei denen ein bestimmtes Ereignis B eintritt

Dies wirft eine neue Frage auf: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, wenn B eingetreten ist? Multiplikationsregel für Wahrscheinlichkeiten

Um sie zu beantworten, betrachten wir jene Teilmenge E’ des Ereignisraums E, die nur aus den “interessanten” Ergebnissen besteht, die in Ereignis B enthalten sind

Genau genommen definiert dies ein neues Zufallsexperiment mit Ereignisraum E’

(In der Praxis besteht es darin, alle Studienergebnisse zu ignorieren, bei denen B nicht vorkommt)

Die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A „unter der Annahme von B“ ist nun gemäß (3) definiert als die prognostizierte relative Häufigkeit des Eintretens von A bei einer gegen unendlich strebenden Anzahl von Ausführungen des neuen Zufallsexperiments

Sie wird in der Form p(A|B) geschrieben und als „bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter Annahme B“ ausgedrückt

Seine Berechnung kann auf diejenigen Testergebnisse zurückgeführt werden, in denen A und B vorkommen

Wie oben erläutert, entspricht dies dem Durchschnitt A Ç B

Dafür gilt nun die allgemeine Multiplikationsregel für Wahrscheinlichkeiten

p(A und B) º p(A Ç B) = p(A|B) p(B)

(16)

Ist p(B) ¹ 0 , kann es zur Berechnung von p(A|B) verwendet werden und ist damit auf Größen reduziert, die im Rahmen des gegebenen Zufallsexperiments als “gewöhnliche” Wahrscheinlichkeiten ausgedrückt werden können

(Wenn p(B) = 0 ist, dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit p(A|B) undefiniert)

Statistische Unabhängigkeit

Der Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit erlaubt uns zu entscheiden, ob zwei Ereignisse statistisch voneinander abhängig sind

Betrachten wir einen Zufallsprozess und zwei Ereignisse A und B

Wir nennen A statistisch (oder stochastisch) unabhängig von B wenn

p(A) = p(A|B) (17)

ist

In Worten ausgedrückt besagt dieser Zusammenhang, dass die Eintrittswahrscheinlichkeit von A unabhängig davon ist, ob alle Studienergebnisse berücksichtigt werden oder nur diejenigen, bei denen B eintritt

Anmerkung: (17) gilt unter anderem für die oben im Zusammenhang mit (9) betrachteten Ereignisse von partiellen Zufallsexperimenten, durch die sich zusammengesetzte Ereignisse ausdrücken

Nehmen wir nun an, dass A statistisch unabhängig von B ist

Durch Einsetzen von (17) in (16) erhalten wir sofort die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse (9)

Wenn umgekehrt (9) gilt, dann erhalten wir, da p(B) ¹ 0 angenommen wird, genau (17) durch Vergleich mit (16)

Bemerkungen: Aufgrund der Symmetrie dieses Ergebnisses ist A genau dann statistisch unabhängig von B, wenn B statistisch unabhängig von A ist

Wir nennen die beiden Ereignisse einfach statistisch unabhängig voneinander.

ist statistisch unabhängig von wenn und nur wenn ist statistisch unabhängig von

Wir nennen die beiden Ereignisse einfach

Wir haben gezeigt, dass A und B genau dann statistisch unabhängig sind, wenn (9) gilt

Dies beweist die allgemeine Anwendbarkeit von (9) für statistisch unabhängige Ereignisse

Der Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit eröffnet einen neuen Fragetyp, dem wir uns nun abschließend zuwenden

Satz von Bayes Seitenanfang

Wir werden nun ein Problem diskutieren, das in praktischen Anwendungen relevant ist

Das behandelte Thema ist komplexer als die vorherigen Teile dieses Kapitels und daher etwas schwieriger zu lesen

Je nachdem, was Sie studieren, können Sie diesen letzten Abschnitt überspringen (obwohl wir es dringend empfehlen)

Viele Phänomene (vom Wetter über die zukünftige Gesundheit eines Menschen bis hin zum Verhalten einzelner Atome) sind ungewiss

Wir greifen dann auf die Wahrscheinlichkeitstheorie zurück, um die von der mathematischen Theorie definierten und analysierten Zufallsexperimente als Modelle für reale Prozesse zu verwenden

Uns interessiert zum Beispiel, wie die Entwicklung medizinischer Symptome oder das Auftreten von Erdbeben durch „zufällig gesteuerte“ Prozesse modelliert werden können

Allerdings gibt es ein grundsätzliches Problem: Unsere Beobachtungen und Messungen haben nur Zugang zu den „Testergebnissen“ und deren (vorher aufgetretenen) Häufigkeiten, nicht aber zu den „per se“ Wahrscheinlichkeiten

Die ideale Anforderung, ein Zufallsexperiment (in identischer Weise) beliebig oft, ja sogar „unendlich oft“ durchzuführen, vgl

(3), in der Praxis nicht erfüllbar

Daher sind wir oft auf probabilistische Modelle angewiesen, deren Eigenschaften wir nur vage kennen

