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The Best binary modus New Update

by Tratamien Torosace

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Pelajaran Spiritual dari Tertangkapnya Affiliator Binary … New

11/03/2022 · Setelah beredar luasnya kabar tertangkapnya dua orang sultan yang digadang-gadang sangat rich (kaya) yakni Indra Kenz dan Doni Salmanan (tidak perlu sebut inisial, karena beritanya sudah ada dimana-mana), karena terbukti merugikan banyak orang melalui sistem binary option dari modus operandi trading yang mereka mainkan, saya seketika mulai …

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Setelah beredar luasnya kabar tertangkapnya dua orang sultan yang digadang-gadang sangat rich (kaya) yakni indra kenz dan doni salmanan (tidak perlu sebut inisial, karena beritanya sudah ada dimana-mana), karena terbukti merugikan banyak orang melalui sistem binäre Option dari modus operandi Handel mit Yang Mereka Mainkan, Saya Seketika Mulai Merenung, Dan Mengamati Pristiwa und Nasib Yang Menimpa Dua Anak Muda Ini

Ini bukan hanya sebuah aksi kriminal terselubung yang patut diwaspadai, tapi dibalik pertistiwa ini ada juga pelajaran spritual dan bagaimana mekanisme kehidupan bekerja yang perlu kita sadari dan ketahui.

Trading dengan menggunakan sistem binäre Option.

Setelah saya selidiki sedikit-sedikit cara kerja dari binary Option ini ternyata memang mirip seperti sedang berjudi

Kita sebagai user yang bertransaksi tersebut hanya menebak-nebak kemana pergerakan suatu aset akan bergerak apakah naik atau turun.

Jika tebakan kita tepat, maka beruntunglah kita dan akan mendapatkan profit

Sebaliknya, jika kita keliru und salah menebak, maka kita akan los dan rugi dengan seketika

Seperti itulah binäre Option.

Seseorang yang memainkan sistem tersebut akan merasa sedang menaiki achterbahn, dimana yang bersangkutan sangat mungkin bisa kaya dan untung mendadak dan bisa juga rugi besar dan mendadak miskin pula.

Namun rupanya, mereka yang terlanjur terjebak dalam sistem binäre Option ini, tidak sadar bahwa ternyata sistem tersebut di design supaya user lebih banyak mengalami lose daripada profit

Ujung-ujungnya, ya bandar nya yang untung, sementara mereka yang bertransaksi akan terus buntung.

Saya tahu betul dan bisa merasakan bagaimana penderitaan dan jeritan hati mereka yang terlanjur tertipu dan rugi hingga ratusan bahkan milyaran rupiah dalam terwaktu sekejap.

Ketika sudaye butanyah korban merasa tidak sanggup lagi melewati masalah tersebut sehingga muncul suatu perasaan tidak ada nahginan lagi untuk hidup

Maka banyak dari mereka yang memilih untuk mengahiri hidup.

Dalam artikel ini (sudah lawas) saya sudah jelaskan bagaimana pengalaman saya yang nyaris tertipu investasi bodong dan beruntungnya saya bisa lolos dari tipu daya itu, saya merasa sangat beruntung sekali waktu itu karena konon banyak para korban yang memutuskan untuk bunuh diri dikarenakan uang mereka habis dan aset mereka ludes karena terjerat investasi bodong itu.

Maka wajar apabila saat ini banyak korban yang merasa dirugikan dengan binäre Option ini dan merasa dua Partner besar ini harus di hukum seberat-seberatnya

Sebelum makin banyak orang yang dirugikan dari modus operandi yang mereka lakukan.

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‘Binary Option’ Modus Baru Cepat Kaya, Maru: Kerugian Perorang Mencapai Ratusan Juta Rupiah New

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Neue Informationen zum Thema binary modus

Jakarta, https://www.tvOnenews.com – Saat ini tengah ramai diperbincangkan terkait dengan instrument trading Binary Option. Binary Option merupakan salah satu instrumen trading online.
Cara kerja trading online ini, trader diharuskan untuk memprediksi atau menebak harga suatu aset akan bergerak naik atau turun dalam jangka waktu tertentu. Trader dapat memilih aset yang ditradingkan, umumnya berupa mata uang, indeks saham, kripto, hingga komoditas. Jika sudah menentukan aset yang ditradingkan, selanjutnya trader harus mempertaruhkan sebagian modal yang ia miliki untuk mendapatkan keuntungan. Umumnya, trader akan mendapatkan keuntungan sebesar 60-90 persen jika tebakan mereka benar. Namun, jika tebakan mereka salah, semua modal yang dipertaruhkan dalam satu transaksi tersebut akan hilang.

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 Update 'Binary Option' Modus Baru Cepat Kaya, Maru: Kerugian Perorang Mencapai Ratusan Juta Rupiah
‘Binary Option’ Modus Baru Cepat Kaya, Maru: Kerugian Perorang Mencapai Ratusan Juta Rupiah Update

Jadi Korban Kasus Robot Trading dan Binary Option … Aktualisiert

18/03/2022 · “Harapan kami, hotline pengaduan ini dapat membantu korban kejahatan penipuan dengan modus investasi robot trading dan binary option yang marak berkembang di Indonesia saat ini,” ujarnya. Sebagai informasi, Bareskrim tengah menangani sejumlah kasus penipuan melalui platform robot trading dan binary option .

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JAKARTA, AYOSEMARANG.COM – Bareskrim Polri ist eine Hotline für den Handel mit binären Optionen und binäre Optionen Brigjen Pol Whisnu Hermawan dalam keterangannya, Jumat 18 Maret 2022

Baca Juga: Ramalan Zodiak Cancer, Leo dan Virgo Sabtu, 19 Maret 2022

„Akses hotline ini dibuka untuk para korban kasus robot trading dan binary option

Korban yang berdomisili dimanapun, baik Jakarta maupun di daerah bisa melaporkan mulai hari ini“, kata Whisnu.

Selain lewat pesan Whatsapp, kata Whisnu, masyarakat yang jadi korban juga dapat melapor melalui platform media social Instagram dengan akun @posko_robotrad_binary_option_dittipideksus

Layanan tersebut resmi dibuka terhitung mulai Kamis 17 Maret 2022.

Whisnu menjelaskan, layanan pengaduan disiapkan untuk memudahkan pelaporan ke Polri

Sehingga, penanganan dapat dilakukan dengan cepat.

Baca Juga: Cek Ketersediaan Minyak Goreng, Kapolres Sukoharjo Pantau Distributor

“Harapan Kami, Hotline pengaduan ini dapat membantu korban kejahatan penipuan dengan modus investasi robot trading dan binary option yang marak berkembang di Indonesia saat ini,” ujarnya.

Sebagai informasi, Bareskrim tengah menangani sejumlah kasus trading penipuan melalui platform robot dan binary option

Di antaranya Binomo mit Indra Kenz und Quotex mit Doni Salmanan.

Modus Cepat Kaya dengan Tebak-tebakan ala Binary Option, Afiliator Bisa Dipidana New Update

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TRIBUN-VIDEO.COM – Belakangan binary option tengah menjadi perbincangan oleh masyarakat, bahkan banyak iklannya yang bertebaran di platform digital.
Instrumen trading online ini digandrungi oleh masyarakat karena kemudahan yang ditawarkan.
Namun, di balik keuntungan yang menggiurkan, masyarakat pengguna binary option ternyata dirugikan.
Baca selengkapnya https://video.tribunnews.com/view/322412/modus-cepat-kaya-dengan-tebak-tebakan-ala-binary-option-afiliator-bisa-dipidana

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 New Update Modus Cepat Kaya dengan Tebak-tebakan ala Binary Option, Afiliator Bisa Dipidana
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Bareskrim Polri Buka Hotline Pengaduan Terkait Penipuan … New

18/03/2022 · Whisnu mengatakan, selain kasus penipuan binary option Binomo dengan tersangka Indra Kenz, pihaknya juga menangani sejumlah kasus penipuan melalui platform binary option dan robot trading seperti FBS, Viral Blast Global, Mark AI, Evotrade, FAHRENHEIT, FIN888 dan DNA Pro.. Baca Juga: Vokalis Sisitipsi Ditangkap Terkait Kasus Penyalahgunaan Narkoba …

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REALITA RIAU – Direktion Tindak Pidana Khusus (Tipideksus) Bareskrim Polri Membuka-Hotline Pengaduan Kasus Robot Trading und binäre Option Hermawan meminta para korban kasus trading dan binary option memanfaatkan hotline yang sudah disiapkan untuk memudahkan pelaporan.

Baca Juga: Sopir yang Tewaskan Vanessa Angel und Bibi Ardiansyah Dituntut 7 Tahun Penjara oleh JPU

„Akses hotline ini dibuka untuk para korban kasus robot trading danbinary option“, Whisnu, Kamis, 17

März 2022 Mengatakan, Selain Kasus Penipuan Binary Option Binomo dengan tersangka Indra Kenz, Pihaknya Juga Menangani Sejumlah Kasus Penipuan Melalui Platform Binary Option und Robot Trading Seperti FBS, Viral Blast Global, Mark AI, Evotrade, FAHRENHEIT, FIN888 und DNA Pro.

Baca Juga: Vokalis Sisitipsi Ditangkap Terkait Fall Penyalahgunaan Narkoba

“Harapan kami, Hotline pengaduan ini dapat membantu korban kejahatan penipuan dengan modus investasi robot trading dan binary option yang marak berkembang”, katanya.***

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Berita Lainnya: Benarkah Tahan Napas 10 Detik Bisa Jadi Cara Deteksi Covid?
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Beragam investasi ilegal di Indonesia terus terjadi dan merugikan masyarakat, meski sudah banyak pelaku yang diblokir dan ditangkap namun modus baru kembali muncul termasuk binari option dan broker ilegal
Seperti apa modus dan upaya pemberantasan binary option dan brokel ilegal ini? Selengkapnya simak dialog Andi Shalini dengan Ketua Satgas Waspada Investasi, Tongam L. Tobing serta Direktur Tindak Pidana Ekonomi \u0026 Khusus Bareskrim Polri, Brigjen Whisnu Hermawan Februanto dan Direktur TRFX Garuda Berjangka, Ibrahim Assuaibi dalam Investime, CNBC Indonesia (Senin, 21/02/2022)
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 Update Binary Option \u0026 Broker Ilegal Merajalela, Waspada Modus Ini!
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Doni Salmanan Terseret soal Binary Option, Pernah Sawer … New Update

21/02/2022 · Doni Salmanan bakal dilaporkan ke Bareskrim dalam waktu dekat karena korban masih mengumpulkan bukti-bukti terkait affiliator binary option di aplikasi selain Binomo. Rencana melaporkan Doni Salmanan ke bareskrim diungkapkan oleh pengacara korban korban Binomo, Finsensius Mendrofa.