Ein typischer Fall von Unsicherheit dieser Art ist, wenn zwei konkurrierende Modelle einige Beobachtungsdaten erklären können und wir wissen wollen, welchem Modell wir den Vorzug geben sollen

Im Folgenden gehen wir auf diese Art der Befragung anhand eines einfachen Beispiels ein

Dabei spielt der Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit eine wichtige Rolle

Als “Modelle” dienen zwei Würfel, ein fairer und ein unfairer, und die Beobachtungsdaten werden durch eine einmal gewürfelte Zahl dargestellt

Satz von Bayes an einem Beispiel

Stellen wir uns vor, jemand hat zwei Würfel: einen fairen, dessen Zahlen alle mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 erscheinen

auftreten, und eine unfaire, deren Verhalten durch den Tisch geht

Zahl Wahrscheinlichkeit 1 1/5 2 1/5 3 1/5 4 1/5 5 1/6 6 1/30

ist charakterisiert

(Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist 1 )

Er wählt einen der beiden Würfel und würfelt damit

Der Ausgang ist “Punkt Nummer 6”

Mehr erfahren wir nicht

Uns interessiert nun, welchen der beiden Würfel er benutzt hat – den fairen oder den unfairen? Bei dieser Frage geht es nicht darum, die Wahrscheinlichkeit eines Testergebnisses für ein bestimmtes Zufallsexperiment anzugeben, sondern darum, aus einem Testergebnis auf die Art des Zufallsexperiments zu schließen

Hinweis: Diese Logik passt perfekt in Anwendungssituationen, da die Ergebnisse von Zufallsexperimenten unseren Beobachtungen und Messergebnissen entsprechen

Denken Sie beispielsweise bei den beiden Würfeln an Krankheiten, die mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit zu demselben Symptom führen, bei „Nummer 6“ des Symptoms und bei der Frage, welcher Würfel verwendet wurde, an eine Person, die wissen möchte, welche der beiden Krankheiten sein Symptom geht zurück! Natürlich wissen wir nicht genau, welcher Würfel verwendet wurde, denn „Zahl 6“ ist mit beiden Würfeln möglich

Aber können wir eine vernünftige Wahrscheinlichkeitsaussage darüber machen? Wir könnten die bedingten Wahrscheinlichkeiten p( 6 | F ) = 1/6 und p( 6 | U ) = 1/30 verwenden, also die Wahrscheinlichkeiten für „6 würfeln“, wenn der faire und der unfaire Würfel verwendet wurden (welcher vielleicht zunächst intuitiv tun)

Leider lösen diese unser Problem nicht, denn wir fragen nach dem verwendeten Würfel und nicht nach der gewürfelten Augenzahl

Interessanterweise können wir mit dem uns vorliegenden Wissen noch nicht einmal eine Wahrscheinlichkeitsaussage machen, weil uns noch eine Information fehlt: die Wahrscheinlichkeiten, aufgrund derer der Würfelbesitzer einen der beiden Würfel ausgewählt hat

Wir nennen sie die Apriori-Wahrscheinlichkeiten

Im Allgemeinen bezeichnet dieser Begriff Wahrscheinlichkeiten, auf deren Grundlage eines von mehreren Zufallsexperimenten ausgewählt wird

Bezeichnen wir die A-priori-Wahrscheinlichkeiten für die beiden Würfel mit p a ( F ) für die Wahl des fairen Würfels und

für die Wahl des fairen Würfels und p a ( U ) für die Wahl des unfairen Würfels

Jetzt können wir den gesamten Prozess (einen Würfel wählen und diesen würfeln) als ein einziges Zufallsexperiment erklären

Lassen Sie es uns durch ein Baumdiagramm darstellen:

Zuerst wird – entsprechend den Aproiri-Wahrscheinlichkeiten – einer der beiden Würfel gewählt und dann wird gewürfelt

(Die Wahrscheinlichkeiten für die gewürfelten Zahlen stehen immer links von der entsprechenden Linie)

Die Zahl 6 kann von beiden Würfeln stammen – diese beiden Möglichkeiten werden durch die beiden hervorgehobenen Pfade dargestellt

Diesen beiden Wegen können wir nun ihre Wahrscheinlichkeiten zuordnen (nach den oben besprochenen allgemeinen Regeln): Der Weg, der vom fairen Würfel zur Zahl 6 führt, hat die Wahrscheinlichkeit p ( F und 6 ) = pa ( F )/6.

Der Weg vom unfairen Würfel zur Zahl 6 hat die Wahrscheinlichkeit p( U und 6 ) = p a ( U )/30

Nun kehren wir zu unserer eigentlichen Frage zurück

Wenn wir uns entscheiden, alle Ergebnisse zu ignorieren, bei denen die Zahl 6 nicht gewürfelt wird, führt dies genau zu den oben diskutierten bedingten Wahrscheinlichkeiten

Es folgt dann aus Formel (16)

p( F und 6 ) = p( F | 6 ) p( 6 )

p( U und 6 ) = p( U | 6 ) p( 6 ) (18)

Die bedingten Wahrscheinlichkeiten p( F | 6 ) und p( U | 6 ) beantworten unsere Frage: Sie stellen die Wahrscheinlichkeiten dar, dass der faire und der unfaire Würfel verwendet wurden, vorausgesetzt, der Würfel war 6 (genau das ist unsere zugängliche Information)