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Nama verrückt reich selanjutnya yang bakal dilaporkan ke Bareskrim Polri adalah Doni Salmanan

Doni Salmanan bakal dilaporkan ke Bareskrim dalam waktu dekat karena korban masih mengumpulkan bukti-bukti terkait affiliator binary option di aplikasi selain Binomo.

Rencana melaporkan Doni Salmanan ke bareskrim diungkapkan oleh pengacara korban korban Binomo, Finsensius Mendrofa.

Menilik ke belakmann salannanama Donilimann salmananga memang pernah menjadi pusat perhatian banyak orang

Namanya pertama kali hits saat dirinya yang nyawer Reza Arab sampai Rp 1 miliar rupiah.

Hal ini tentu saja bikin semua orang kaget dan ingin tahu siapa sosok Doni Salmanan itu

Reza Arab sendiri mengaku kaget saat ada yang memberikan donasi dengan uang sebanyak itu.

Dalam pengakuannya, Doni Salmanan mengaku bingung saat banyak orang mencari tahu siapa dirinya

Hal tersebut disampaikan dalam Instagram Stories miliknya.

„Saya benar-benar nggak nyangka apa yang saya lakukan kemarin jadi trending

“Dan ketika saya buka YouTube, saya langsung gabung ke live YouTube Reza Arab”, tuturnya lagi.

Pria yang belum lama ini resmi menikah itu mengaku ikhlas memberikan donasi sebesar Rp 1 miliar kepada Reza Arab

Ia mengaku tidak ada settingan dalam hal ini.

“Dan semua yang saya gift ke beliau, saya benar-benar ikhlas dan tidak ada setting-an,” jelasnya lagi.

Kejadian ini bermula saat Reza Arab saat Live-Streaming-Spiel Ragnarok X di Channel YouTube-Miliknja

Saat itu pula, Reza langsung kaget mendapatkan donasi sebesar Rp 1 miliar dari Doni Salmanan

Semula donasi itu diberikan senilai Rp 400 juta dan langsung naik menjadi Rp 1 miliar.

„Aku dapat donasi dari pria bernama Doni Salmanan Rp 400 juta hanya dalam 15 menit siaran langsung,“ jelas Reza Arab.

Dilihat dari Instagram pribadinya, Doni Salmanan adalah YouTuber und Trader suchen nach Jakarta

Doni Salmanan Juga Merupakan CEO Salmanan Group.

Kini, Doni Salmanan memiliki dua Kanal YouTube

Kedua Channel YouTube heißt Salamanan Vlog und King Salmanan.

Doni Salmanan Terancam Hukuman 20 Tahun Penjara atas Kasus Quotex

Ceritakan Awal Mengenal Binary Option, Korban: Mereka Bilang di Sini Mudah, di Sini Kita Akan Sukses New

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Modus Viral Blast Yang Tipu 12.000 Anggota Sebesar Rp 1,2 … Update

23/02/2022 · Modus Viral Blast Yang Tipu 12.000 Anggota Sebesar Rp 1,2 Triliun, Berikut Aplikasi Investasi Ilegal … Baca juga: SWI Meminta Afiliator dan Influencer Stop Promosikan Binary Option, Bukan …

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Cara Culas Afiliator \u0026 Influencer Binary Option Cari Mangsa Update New

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Iming-iming kaya dalam waktu singkat rupanya menjadi cara ampuh membuat korban terpikat. Itulah yang dilakukan afiliator dan influencer binary option untuk mengeruk cuan dari para korban.

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 New Update Cara Culas Afiliator \u0026 Influencer Binary Option Cari Mangsa
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Propositional Logic – Internet Encyclopedia of Philosophy Update

Propositional Logic. Propositional logic, also known as sentential logic and statement logic, is the branch of logic that studies ways of joining and/or modifying entire propositions, statements or sentences to form more complicated propositions, statements or sentences, as well as the logical relationships and properties that are derived from these methods of combining or altering …

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Aussagelogik

Die Aussagenlogik, auch bekannt als Satzlogik und Aussagelogik, ist der Zweig der Logik, der Möglichkeiten untersucht, ganze Aussagen, Aussagen oder Sätze zu verbinden und/oder zu modifizieren, um kompliziertere Aussagen, Aussagen oder Sätze zu bilden, sowie die logischen Beziehungen und Eigenschaften die sich aus diesen Methoden zum Kombinieren oder Ändern von Aussagen ableiten

In der Aussagenlogik werden die einfachsten Aussagen als unteilbare Einheiten betrachtet, und daher untersucht die Aussagenlogik nicht jene logischen Eigenschaften und Beziehungen, die von Teilen von Aussagen abhängen, die selbst keine Aussagen sind, wie z

B

das Subjekt und das Prädikat einer Aussage

Der am besten erforschte Zweig der Aussagenlogik ist die klassische wahrheitsfunktionale Aussagenlogik, die logische Operatoren und Verknüpfungen untersucht, die verwendet werden, um komplexe Aussagen zu erzeugen, deren Wahrheitswert vollständig von den Wahrheitswerten der einfacheren Aussagen abhängt, aus denen sie bestehen

und in der angenommen wird, dass jede Aussage entweder wahr oder falsch ist und nicht beides

Es gibt aber auch andere Formen der Aussagenlogik, bei denen andere Wahrheitswerte betrachtet werden, oder bei denen Konnektoren berücksichtigt werden, mit denen Aussagen produziert werden, deren Wahrheitswerte nicht einfach von den Wahrheitswerten abhängen der Teile, sondern zusätzliche Dinge wie ihre Notwendigkeit, Möglichkeit oder Beziehung zueinander.

Inhaltsverzeichnis

1

Einleitung

Eine Aussage kann als Aussagesatz oder Teil eines Satzes definiert werden, der einen Wahrheitswert haben kann, wie zum Beispiel wahr oder falsch zu sein

So sind zum Beispiel die folgenden Anweisungen:

George W

Bush ist der 43

Präsident der Vereinigten Staaten

Paris ist die Hauptstadt von Frankreich

Jeder, der am Montag geboren wurde, hat lila Haare

Manchmal kann eine Anweisung eine oder mehrere andere Anweisungen als Teile enthalten

Betrachten Sie zum Beispiel die folgende Aussage:

Entweder Ganymed ist ein Jupitermond oder Ganymed ist ein Saturnmond

Während der obige zusammengesetzte Satz selbst eine Aussage ist, weil er wahr ist, sind die beiden Teile „Ganymed ist ein Jupitermond“ und „Ganymed ist ein Mond von Saturn“, sind selbst Aussagen, weil die erste wahr und die zweite falsch ist

Der Begriff Satz wird manchmal zusammen mit Aussage verwendet

Es wird jedoch manchmal verwendet, um etwas Abstraktes zu benennen, das zwei verschiedene Aussagen mit derselben Bedeutung beide „ausdrücken“ soll

In diesem Sprachgebrauch würden der englische Satz „It is raining“ und der französische Satz „Il pleut“ als Ausdruck derselben Aussage angesehen; In ähnlicher Weise würden auch die beiden englischen Sätze „Callisto orbits Jupiter“ und „Jupiter is orbited by Callisto“ als Ausdruck derselben Aussage angesehen werden

Die Natur oder Existenz von Aussagen als abstrakte Bedeutungen ist jedoch immer noch Gegenstand philosophischer Kontroversen, und für die Zwecke dieses Artikels werden die Ausdrücke „Aussage“ und „Aussage“ synonym verwendet

Aussagenlogik, auch bekannt als Satzlogik, ist der Zweig der Logik, der Möglichkeiten untersucht, Aussagen oder Aussagen zu kombinieren oder zu verändern, um kompliziertere Aussagen oder Aussagen zu bilden

Zwei einfachere Sätze mit dem Wort „und“ zu verbinden, ist eine gängige Art, Aussagen zu kombinieren

Wenn zwei Aussagen mit „und“ verbunden werden, ist die aus ihnen gebildete komplexe Aussage genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind

Aus diesem Grund ist ein Argument der folgenden Form logisch gültig:

Paris ist die Hauptstadt von Frankreich und Paris hat eine Bevölkerung von über zwei Millionen

Daher hat Paris eine Bevölkerung von über zwei Millionen.

Die Aussagenlogik beinhaltet weitgehend das Studium logischer Konnektoren wie der Wörter „und“ und „oder“ und der Regeln, die die Wahrheitswerte der Sätze bestimmen, mit denen sie verbunden werden, sowie was diese Regeln für die Gültigkeit von Argumenten bedeuten

und solche logischen Beziehungen zwischen Aussagen, die miteinander konsistent oder widersprüchlich sind, sowie logische Eigenschaften von Aussagen, wie z

B

tautologisch wahr, kontingent und in sich widersprüchlich zu sein

(Diese Begriffe werden unten definiert.)

Die Aussagenlogik untersucht auch Möglichkeiten, Aussagen zu modifizieren, wie z

B

das Hinzufügen des Wortes „nicht“, das verwendet wird, um eine bejahende Aussage in eine negative Aussage umzuwandeln

Hier ist das grundlegende logische Prinzip, dass, wenn eine gegebene bejahende Aussage wahr ist, die Negation dieser Aussage falsch ist, und wenn eine gegebene bejahende Aussage falsch ist, die Negation dieser Aussage wahr ist Im Gegensatz zu anderen (normalerweise komplizierteren) Zweigen der Logik befasst sich die Aussagenlogik nicht mit logischen Beziehungen und Eigenschaften, die die Teile einer Aussage betreffen, die kleiner sind als die einfachen Aussagen, aus denen sie besteht

Daher untersucht die Aussagenlogik nicht die logischen Merkmale der folgenden Aussagen, aufgrund derer sie ein gültiges Argument darstellen:

George W

Bush ist ein Präsident der Vereinigten Staaten

George W

Bush ist ein Sohn eines Präsidenten der Vereinigten Staaten

Daher gibt es jemanden, der sowohl Präsident der Vereinigten Staaten als auch Sohn eines Präsidenten der Vereinigten Staaten ist

Die Anerkennung, dass das obige Argument gültig ist, erfordert, dass man erkennt, dass das Subjekt in der ersten Prämisse dasselbe ist wie das Thema in der zweiten Prämisse

In der Aussagenlogik werden einfache Aussagen jedoch als unteilbare Ganzheiten betrachtet, und jene logischen Beziehungen und Eigenschaften, die Teile von Aussagen wie ihre Subjekte und Prädikate betreffen, werden nicht berücksichtigt

Aussagenlogik kann in erster Linie als das Studium der Logik betrachtet werden Betreiber

Ein logischer Operator ist ein beliebiges Wort oder eine Phrase, die verwendet wird, um entweder eine Aussage zu ändern, um eine andere Aussage zu machen, oder um mehrere Aussagen zusammenzufügen, um eine kompliziertere Aussage zu bilden

Im Englischen sind Wörter wie “and”, “or”, “not”, “if. .

then…”, “because” und “notwendigerweise” alle Operatoren

Ein logischer Operator wird als “be” bezeichnet Wahrheitsfunktional, wenn die Wahrheitswerte (Wahrheit oder Falschheit etc.) der Aussagen, zu deren Konstruktion sie verwendet werden, immer vollständig von der Wahrheit oder Falschheit der Aussagen abhängen, aus denen sie konstruiert werden

Die englischen Wörter „and“, „or“ und „not“ sind (zumindest wohl) wahrheitsfunktional, weil eine mit dem Wort „and“ verbundene zusammengesetzte Aussage wahr ist, wenn beide so verknüpften Aussagen wahr sind, und falsch, wenn entweder oder beide sind falsch, eine zusammengesetzte Aussage, die mit dem Wort „oder“ verbunden ist, ist wahr, wenn mindestens eine der verbundenen Aussagen wahr ist, und falsch, wenn beide verbundenen Aussagen falsch sind, und die Negation einer Aussage ist genau dann wahr, wenn und nur wenn die verneinte Aussage falsch ist

Einige logische Operatoren sind nicht wahrheitsfunktional

Ein Beispiel für einen nicht wahrheitsfunktionalen Operator im Englischen ist das Wort „necessarily“

Ob eine mit diesem Operator gebildete Aussage wahr oder falsch ist, hängt nicht vollständig von der Wahrheit oder Falschheit der Aussage ab, auf die der Operator angewendet wird

Beispielsweise sind die beiden folgenden Aussagen wahr:

2 + 2 = 4

Jemand liest einen Artikel in einem Philosophie-Lexikon

Betrachten wir nun aber die entsprechenden Aussagen modifiziert mit dem Operator „notwendigerweise“:

Notwendigerweise ist 2 + 2 = 4

Notwendigerweise liest jemand einen Artikel in einer Philosophie-Enzyklopädie

Hier ist das erste Beispiel wahr, aber das zweite Beispiel ist falsch

Daher hängt die Wahrheit oder Falschheit einer Aussage, die den Operator „notwendigerweise“ verwendet, nicht vollständig von der Wahrheit oder Falschheit der modifizierten Aussage ab.

Wahrheitsfunktionale Aussagenlogik ist jener Zweig der Aussagenlogik, der sich auf das Studium wahrheitsfunktionaler Operatoren beschränkt

Die klassische (oder „bivalente“) wahrheitsfunktionale Aussagenlogik ist jener Zweig der wahrheitsfunktionalen Aussagenlogik, der davon ausgeht, dass es nur zwei mögliche Wahrheitswerte gibt, die eine Aussage (egal ob einfach oder komplex) haben kann: (1) Wahrheit, und (2) Falschheit, und dass jede Aussage entweder wahr oder falsch ist, aber nicht beides konzentriert sich ausschließlich auf diesen Bereich der Logik

Neben der klassischen wahrheitsfunktionalen Aussagenlogik gibt es andere Zweige der Aussagenlogik, die logische Operatoren wie “notwendigerweise” untersuchen, die nicht wahrheitsfunktional sind

Es gibt auch „nicht-klassische“ Aussagenlogiken, in denen solche Möglichkeiten wie (i) ein Satz einen anderen Wahrheitswert als Wahrheit oder Falschheit hat, (ii) ein Satz einen unbestimmten Wahrheitswert hat oder überhaupt keinen Wahrheitswert hat, und manchmal wird sogar (iii) ein Satz, der sowohl wahr als auch falsch ist, berücksichtigt

(Weitere Informationen zu diesen alternativen Formen der Aussagenlogik finden Sie in Abschnitt VIII weiter unten.) 2.Geschichte

Das ernsthafte Studium der Logik als eigenständige Disziplin begann mit dem Werk von Aristoteles (384-322 v

Chr.)

Im Allgemeinen befassten sich Aristoteles’ anspruchsvolle Schriften zur Logik jedoch mit der Logik von Kategorien und Quantifizierern wie “alle” und “einige”, die in der Aussagenlogik nicht behandelt werden

In seinen metaphysischen Schriften vertrat Aristoteles jedoch zwei Prinzipien von großer Bedeutung in der Aussagenlogik, die seither als das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten und das Gesetz des Widerspruchs bezeichnet werden

In der Aussagenlogik interpretiert, ist das erste das Prinzip, dass jede Aussage entweder wahr oder falsch ist, das zweite ist das Prinzip, dass keine Aussage sowohl wahr als auch falsch ist

Dies sind natürlich Eckpfeiler der klassischen Aussagenlogik

Es gibt einige Hinweise darauf, dass Aristoteles oder zumindest sein Nachfolger am Lyzeum, Theophrastus (gest

287 v

Chr.), Die Notwendigkeit der Entwicklung einer Lehre von „komplexen“ oder „hypothetischen“ Sätzen, dh solchen, die Konjunktionen beinhalten, erkannt hat (durch „und“ verbundene Aussagen), Disjunktionen (durch „oder“ verbundene Aussagen) und Bedingungssätze (durch „wenn … dann …“ verbundene Aussagen), aber ihre Untersuchungen zu diesem Zweig der Logik scheinen sehr gering gewesen zu sein Versuche, Anweisungsoperatoren wie “und”, “oder” und “wenn. .

dann. ..” zu studieren, wurden von den stoischen Philosophen im späten 3

Jahrhundert v

Chr

Unternommen

Da die meisten ihrer Originalwerke – falls diese Schriften überhaupt entstanden sind – verschollen sind, können wir nicht viele eindeutige Aussagen darüber machen, wer als erster Untersuchungen auf welchen Gebieten der Aussagenlogik durchgeführt hat, aber wir wissen aus den Schriften von Sextus Empiricus, dass Diodorus Kronos und sein Schüler Philo hatten eine langwierige Debatte darüber geführt, ob die Wahrheit einer Bedingungsaussage ausschließlich davon abhängt, dass ihr Vordersatz (wenn-Satz) nicht wahr ist, während ihr Folgesatz (dann-Satz) falsch ist, oder ob es erfordert eine Art stärkere Verbindung zwischen dem Antezedens und dem Konsequenten – eine Debatte, die für die moderne Diskussion der Bedingungen weiterhin relevant ist

Der stoische Philosoph Chrysippus (ungefähr 280-205 v

Chr.) hat vielleicht am meisten zur Weiterentwicklung der stoischen Aussagenlogik beigetragen, indem er eine Reihe verschiedener Möglichkeiten zur Bildung komplexer Prämissen für Argumente aufzeigte und für jede gültige Inferenzschemata auflistete

Chrysippus schlug vor, dass die folgenden Inferenzschemata als die grundlegendsten angesehen werden sollten:

Wenn das erste, dann das zweite; aber das erste; also die zweite

Wenn das erste, dann das zweite; aber nicht das zweite; also nicht der erste

Nicht sowohl das erste als auch das zweite; aber das erste; also nicht die zweite

Entweder das erste oder das zweite [und nicht beide]; aber das erste; also nicht die zweite

Entweder das erste oder das zweite; aber nicht das zweite; Daher die erste.

Inferenzregeln wie die obige entsprechen sehr genau den Grundprinzipien in einem zeitgenössischen System natürlicher Deduktion für die Aussagenlogik

Zum Beispiel entsprechen die ersten beiden Regeln den Regeln von modus ponens bzw

modus tollens

Diese grundlegenden Inferenzschemata wurden von Chrysippus selbst und anderen Stoikern durch weniger grundlegende Inferenzschemata erweitert und sind in den Arbeiten von Diogenes Laertius, Sextus Empiricus und später in den Arbeiten von Cicero erhalten

Fortschritte im Werk der Stoiker wurden in den folgenden Jahrhunderten in kleinen Schritten unternommen

Diese Arbeit wurde zum Beispiel von dem Logiker Galen aus dem zweiten Jahrhundert (ungefähr 129-210 n

Chr.), dem Philosophen Boethius aus dem 6

Jahrhundert (ungefähr 480-525 n

Chr.) Und später von mittelalterlichen Denkern wie Peter Abaelard (1079-1142) und William durchgeführt von Ockham (1288-1347) und andere

Ein Großteil ihrer Arbeit bestand darin, bessere Formalisierungen der Prinzipien von Aristoteles oder Chrysippus zu erstellen, eine verbesserte Terminologie einzuführen und die Diskussion über die Beziehungen zwischen Operatoren voranzutreiben

Abaelard zum Beispiel scheint der erste gewesen zu sein, der die exklusive Disjunktion klar von der inklusiven Disjunktion unterschieden hat (siehe unten) und vorgeschlagen hat, dass die inklusive Disjunktion der wichtigere Begriff für die Entwicklung einer relativ einfachen Disjunktionslogik ist

Das nächste Hauptfach Fortschritte in der Entwicklung der Aussagenlogik kamen erst viel später mit dem Aufkommen der symbolischen Logik in der Arbeit von Logikern wie Augustus DeMorgan (1806-1871) und insbesondere George Boole (1815-1864) Mitte des 19

Jahrhunderts

Boole war in erster Linie daran interessiert, eine „Algebra“ im mathematischen Stil zu entwickeln, um die aristotelische Syllogistik zu ersetzen, hauptsächlich durch Verwendung der Zahl „1“ für die universelle Klasse, der Zahl „0“ für die leere Klasse, der Multiplikationsnotation „xy“ für die Durchschnitt der Klassen x und y, die Additionsnotation „x + y“ für die Vereinigung der Klassen x und y usw., so dass Aussagen der syllogistischen Logik quasi mathematisch als Gleichungen behandelt werden könnten; „No x is y“ könnte beispielsweise als „xy = 0“ geschrieben werden

Boole bemerkte jedoch, dass, wenn eine Gleichung wie „x = 1“ als „x ist wahr“ und „x = 0“ als „x ist falsch“ gelesen wird, die Regeln für seine Klassenlogik transformiert werden können in eine Logik für Aussagen, wobei „x + y = 1“ dahingehend neu interpretiert wird, dass entweder x oder y wahr ist, und „xy = 1“ dahingehend neu interpretiert wird, dass x und y beide wahr sind

Booles Arbeit weckte unter Mathematikern ein rasches Interesse an Logik

Später wurden “boolesche Algebren” verwendet, um die Grundlage der wahrheitsfunktionalen Aussagenlogik zu bilden, die beim Computerdesign und der Programmierung verwendet wurde

Im späten 19

Jahrhundert präsentierte Gottlob Frege (1848-1925) die Logik als einen Zweig der systematischen Untersuchung, der grundlegender ist als Mathematik oder Algebra und präsentierte in seinem Werk Terminschrift von 1879 den ersten modernen axiomatischen Kalkül für die Logik

Obwohl es mehr als nur Aussagenlogik umfasste, ist es möglich, aus Freges Axiomatisierung die erste vollständige Axiomatisierung der klassischen wahrheitsfunktionalen Aussagenlogik zu destillieren

Frege war auch der erste, der argumentierte, dass alle wahrheitsfunktionalen Konnektoren in Bezug auf die Negation und den materiellen Konditional definiert werden könnten.