Unter Verwendung der Pfadwahrscheinlichkeiten (Produkt der Wahrscheinlichkeiten der Linien eines Pfades) ergibt sich p( F | 6 ) = p( 6 ) – 1 p a ( F )/6

p( U | 6 ) = p( 6 ) – 1 p a ( U )/30 (19)

Die Summe dieser beiden Größen ist gleich 1 (wie es sein muss und wie leicht durch Berechnen von p( 6 ) verifiziert werden kann, die Gesamtwahrscheinlichkeit des Auftretens von “Würfel 6”)

Wir können die Berechnung jedoch überspringen und stattdessen die Normierungsbedingung p( F | 6 ) + p( U | 6 ) = 1 verwenden, um die Konstante p( 6 ) in (19) zu finden

Betrachten wir das Ergebnis ( 19) und seine Konsequenzen: Wir können nur dann eine (Wahrscheinlichkeits-)Aussage über die verwendeten Würfel treffen, wenn die A-priori-Wahrscheinlichkeiten pa ( F ) und pa ( U ) der Würfelwahl und der Würfel bekannt sind Auswahl sind bekannt

In (19) treten die bedingten Wahrscheinlichkeiten p ( 6 | F ) = 1/6 und p ( 6 | U ) = 1/30 auf, also die Wahrscheinlichkeiten für „Zahl 6“ unter der Bedingung, dass der faire oder der unfaire Würfel verwendet wurde

Sie sind jedoch nutzlos (vielleicht entgegen der ersten intuitiven Erwartung), solange die a priori Wahrscheinlichkeiten nicht bekannt sind

Die Relationen (19) können auch die Form haben

p ( F | 6 ) = p ( 6 ) − 1 p ein ( F ) p ( 6 | F )

p ( U | 6 ) = p ( 6 ) − 1 p ein ( U ) p ( 6 | U ) (20)

angeschrieben werden

In ihnen treten die Ereignisse in den bedingten Wahrscheinlichkeiten links und rechts in vertauschten Rollen auf

Beachten Sie die allgemeine Struktur von (20): Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Würfel verwendet wurde, ist proportional zum Produkt aus der A-priori-Wahrscheinlichkeit, diesen Würfel zu wählen, und der Wahrscheinlichkeit, dass dies zu einer 6 führt

Die Essenz dieser Beziehungen kann zusammengefasst werden oben im Formular

p( Würfel | 6 ) = C p a ( Würfel ) p ( 6 | Würfel ) (21)

zusammenfassen, wobei „würfel“ für „F“ oder „U“ stehen kann und C eine Konstante ist (resultierend aus der Normierungsbedingung, dass die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten über beide Würfel gleich 1 ist)

zusammenfassen, wobei „würfel“ für „ F“ oder „U“ und ist eine Konstante (resultierend aus der Normalisierungsbedingung, dass die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten über beide Würfel gleich ist)

Hinter der Umkehrung der Rollen der Ereignisse in den bedingten Wahrscheinlichkeiten in (20) steckt ein allgemeiner Zusammenhang, der sich aus der Multiplikationsregel (16) unter Ausnutzung ihrer Symmetrie in A und B ableiten lässt: Für jedes Ereignis gilt ein Zufallsexperiment

p ( EIN | B ) p ( B ) = p ( B | EIN ) p ( EIN )

(22)

Diese Formel heißt Satz von Bayes

Angewendet auf die im Würfelproblem auftretenden Ereignisse nimmt es die Form (20) oder (21) an

Manchmal wird (16) auch mit diesem Namen bezeichnet.

und verwendet: Für jedes Ereignis eines Zufallsexperiments heißt diese Formel

Angewendet auf die im Würfelproblem auftretenden Ereignisse nimmt es die Form (20) oder (21) an

Manchmal wird (16) auch mit diesem Namen bezeichnet

Zurück zum Würfelproblem: Wenn jeder der beiden Würfel mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewählt wird, dann ist p a ( F ) = p a ( U ) = 1/2

Aus (19) folgt, dass die Wahrscheinlichkeiten von fairen und unfairen Würfeln im Verhältnis 30 : 6 stehen, also 5 : 1

Dann ist p(F|6) = 5/6 und p(U|6) = 1/6

In diesem Fall ist es viel wahrscheinlicher, dass der faire Würfel verwendet wurde.

Wahrscheinlichkeit gewählt zu werden ist

Aus (19 ) folgt, dass sich die Wahrscheinlichkeiten von fairen und unfairen Würfeln wie verhalten, also wie

Es ist dann und

In diesem Fall ist es viel wahrscheinlicher, dass der faire Würfel verwendet wurde

Wenn wir mehr Beobachtungsdaten haben, können wir den verwendeten Würfel mit größerer Sicherheit identifizieren

(Siehe die Schaltfläche rechts, wenn eine ganze Folge von Würfelzahlen bekannt ist)

Eine Anwendung des Satzes von Bayes

von Augenzahlen

Tutorial Excel Würfel 01 New