Im frühen 20

Jahrhundert gab Bertrand Russell in seiner Arbeit „The Theory of Implication“ von 1906 eine andere vollständige Axiomatisierung der Aussagenlogik, die er für sich betrachtete, und produzierte später zusammen mit AN Whitehead eine weitere Axiomatisierung unter Verwendung von Disjunktion und Negation als Primitive in der Arbeit Principia Mathematica von 1910

Der Beweis für die Möglichkeit, alle wahrheitsfunktionalen Operatoren aufgrund eines einzigen binären Operators zu definieren, wurde erstmals 1913 vom amerikanischen Logiker H

M

Sheffer veröffentlicht, obwohl der amerikanische Logiker C

S

Peirce (1839-1914) dies Jahrzehnte früher entdeckt zu haben scheint

1917 entdeckte der französische Logiker Jean Nicod, dass es möglich war, die Aussagenlogik mit dem Sheffer-Strich und nur einem einzigen Axiomschema und einer einzigen Inferenzregel zu axiomatisieren

Der Begriff einer „Wahrheitstabelle“ wird oft in der Diskussion über Wahrheitsfunktion verwendet Bindewörter (unten besprochen)

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Es scheint zumindest in den Arbeiten von Peirce, W

S

Jevons (1835-1882), Lewis Carroll (1832-1898), John Venn (1834-1923) und Allan Marquand (1853-1924) enthalten gewesen zu sein

Wahrheitstabellen erscheinen bereits 1909 explizit in Schriften von Eugen Müller

Ihre Verwendung gewann in den frühen 1920er Jahren schnell an Popularität, vielleicht aufgrund des kombinierten Einflusses der Arbeiten von Emil Post, dessen Werk von 1921 sie großzügig nutzt, und Ludwig Wittgensteins 1921 Tractatus Logico-Philosophicus, in dem Wahrheitstabellen und Wahrheitsfunktionalität prominent vertreten sind, Kurt Gödel, Alonzo Church und andere

In dieser Zeit wurden die meisten wichtigen metatheoretischen Ergebnisse wie die in Abschnitt VII diskutierten entdeckt

Vollständige natürliche Deduktionssysteme für die klassische wahrheitsfunktionale Aussagenlogik wurden Mitte der 1930er Jahre in den Arbeiten von Gerhard Gentzen entwickelt und populär gemacht

und anschließend in einflussreiche Lehrbücher wie das von FB Fitch (1952) und Irving Copi (1953) eingeführt

Die modale Aussagenlogik ist die am häufigsten untersuchte Form der nicht wahrheitsfunktionalen Aussagenlogik

Während das Interesse an der Modallogik auf Aristoteles zurückgeht, findet sich nach zeitgenössischen Maßstäben die erste systematische Untersuchung dieser modalen Aussagenlogik in den Arbeiten von CI Lewis in den Jahren 1912 und 1913

Neben anderen bekannten Formen der nicht wahrheitsfunktionalen Aussagenlogik Die deontische Logik begann 1926 mit der Arbeit von Ernst Mally, und die epistemische Logik wurde erstmals Anfang der 1960er Jahre von Jaakko Hintikka manuell behandelt

Das moderne Studium der dreiwertigen Aussagenlogik begann 1917 in der Arbeit von Jan Łukasiewicz, und bald folgten andere Formen der nichtklassischen Aussagenlogik

Die Relevanzaussagenlogik ist relativ neu; aus der Mitte der 1970er Jahre im Werk von A.R

Anderson und N

D

Belnap

Obwohl die parakonsistente Logik ihre Wurzeln in der Arbeit von Łukasiewicz und anderen hat, hat sie sich erst vor kurzem zu einem unabhängigen Forschungsgebiet entwickelt, hauptsächlich aufgrund der Arbeiten von NCA da Costa, Graham Priest und anderen in den 1970er und 1980er Jahren.

3 Die Sprache der Aussagenlogik

Die Grundregeln und Prinzipien der klassischen wahrheitsfunktionalen Aussagenlogik sind unter zeitgenössischen Logikern fast vollständig einig und können definitiv formuliert werden

Dies geschieht am einfachsten, wenn wir eine vereinfachte logische Sprache verwenden, die sich nur mit einfachen Aussagen befasst, die als unteilbare Einheiten betrachtet werden, sowie mit komplexen Aussagen, die durch wahrheitsfunktionale Konnektoren miteinander verbunden sind

Wir betrachten zunächst eine Sprache namens PL für „Propositional Logic“

Später werden wir zwei noch einfachere Sprachen betrachten, PL’ und PL“

a

Syntax- und Bildungsregeln von PL

In jeder gewöhnlichen Sprache würde eine Aussage niemals aus einem einzigen Wort bestehen, sondern würde immer mindestens aus einem Substantiv oder Pronomen zusammen mit einem Verb bestehen

Da jedoch die Aussagenlogik kleinere Teile von Aussagen nicht berücksichtigt und einfache Aussagen als unteilbare Ganze behandelt, verwendet die Sprache PL Großbuchstaben ‘ ‘, ‘ ‘, ‘ ‘ usw

anstelle vollständiger Aussagen

Die logischen Zeichen ‘ ‘, ‘ ‘, ‘→’, ‘↔’ und ‘ ‘ werden anstelle der wahrheitsfunktionalen Operatoren „und“, „oder“, „wenn… dann…“, „wenn und nur“ verwendet wenn“ bzw

„nicht“

Betrachten Sie also noch einmal das folgende Beispielargument, das in Abschnitt I erwähnt wurde

Paris ist die Hauptstadt von Frankreich und Paris hat eine Bevölkerung von über zwei Millionen

Paris hat also eine Bevölkerung von über zwei Millionen

Wenn wir den Buchstaben „ “ als unsere Übersetzung der Aussage „Paris ist die Hauptstadt Frankreichs“ in PL, und der Buchstabe „ “ als unsere Übersetzung der Aussage „Paris hat eine Bevölkerung von über zwei Millionen“, und verwenden Sie eine horizontale Linie, um die Prämisse(n) zu trennen ) eines Arguments aus der Schlussfolgerung könnte das obige Argument in der Sprache PL wie folgt symbolisiert werden:

Neben Anweisungsbuchstaben wie „ “ und „ “ und den Operatoren sind die einzigen anderen Zeichen, die manchmal in der Sprache PL vorkommen, Klammern, die zur Bildung noch komplexerer Anweisungen verwendet werden

Betrachten Sie den englischen zusammengesetzten Satz: „Paris ist die wichtigste Stadt in Frankreich, wenn und nur wenn Paris die Hauptstadt von Frankreich ist und Paris eine Bevölkerung von über zwei Millionen hat.“ Wenn wir den Buchstaben „ “ in der Sprache PL verwenden, um zu bedeuten, dass Paris die wichtigste Stadt Frankreichs ist, würde dieser Satz wie folgt in PL übersetzt:

Die Klammern werden verwendet, um die Aussagen „ “ und „ “ zusammenzufassen und die obige Aussage von derjenigen zu unterscheiden, die wie folgt geschrieben würde:

Diese letztere Aussage behauptet, dass Paris die wichtigste Stadt in Frankreich ist, wenn und nur wenn es die Hauptstadt von Frankreich ist, und (getrennt davon) Paris eine Bevölkerung von über zwei Millionen hat

Der Unterschied zwischen den beiden ist subtil, aber logisch wichtig

Es ist wichtig, die Syntax und den Aufbau von Anweisungen in der Sprache PL genau zu beschreiben und einige Definitionen anzugeben, die später verwendet werden

Zuvor lohnt es sich, zwischen der Sprache, in der wir über PL sprechen werden, nämlich Englisch, und PL selbst zu unterscheiden

Immer wenn eine Sprache verwendet wird, um eine andere zu diskutieren, wird die Sprache, in der die Diskussion stattfindet, Metasprache genannt, und die diskutierte Sprache wird Objektsprache genannt

In diesem Zusammenhang ist die Objektsprache die Sprache PL, und die Metasprache ist Englisch, genauer gesagt Englisch, ergänzt um bestimmte spezielle Mittel, die verwendet werden, um über die Sprache PL zu sprechen

Auf Englisch ist es möglich, über Wörter und Sätze in anderen Sprachen zu sprechen, und wenn wir dies tun, setzen wir die Wörter oder Sätze, über die wir sprechen möchten, in Anführungszeichen

Daher kann ich im gewöhnlichen Englisch sagen, dass „parler“ ein französisches Verb und „ “ eine Aussage von PL ist

Der folgende Ausdruck ist Teil von PL, nicht Englisch:

Der folgende Ausdruck ist jedoch ein Teil des Englischen; insbesondere ist es der englische Name eines PL-Satzes:

„ “

Dieser Punkt mag ziemlich trivial erscheinen, aber man kann leicht verwirrt werden, wenn man nicht aufpasst.

In unserer Metasprache werden wir auch bestimmte Variablen verwenden, die verwendet werden, um für willkürliche Ausdrücke zu stehen, die aus den Grundsymbolen von PL aufgebaut sind

Im Folgenden werden die griechischen Buchstaben ‘ ‘, ‘ ‘ usw

für jeden Objektsprachen(PL)-Ausdruck einer bestimmten bezeichneten Form verwendet

Zum Beispiel werden wir später sagen, dass wenn eine Aussage von PL ist, dann auch

Beachten Sie, dass „“ selbst kein Symbol ist, das in PL erscheint; Es ist ein Symbol, das im Englischen verwendet wird, um über Symbole von PL zu sprechen

Wir werden auch sogenannte „Quine-Ecken“ verwenden, geschrieben „ “ und „ “, die ein spezielles metalinguistisches Mittel sind, das verwendet wird, um über auf bestimmte Weise konstruierte objektsprachliche Ausdrücke zu sprechen

Angenommen, die Aussage „ “ ist die Aussage „ “; dann ist die komplexe Anweisung „ “

Lassen Sie uns nun damit fortfahren, bestimmte Definitionen anzugeben, die in der Metasprache verwendet werden, wenn von der Sprache PL gesprochen wird

Definition: Ein Anweisungsbuchstabe von PL ist definiert als jeder Großbuchstabe, der mit oder ohne numerischem Index geschrieben wird

Hinweis: Gemäß dieser Definition sind ”, ”, ”, ” und ” Beispiele für Anweisungsbuchstaben

Die numerischen Indizes werden nur für den Fall verwendet, dass wir uns mit mehr als 26 einfachen Aussagen befassen müssen: In diesem Fall können wir „ “ verwenden, um etwas anderes als „ “ zu bedeuten, und so weiter

Definition: Ein Bindewort oder Operator von PL ist eines der Zeichen ‘ ‘, ‘ ‘, ‘ ‘, ‘→’ und ‘↔’.

Definition: Eine wohlgeformte Formel (im Folgenden als wff abgekürzt) von PL wird rekursiv wie folgt definiert:

Jeder Erklärungsbrief ist eine wohlgeformte Formel

Wenn eine wohlgeformte Formel ist, dann auch

Wenn und wohlgeformte Formeln sind, dann auch

Wenn und wohlgeformte Formeln sind, dann auch

Wenn und wohlgeformte Formeln sind, dann auch

Wenn und wohlgeformte Formeln sind, dann auch

Nichts, was nicht durch aufeinanderfolgende Schritte von (1)-(6) konstruiert werden kann, ist eine wohlgeformte Formel

Hinweis: Gemäß Teil (1) dieser Definition sind die Anweisungsbuchstaben ‘ ‘, ‘ ‘ und ‘ ‘ wffs

Da „ “ und „ “ wffs sind, ist „ “ nach Teil (3) ein wff

Weil es ein wff ist und „ “ auch ein wff ist, ist „ “ nach Teil (6) ein wff

Es ist üblich, die äußersten Klammern auf einem wff als optional zu betrachten, sodass „ “ als abgekürzte Form von „ “ behandelt wird

Wann immer jedoch ein kürzeres wff verwendet wird, um ein komplizierteres wff zu konstruieren, sind die Klammern auf dem kürzeren wff erforderlich

Der Begriff einer wohlgeformten Formel sollte so verstanden werden, dass er dem Begriff einer grammatikalisch korrekten oder richtig konstruierten Aussage von entspricht Sprache PL

Diese Definition sagt uns zum Beispiel, dass „ “ für PL grammatikalisch ist, weil es eine wohlgeformte Formel ist, während die Zeichenkette „ “, obwohl sie vollständig aus in PL verwendeten Symbolen besteht, nicht grammatikalisch ist, weil sie nicht gut ist -gebildet.

b

Wahrheitsfunktionen und Wahrheitstabellen

Bisher haben wir eigentlich die Grammatik der Sprache PL beschrieben

Bei der vollständigen Einrichtung einer Sprache ist es jedoch nicht nur notwendig, grammatikalische Regeln festzulegen, sondern auch die Bedeutung der in der Sprache verwendeten Symbole zu beschreiben

Wir haben bereits vorgeschlagen, dass Großbuchstaben als vollständige einfache Anweisungen verwendet werden

Denn die wahrheitsfunktionale Aussagenlogik analysiert nicht die Teile einfacher Aussagen, sondern betrachtet nur solche Kombinationsmöglichkeiten zu komplizierteren Aussagen, die die Wahrheit oder Falschheit des Ganzen faktisch vollständig von der Wahrheit oder Falschheit der Teile abhängig machen , spielt es keine Rolle, welche Bedeutung wir den einzelnen Aussagebuchstaben wie ‘ ‘, ‘ ‘ und ‘ ‘ usw.

Es muss jedoch mehr über die Bedeutung oder Semantik der logischen Operatoren „ “, „ “, „→“, „↔“ und „ “ gesagt werden

Wie oben erwähnt, werden diese anstelle der englischen Wörter „and“, „or“, „if…then…“, „if and only if“ bzw

„not“ verwendet

Allerdings ist die Entsprechung wirklich nur grob, weil die Operatoren von PL als durchaus wahrheitsfunktional gelten, während ihre englischen Pendants nicht immer wahrheitsfunktional verwendet werden

Betrachten Sie zum Beispiel die folgenden Aussagen:

Wenn Bob Dole im Jahr 2004 Präsident der Vereinigten Staaten ist, dann ist der Präsident der Vereinigten Staaten im Jahr 2004 Mitglied der Republikanischen Partei

Wenn Al Gore im Jahr 2004 Präsident der Vereinigten Staaten ist, dann ist der Präsident der Vereinigten Staaten im Jahr 2004 Mitglied der Republikanischen Partei

Für diejenigen, die mit der amerikanischen Politik vertraut sind, ist es verlockend, den englischen Satz (1) für wahr, aber (2) für falsch zu halten, da Dole Republikaner ist, Gore jedoch nicht

Beachten Sie jedoch, dass in beiden Fällen die einfache Aussage im „wenn“-Teil der „wenn … dann …“-Aussage falsch ist und die einfache Aussage im „dann“-Teil der Aussage wahr ist

Dies zeigt, dass der englische Operator „if… then…“ nicht vollständig wahrheitsfunktional ist

Alle Operatoren der Sprache PL sind jedoch vollständig wahrheitsfunktional, daher ist das Zeichen „→“, obwohl es in vielerlei Hinsicht dem englischen „if… then…“ ähnlich ist, nicht in jeder Hinsicht gleich

Weiter unten wird mehr über diesen Operator gesagt

Da sich unsere Untersuchung darauf beschränkt, wie die Wahrheitswerte komplexer Aussagen von den Wahrheitswerten der Teile abhängen, ist für jeden Operator der einzige in diesem Zusammenhang relevante Aspekt seiner Bedeutung die zugehörige Wahrheit

Funktion

Die Wahrheitsfunktion für einen Operator kann als Tabelle dargestellt werden, in der jede Zeile eine mögliche Kombination von Wahrheitswerten für die einfacheren Aussagen ausdrückt, auf die der Operator zutrifft, zusammen mit dem resultierenden Wahrheitswert für die gebildete komplexe Aussage Verwendung des Operators

Die Zeichen ‘ ‘, ‘ ‘, ‘→’, ‘↔’ und ‘ ‘ entsprechen jeweils den Wahrheitsfunktionen von Konjunktion, Disjunktion, materieller Implikation, materieller Äquivalenz und Negation

Wir werden diese einzeln betrachten

Konjunktion: Die Konjunktion zweier Aussagen und , geschrieben in PL als , ist wahr, wenn sowohl als auch wahr sind, und falsch, wenn entweder falsch oder falsch ist oder beide falsch sind

Tatsächlich kann die Bedeutung des Operators ‘’ gemäß der folgenden Tabelle angezeigt werden, die den Wahrheitswert der Konjunktion in Abhängigkeit von den vier Möglichkeiten der Wahrheitswerte der Teile zeigt:

T

F

F

T

F

T

F

T

F

F

F

Die Konjunktion mit dem Operator „ “ ist das grobe Äquivalent der Sprache PL zum Verbinden von Aussagen zusammen mit „und“ im Englischen

In einer Aussage der Form werden die beiden miteinander verbundenen Aussagen und , Konjunktionen genannt, und die ganze Aussage wird Konjunktion genannt

Anstelle des Zeichens ” verwenden einige andere logische Arbeiten die Zeichen ” oder ” für Konjunktion.

Disjunktion: Die Disjunktion zweier Aussagen und , geschrieben in PL als , ist wahr, wenn entweder wahr oder wahr ist, oder beide und wahr sind, und nur dann falsch, wenn beide und falsch sind

Eine ähnliche Tabelle wie oben für die Konjunktion angegeben, modifiziert, um stattdessen die Bedeutung des Disjunktionszeichens „ “ zu zeigen, würde wie folgt gezeichnet werden:

T.T.F.F.T.F.T.F.T.T.T.F

Dies ist das ungefähre Äquivalent der Sprache PL zum Verbinden von Anweisungen mit dem Wort „oder“ im Englischen

Es sollte jedoch beachtet werden, dass das Zeichen „ “ für die Disjunktion im inklusiven Sinne verwendet wird

Manchmal, wenn das Wort „or“ verwendet wird, um zwei englische Aussagen zu verbinden, betrachten wir das Ganze nur dann als wahr, wenn die eine oder andere Seite wahr ist, aber nicht beide, wie wenn die Aussage „Entweder wir können den Spielzeugroboter kaufen, oder wir können den Spielzeuglastwagen kaufen; du musst wählen!” wird von einem Elternteil zu einem Kind gesprochen, das beide Spielzeuge haben möchte

Dies wird als ausschließlicher Sinn von „oder“ bezeichnet

In PL wird das Zeichen „ “ jedoch inklusive verwendet und entspricht eher dem englischen Wort „or“, wie es in einer Aussage wie (z

B

gesagt über jemanden, der gerade eine perfekte Punktzahl im SAT erhalten hat) erscheint

, „Entweder sie hat fleißig gelernt, oder sie ist extrem aufgeweckt“, was nicht ausschließen soll, dass sie sowohl fleißig studiert als auch aufgeweckt ist

In einer Aussage der Form werden die beiden miteinander verbundenen Aussagen und , die Disjunktionen genannt, und die ganze Aussage wird als Disjunktion bezeichnet

Materielle Implikation: Diese Wahrheitsfunktion wird in der Sprache PL mit dem Zeichen ‘→’ dargestellt

Eine Aussage der Form , ist falsch, wenn wahr und falsch ist, und ist wahr, wenn entweder falsch oder wahr ist (oder beides)

Diese Wahrheitsfunktion erzeugt das folgende Diagramm:

TTF F TFT F TFTT Da die Wahrheit einer Aussage der Form die Möglichkeit ausschließt, wahr oder falsch zu sein, gibt es eine gewisse Ähnlichkeit zwischen dem Operator „→“ und dem englischen Ausdruck „if… then…“, der ebenfalls ist verwendet, um die Möglichkeit auszuschließen, dass eine Aussage wahr und eine andere falsch ist; „→“ wird jedoch vollständig wahrheitsfunktional verwendet und ist daher aus den zuvor erörterten Gründen nicht vollständig analog zu „if… then…“ im Englischen

Wenn falsch ist, gilt then als wahr, unabhängig davon, ob es einen Zusammenhang zwischen der Falschheit von und dem Wahrheitswert von gibt oder nicht

In einer Aussage der Form nennen wir den Vordersatz, und wir nennen den Nachsatz, und die ganze Aussage wird manchmal auch als (materielle) Bedingung bezeichnet

Das Zeichen „ “ wird manchmal anstelle von „→“ für die materielle Implikation verwendet

Materielle Äquivalenz: Diese Wahrheitsfunktion wird in der Sprache PL mit dem Zeichen ‘↔’ dargestellt

Eine Aussage der Form gilt als wahr, wenn und entweder beide wahr oder beide falsch sind, und gilt als falsch, wenn sie unterschiedliche Wahrheitswerte haben

Daher haben wir das folgende Diagramm:

T F F T F T F T F T Da die Wahrheit einer Aussage der Form verlangt, dass und denselben Wahrheitswert haben, wird dieser Operator oft mit dem englischen Ausdruck „…if and only if…“ verglichen

Aber auch hier sind sie nicht in allen Punkten gleich, denn ‘↔’ wird ausschließlich wahrheitsfunktional verwendet

Unabhängig davon, was und sind und in welcher Beziehung (falls vorhanden) sie zueinander stehen, gilt es als wahr, wenn beide falsch sind

Allerdings würden wir normalerweise die Aussage “Al Gore ist der Präsident der Vereinigten Staaten im Jahr 2004, wenn und nur wenn Bob Dole der Präsident der Vereinigten Staaten im Jahr 2004 ist” nicht als wahr ansehen, nur weil beide einfacheren Aussagen zufällig falsch sind

Eine Aussage der Form wird manchmal auch als (materielle) Biconditional bezeichnet

Für materielle Äquivalenz wird manchmal das Zeichen ‘ ‘ anstelle von ‘↔’ verwendet

Negation: Die Negation von Aussage , einfach in Sprache PL geschrieben, wird betrachtet als wahr, wenn falsch ist, und als falsch, wenn wahr ist

Im Gegensatz zu den anderen betrachteten Operatoren wird die Negation auf eine einzelne Anweisung angewendet

Das entsprechende Diagramm kann daher einfacher wie folgt gezeichnet werden:

T

F F

T

Das Negationszeichen „ “ hat offensichtliche Ähnlichkeiten mit dem englischen Wort „not“ sowie mit ähnlichen Ausdrücken, die verwendet werden, um eine Aussage von einer positiven in eine negative oder umgekehrt zu ändern

In logischen Sprachen werden manchmal die Zeichen „ “ oder „-“ anstelle von „ “ verwendet.

Die fünf Diagramme zusammen liefern die Regeln, die benötigt werden, um den Wahrheitswert eines gegebenen wff in der Sprache PL zu bestimmen, wenn die Wahrheitswerte der unabhängigen Aussagebuchstaben gegeben sind, aus denen es besteht

Diese Regeln sind im Fall eines sehr einfachen wff wie ” ” sehr einfach anzuwenden

Nehmen wir an, dass „ “ wahr und „ “ falsch ist; Anhand der zweiten Zeile des Diagramms für den Operator „ “ können wir sehen, dass diese Aussage falsch ist

Die Diagramme enthalten jedoch auch die Regeln, die zur Bestimmung des Wahrheitswerts komplizierterer Aussagen erforderlich sind

Wir haben gerade gesehen, dass „ “ falsch ist, wenn „ “ wahr und „ “ falsch ist

Betrachten Sie eine kompliziertere Aussage, die diese Aussage als Teil enthält, zum Beispiel „ “, und nehmen Sie noch einmal an, dass „ “ wahr und „ “ falsch ist, und nehmen Sie weiter an, dass „ “ ebenfalls falsch ist

Um den Wahrheitswert dieser komplizierten Aussage zu bestimmen, beginnen wir mit der Bestimmung des Wahrheitswertes der inneren Teile

Die Aussage „ “ ist, wie wir gesehen haben, falsch

Die andere Unteraussage, „ “, ist wahr, weil „ “ falsch ist und „ “ den Wahrheitswert dessen, auf das sie angewendet wird, umkehrt

Jetzt können wir den Wahrheitswert des gesamten wff, „ “, bestimmen, indem wir die oben angegebene Tabelle für „→“ zu Rate ziehen

Hier ist das wff „ “ unser , und „ “ ist unser , und da ihre Wahrheitswerte F bzw

T sind, konsultieren wir die dritte Zeile des Diagramms und sehen, dass die komplexe Aussage „ “ wahr ist.

Wir haben bisher den Fall betrachtet, in dem ” wahr ist und ” und ” beide falsch sind

Es gibt jedoch noch eine Reihe weiterer Möglichkeiten hinsichtlich der möglichen Wahrheitswerte der Aussagebuchstaben ‚‘, ‚‘ und ‚‘

Es gibt insgesamt acht Möglichkeiten, wie die folgende Liste zeigt:

TTTTFFF F TTFFTTF F TFTFTFTF Streng genommen stellt jede der oben genannten acht Möglichkeiten eine andere Wahrheitswertzuordnung dar, die als mögliche Zuordnung von Wahrheitswerten T oder F zu den verschiedenen Aussagebuchstaben definiert werden kann, aus denen sich ein wff oder eine Reihe zusammensetzt von wffs

Hat ein wff n verschiedene Aussagebuchstaben, so ist die Anzahl der möglichen Wahrheitswertzuweisungen 2n

Mit dem wff, „ “, gibt es drei Aussagebuchstaben, ‘ ‘, ‘ ‘ und ‘ ‘, also gibt es 8 Wahrheitswertzuordnungen.

Dann wird es möglich, ein Diagramm zu zeichnen, das zeigt, wie der Wahrheitswert einer gegebenen ist wff würde für jede mögliche Wahrheitswertzuordnung aufgelöst werden

Wir beginnen mit einem Diagramm, das alle möglichen Wahrheitswertzuordnungen für den wff zeigt, wie das oben angegebene

Als nächstes schreiben wir den wff selbst oben rechts in unser Diagramm, mit Leerzeichen zwischen den Zeichen

Dann wiederholen wir für jede Wahrheitswertzuweisung den entsprechenden Wahrheitswert, „T“ oder „F“, unter den Aussagebuchstaben, wie sie im wff erscheinen

Wenn dann die Wahrheitswerte derjenigen wffs bestimmt werden, die Teile des vollständigen wff sind, schreiben wir ihre Wahrheitswerte unter das logische Zeichen, das verwendet wird, um sie zu bilden

Die ausgefüllte letzte Spalte zeigt den Wahrheitswert der gesamten Aussage für jede Wahrheitswertzuordnung

Angesichts der Bedeutung dieser Spalte heben wir sie in gewisser Weise hervor

Hier markieren wir es gelb.

| → T

T

T

T

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F

F

F T

T

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F

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T F

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F

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F

T T

F

T

F

T

F

T

F

Charts: wie die oben angegeben sind Wahrheitstabellen genannt

In der klassischen wahrheitsfunktionalen Aussagenlogik enthüllt eine Wahrheitstabelle, die für eine bestimmte wff in Effekten konstruiert wurde, alles logisch Wichtige an dieser wff

Die obige Tabelle sagt uns, dass das wff „ “ nur dann falsch sein kann, wenn „ “, „ “ und „ “ alle wahr sind, und ansonsten wahr ist

c

Definierbarkeit der Operatoren und der Sprachen PL’ und PL“

Die Sprache PL enthält, wie wir gesehen haben, Operatoren, die grob analog zu den englischen Operatoren „and“, „or“, „if…then…“, „if and only if“ und „not“ sind

Jeder von diesen kann, wie wir auch gesehen haben, als Vertreter einer bestimmten Wahrheitsfunktion gedacht werden

Es könnte jedoch eingewendet werden, dass es andere Methoden gibt, Aussagen miteinander zu kombinieren, bei denen der Wahrheitswert der Aussage vollständig von den Wahrheitswerten der Teile abhängt, oder mit anderen Worten, dass es neben der Konjunktion Wahrheitsfunktionen gibt , (inklusive) Disjunktion, materielle Implikation, materielle Äquivalenz und Negation

Zum Beispiel haben wir früher angemerkt, dass das Zeichen „ “ analog zu „oder“ im inklusiven Sinn verwendet wird, was bedeutet, dass die Sprache PL kein einfaches Zeichen für „oder“ im ausschließlichen Sinn hat

Es könnte jedoch angenommen werden, dass die Sprache PL ohne das Hinzufügen eines zusätzlichen Symbols unvollständig ist, sagen wir „ “, so dass es als wahr betrachtet würde, wenn wahr und falsch ist, oder falsch ist und wahr ist, aber betrachtet würde als falsch, wenn entweder und wahr oder beide und falsch sind

Eine mögliche Antwort auf diesen Einwand wäre jedoch anzumerken, dass die Sprache PL zwar kein einfaches Zeichen für diesen ausschließlichen Sinn der Disjunktion enthält, es aber möglich ist, using die Symbole, die in PL enthalten sind, um eine Aussage zu konstruieren, die unter genau denselben Umständen wahr ist

Betrachten Sie zum Beispiel eine Anweisung der Form

Mit Hilfe einer Wahrheitstabelle lässt sich leicht zeigen, dass jede wff dieser Form den gleichen Wahrheitswert hätte wie eine Möchtegern-Aussage mit dem Operator „ “

Siehe folgendes Diagramm:

| ↔ T T F F T F T F F T T F T T F F T F F T T F T F Hier sehen wir, dass ein wff der Form wahr ist, wenn entweder oder wahr ist, aber nicht beides

Dies zeigt, dass PL in keiner Weise fehlt, da es kein Zeichen „ “ enthält

Alle Arbeiten, die man mit diesem Zeichen machen möchte, können mit den Zeichen „↔“ und „ “ erledigt werden

Tatsächlich könnte man behaupten, dass das Zeichen „ “ durch die Zeichen „↔“ und „ “ definiert werden kann, und dann die Form als Abkürzung für ein wff der Form verwenden, ohne das primitive Vokabular der Sprache PL tatsächlich zu erweitern.

Die Zeichen ‘ ‘, ‘ ‘, ‘→’, ‘↔’ und ‘ ‘ wurden als Operatoren ausgewählt, die in PL aufgenommen werden sollen, weil sie (grob) den Arten von wahrheitsfunktionalen Operatoren entsprechen, die im Allgemeinen am häufigsten verwendet werden Diskurs und Argumentation

Angesichts der vorhergehenden Diskussion ist es jedoch natürlich zu fragen, ob einige Operatoren auf dieser Liste in Bezug auf die anderen definiert werden können oder nicht

Es stellt sich heraus, dass sie es können

Wenn wir aus irgendeinem Grund wünschen, dass unsere logische Sprache ein begrenzteres Vokabular hat, ist es tatsächlich möglich, nur die Zeichen ‘ ‘ und ‘→’ zu verwenden und alle anderen möglichen Wahrheitsfunktionen kraft dieser zu definieren

Betrachten Sie zum Beispiel die folgende Wahrheitstabelle für Aussagen der Form:

| → T F F T F T F T F F F T T F F F T F T F T F T T F T F Aus dem Obigen ist ersichtlich, dass ein wff der Form immer den gleichen Wahrheitswert hat wie die entsprechende Aussage der Form

Dies zeigt, dass das Zeichen „ “ tatsächlich mit den Zeichen „ “ und „→“ definiert werden kann

Betrachten Sie als Nächstes die Wahrheitstabelle für Aussagen der Form :

| → T F T F T F F F T T F T F T F T F T F T F Hier sehen wir, dass eine Aussage der Form immer denselben Wahrheitswert hat wie die entsprechende Aussage der Form

Dies zeigt wiederum, dass das Zeichen „ “ tatsächlich mit den Zeichen „→“ und „ “ definiert werden könnte

Betrachten Sie zuletzt die Wahrheitstabelle für eine Aussage der Form :

| → → → TTF F TFT F TFF T TTF F TFT T TFT F FTT F FFT F TFT F TTF T TTFF Aus dem Obigen sehen wir, dass eine Aussage der Form immer denselben Wahrheitswert hat wie die entsprechende Aussage der Form

In der Tat haben wir also gezeigt, dass die verbleibenden Operatoren von PL alle aufgrund von ‘→’ und ‘ ‘ definiert werden können, und dass wir, wenn wir wollten, auf die Operatoren ‘ ‘, ‘ ‘ und verzichten könnten ‘↔’, und begnügen Sie sich einfach mit diesen äquivalenten Ausdrücken, die vollständig aus ‘→’ und ‘ ‘ aufgebaut sind.

Nennen wir die Sprache, die sich aus dieser Vereinfachung ergibt, PL’

Während die Definition eines Aussageschreibens für PL’ dieselbe bleibt wie für PL, kann die Definition einer wohlgeformten Formel (wff) für PL’ stark vereinfacht werden

In der Tat kann es wie folgt angegeben werden:

Definition: Eine wohlgeformte Formel (oder wff) von PL’ ist rekursiv wie folgt definiert:

Jeder Erklärungsbrief ist eine wohlgeformte Formel

Wenn eine wohlgeformte Formel ist, dann auch

Wenn und wohlgeformte Formeln sind, dann auch

Nichts, was nicht durch aufeinanderfolgende Schritte von (1)-(3) konstruiert werden kann, ist eine wohlgeformte Formel

Streng genommen enthält die Sprache PL’ also keine Anweisungen, die die Operatoren ‘ ‘, ‘ ‘ oder ‘↔ verwenden ‘

Man könnte jedoch Konventionen verwenden, so dass in der Sprache PL’ ein Ausdruck der Form als bloße Abkürzung oder Abkürzung für die entsprechende Aussage der Form zu betrachten ist, und ähnlich, dass Ausdrücke der Formen und zu als Abkürzungen von Ausdrücken der Formen bzw

angesehen werden

In der Tat bedeutet dies, dass es möglich ist, jedes wff der Sprache PL in ein äquivalentes wff der Sprache PL’ zu übersetzen

In Abschnitt VII wird bewiesen, dass nicht nur die Operatoren ‘ ‘ und ‘→’ ausreichen, um jede Wahrheit zu definieren -funktionaler Operator in der Sprache PL enthalten sind, sondern auch ausreichen, um jeden erdenklichen wahrheitsfunktionalen Operator in der klassischen Aussagenlogik zu definieren

Trotzdem ist die Wahl von ‘ ‘ und ‘→’ für die in der Sprache PL’ verwendeten primitiven Zeichen zu gewissermaßen willkürlich

Es wäre auch möglich gewesen, alle anderen Operatoren von PL (einschließlich „→“) mit den Zeichen „ “ und „ “ zu definieren

Bei diesem Ansatz wäre definiert als , würde definiert als und würde definiert als

Ebenso hätten wir stattdessen mit „ “ und „ “ als Startoperatoren beginnen können

Bei dieser Vorgehensweise wäre definiert als , wäre definiert als , und wäre definiert als.

Wie wir gesehen haben, gibt es mehrere verschiedene Möglichkeiten, alle wahrheitsfunktionalen Operatoren auf zwei Primitive zu reduzieren

Es gibt auch zwei Möglichkeiten, alle wahrheitsfunktionalen Operatoren auf einen einzigen primitiven Operator zu reduzieren, aber sie erfordern die Verwendung eines Operators, der nicht in der Sprache PL als primitiver Operator enthalten ist

Bei einem Ansatz verwenden wir einen mit „|“ geschriebenen Operator und erklären die diesem Zeichen entsprechende Wahrheitsfunktion anhand der folgenden Tabelle:

T F F T F F F T T T Hier können wir sehen, dass eine Aussage der Form falsch ist, wenn sowohl als auch wahr sind, und ansonsten wahr

Aus diesem Grund könnte man „|“ ähnlich dem englischen Ausdruck „Not both … and …“ lesen

Tatsächlich ist es möglich, diese Wahrheitsfunktion in der Sprache PL mit einem Ausdruck der Form

Da wir jedoch zeigen wollen, dass alle anderen wahrheitsfunktionalen Operatoren, einschließlich „ “ und „ “, von „|“ abgeleitet werden können, ist es besser, die Bedeutungen von „ “ und „ “ nicht als eine Rolle von zu betrachten die Bedeutung von ‘|’, und versuchen Sie stattdessen (so kontraintuitiv es auch scheinen mag), ‘|’ wie begrifflich vor ‘ ‘ und ‘ ‘.

Das Zeichen ‘|’ wird als Sheffer-Strich bezeichnet und ist nach HM Sheffer benannt, der erstmals 1913 das Ergebnis veröffentlichte, dass alle wahrheitsfunktionalen Konnektive aufgrund eines einzigen Operators definiert werden konnten

Wir können dann sehen, dass das Konnektiv ” in definiert werden kann aufgrund von ‘|’, weil ein Ausdruck der Form die folgende Wahrheitstabelle erzeugt und daher dem entsprechenden Ausdruck der Form : entspricht

| | | | TTF F TFT F TTF F FTT T TFT F TFF F TTF F FTT T TFTF In ähnlicher Weise können wir den Operator ‘ ‘ mit ‘|’ definieren

indem man feststellt, dass ein Ausdruck der Form immer denselben Wahrheitswert hat wie die entsprechende Aussage der Form :

| | | | T F T F T F T F T T F F F F T T T T F F T T T F T F T F F T F T T F T F Die folgende Wahrheitstafel zeigt, dass eine Aussage der Form immer dieselbe Wahrheitstafel hat wie eine Aussage der Form :

| | | T T F F T F T F T T F F T F T T T F T F F T F T T F T F

Obwohl alles andere als intuitiv offensichtlich, zeigt die folgende Tabelle, dass ein Ausdruck der Form immer denselben Wahrheitswert hat wie das entsprechende wff der Form :

| |

|

| |

|

T TF F TFT F TTF F FFT T TTF F TTT F TFT F FTF T TFT F TFF T TTF F FTT T TFTF Damit bleibt nur das Zeichen ‘ ‘, das vielleicht am einfachsten mit ‘|’ zu definieren ist, als eindeutig , oder , ungefähr „nicht sowohl als auch“, hat von sich aus den entgegengesetzten Wahrheitswert:

| |

TF T

F F

T TF Wenn wir also beim Studium der Aussagenlogik eine Sprache wünschen, die einen möglichst kleinen Wortschatz hat, könnten wir vorschlagen, eine Sprache zu verwenden, die das Zeichen ‘|’ verwendet

als seinen einzigen primitiven Operator und definiert alle anderen wahrheitsfunktionalen Operatoren kraft dessen

Nennen wir eine solche Sprache PL“

PL“ unterscheidet sich von PL und PL’ nur dadurch, dass seine Definition einer wohlgeformten Formel noch weiter vereinfacht werden kann:

Definition: Eine wohlgeformte Formel (oder wff) von PL“ ist rekursiv wie folgt definiert:

Jeder Erklärungsbrief ist eine wohlgeformte Formel

Wenn und wohlgeformte Formeln sind, dann auch

Nichts, was nicht durch aufeinanderfolgende Schritte von (1)-(2) konstruiert werden kann, ist eine wohlgeformte Formel

In der Sprache „PL“ ist streng genommen „|“ der einzige Operator

Aus Gründen, die aus dem Obigen ersichtlich sein sollten, könnte jedoch jeder Ausdruck aus der Sprache PL, der einen der Operatoren ‘ ‘, ‘ ‘, ‘ ‘, ‘→’ oder ‘↔’ enthält, ohne Verlust in die Sprache PL übersetzt werden einer seiner wichtigen logischen Eigenschaften

Tatsächlich könnten Aussagen, die diese Zeichen verwenden, als Abkürzungen oder Kurzausdrücke für wffs von PL angesehen werden, die nur den Operator „|“ verwenden

Auch hier ist die Wahl von „|“ als einzigem Grundelement in gewissem Maße willkürlich

Es wäre auch möglich, alle wahrheitsfunktionalen Operatoren auf ein einziges Primitiv zu reduzieren, indem ein Zeichen ‘ ‘ verwendet wird, das ungefähr dem englischen Ausdruck “weder. .

noch. ..” entspricht, so dass das entsprechende Diagramm wäre gezeichnet wie folgt:

T F F T F T F F F F T Wenn wir „ “ als unseren einzigen Operator verwenden würden, könnten wir alle anderen wieder definieren

wäre definiert als ; wäre definiert als ; wäre definiert als ; und ähnlich für die anderen Operatoren

See also  Top daten übertragen s6 auf s7 New

Das Zeichen ‘ ‘ wird manchmal auch als Sheffer-Strich bezeichnet und wird auch als Peirce/Sheffer-Dolch bezeichnet

und manchmal ist es sinnvoll, eine relativ spärliche Sprache wie PL’ oder PL” mit weniger primitiven Operatoren zu verwenden

Der Vorteil des ersteren Ansatzes besteht darin, dass er besser mit unseren gewöhnlichen Argumentations- und Denkgewohnheiten übereinstimmt; Letzteres hat den Vorteil, dass es die logische Sprache vereinfacht, wodurch gewisse interessante Ergebnisse bezüglich deduktiver Sprachgebrauchssysteme leichter bewiesen werden können

Für den Rest dieses Artikels werden wir uns hauptsächlich mit den logischen Eigenschaften von Aussagen befassen in der reicheren Sprache PL gebildet

Wir werden jedoch in Abschnitt VI ein System betrachten, das die Sprache PL’ verwendet, und werden auch kurz ein System erwähnen, das die Sprache PL verwendet.“ 4

Tautologien, logische Äquivalenz und Gültigkeit

Wahrheitsfunktionale Aussagenlogik befasst sich nur mit solchen Arten der Zusammenfassung von Aussagen zu komplizierteren Aussagen, bei denen die Wahrheitswerte der komplizierten Aussagen vollständig von den Wahrheitswerten der Teile abhängen die in der Aussagenlogik untersucht werden, leiten sich aus der Art und Weise ab, wie ihre Wahrheitswerte aus denen ihrer Teile abgeleitet werden.Diese Eigenschaften sind daher immer in der Wahrheitstabelle für eine gegebene Aussage vertreten.

Einige komplexe Aussagen haben die interessante Eigenschaft, dass sie unabhängig von den Wahrheitswerten der einfachen Aussagen, aus denen sie bestehen, wahr wären

Ein einfaches Beispiel wäre das wff ” “; das heißt „oder nicht“

Es ist ziemlich einfach zu sehen, dass diese Aussage wahr ist, unabhängig davon, ob „ “ wahr oder „ “ falsch ist

Dies zeigt auch seine Wahrheitstabelle:

| T F T F T F T F T F Es gibt aber Aussagen, für die das zwar gilt, aber nicht so offensichtlich ist

Betrachten Sie das wff, „ “

Dieses wff stellt sich auch als wahr heraus, unabhängig von den Wahrheitswerten von ‘‘, ‘‘ und ‘‘.

| → → → T

T

T

T

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F T

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F

Aussagen habe diese interessante Eigenschaft haben, sind Tautologien genannt

Definieren wir diesen Begriff genau

Definition: Eine wff ist genau dann eine Tautologie, wenn sie für alle möglichen Wahrheitswertzuordnungen zu den Aussagebuchstaben, aus denen sie besteht, wahr ist

Tautologien werden manchmal auch logische Wahrheiten oder Wahrheiten der Logik genannt, weil Tautologien können allein aufgrund der Prinzipien der Aussagenlogik und ohne Rückgriff auf zusätzliche Informationen als wahr erkannt werden

Auf der anderen Seite des Spektrums von Tautologien stehen Aussagen, die sich unabhängig von den Wahrheitswerten als falsch herausstellen die einfachen Aussagen, aus denen sie bestehen

Ein einfaches Beispiel für eine solche Anweisung wäre das wff ” “; Natürlich kann eine solche Aussage nicht wahr sein, da sie sich selbst widerspricht

Dies wird durch seine Wahrheitstabelle offenbart:

| T F T F F F F T T F Um es genau zu sagen:

Definition: Ein wff ist genau dann ein Selbstwiderspruch, wenn er für alle möglichen Wahrheitswertzuordnungen zu den Aussagebuchstaben, aus denen er besteht, falsch ist

Ein weiteres, interessanteres Beispiel für einen Selbstwiderspruch ist die Aussage „ “; dies ist nicht so offensichtlich selbstwidersprüchlich

Wir können jedoch sehen, dass dies der Fall ist, wenn wir die Wahrheitstabelle betrachten:

| → → T T F F T F T F F T F F T T F F T F T T T F T F F F F F F F T F T F T F T T F T T T F F Eine Aussage, die weder in sich widersprüchlich noch tautologisch ist, wird als kontingente Aussage bezeichnet

Eine kontingente Aussage ist wahr für einige Wahrheitswertzuordnungen zu ihren Aussagebuchstaben und falsch für andere

Die Wahrheitstabelle einer Kontingentaussage zeigt, welche Wahrheitswertzuweisungen sie als wahr und welche als falsch erscheinen lassen

Betrachten Sie die Wahrheitstabelle für die Aussage „ “:

| → → T TF F TFT F TTF F TFT T TFT F FFT T TTF F FTT T FTF T TFTF Wir können sehen, dass von den vier möglichen Wahrheitswertzuordnungen für diese Aussage zwei sie als wahr und zwei sie wahr werden lassen als falsch heraus

Insbesondere ist die Aussage wahr, wenn ” falsch ist und ” wahr ist, und wenn ” falsch ist und ” falsch ist, und die Aussage ist falsch, wenn ” wahr ist und ” wahr ist und wenn ” wahr ist und ‘ ‘ ist falsch

Wahrheitstabellen sind auch nützlich, um logische Beziehungen zu untersuchen, die zwischen zwei oder mehr Aussagen bestehen

Beispielsweise werden zwei Aussagen als konsistent bezeichnet, wenn beide wahr sein können, und als inkonsistent, wenn nicht beide wahr sein können

In der Aussagenlogik können wir dies wie folgt präzisieren

Definition: Zwei wffs sind genau dann konsistent, wenn es mindestens eine mögliche Wahrheitswertzuordnung zu den sie bildenden Aussagebuchstaben gibt, die beide wffs wahr macht

Definition: zwei wffs sind genau dann inkonsistent, wenn es keine Wahrheitswertzuordnung zu den sie bildenden Aussagebuchstaben gibt, die sie beide wahr macht

Ob zwei Aussagen konsistent sind oder nicht, kann mit Hilfe einer kombinierten Wahrheitstabelle für die beiden Aussagen bestimmt werden

Beispielsweise sind die beiden Anweisungen „ “ und „ “ konsistent:

| ↔ T TF F TFT F TTF F TTT F TFT F TFF T TTF F FTT F FTF T TFTF Hier sehen wir, dass es eine Wahrheitswertzuordnung gibt, nämlich die, bei der sowohl ‘ ‘ als auch ‘ ‘ wahr sind, die beide ” ” und ” ” wahr

Allerdings sind die Aussagen ” ” und ” ” inkonsistent, da es keine Wahrheitswertzuordnung gibt, bei der beide als wahr herauskommen.

| → TTFFTFTFTTFFTFTTTFTFT FFFTTFFFTFFTFTFTFTTFF TTTTTFF

Eine andere Beziehung, die zwischen zwei Aussagen bestehen kann, ist die, denselben Wahrheitswert zu haben, unabhängig von den Wahrheitswerten der einfachen Aussagen, aus denen sie bestehen

Betrachten Sie eine kombinierte Wahrheitstabelle für die wffs „ “ und „ “:

| → T TF F TFT F FFT T TTF F TTF T FTF T TFT F TTF T TFT F FFT F FFT T TTFF Hier sehen wir, dass diese beiden Aussagen notwendigerweise den gleichen Wahrheitswert haben

Definition: Zwei Aussagen sollen logisch sein äquivalent genau dann, wenn alle möglichen Wahrheitswertzuordnungen zu den sie bildenden Aussagebuchstaben zu denselben resultierenden Wahrheitswerten für die gesamten Aussagen führen

Die obigen Aussagen sind logisch äquivalent

Die oben angegebene Wahrheitstafel für die Aussagen „ “ und „ “ zeigt aber, dass sie andererseits nicht logisch äquivalent sind, weil sie sich für drei der vier möglichen Wahrheitswertzuordnungen im Wahrheitswert unterscheiden

und vielleicht am wichtigsten, Wahrheitstabellen können verwendet werden, um zu bestimmen, ob ein Argument logisch gültig ist oder nicht

Im Allgemeinen wird ein Argument als logisch gültig bezeichnet, wenn es eine Form hat, die es unmöglich macht, dass die Schlussfolgerung falsch ist, wenn die Prämissen wahr sind

(Siehe Lexikonartikel „Gültigkeit und Korrektheit“.) In der klassischen Aussagenlogik können wir dies genauer charakterisieren

Definition: Ein wff ist genau dann eine logische Konsequenz aus einer Menge von wffs Es gibt keine Wahrheitswertzuweisung zu den Aussagebuchstaben, aus denen diese wffs bestehen, die alles wahr macht, aber nicht wahr macht

Ein Argument ist genau dann logisch gültig, wenn seine Schlussfolgerung eine logische Konsequenz seiner Prämissen ist

Wenn ein Argument, dessen Konklusion und dessen einzige Prämisse logisch gültig ist, impliziert es logisch.

Betrachten Sie zum Beispiel das folgende Argument:

Wir können die Gültigkeit dieses Arguments testen, indem wir eine kombinierte Wahrheitstabelle für alle drei Aussagen erstellen.

| → → T TF F TFT F TTF F TFT T TFT F FTF T TFT F TTT F TTF F TFTF Hier sehen wir, dass beide Prämissen in dem Fall wahr sind, in dem sowohl ” als auch ” wahr sind und in dem ‘ ‘ ist falsch, aber ‘ ‘ ist wahr

In diesen Fällen ist die Schlussfolgerung jedoch auch wahr

Es ist möglich, dass die Schlussfolgerung falsch ist, aber nur, wenn eine der Prämissen ebenfalls falsch ist

Daher können wir sehen, dass die durch dieses Argument dargestellte Schlussfolgerung wahrheitsbewahrend ist

Vergleichen Sie dies mit dem folgenden Beispiel:

Betrachten Sie die Wahrheitswertzuweisung, die sowohl „ “ als auch „ “ wahr macht

Wenn wir diese Zeile mit dem Wahrheitswert für diese Aussagen ausfüllen würden, würden wir sehen, dass „ “ als wahr herauskommt, aber „ “ als falsch herauskommt

Auch wenn „ “ und „ “ eigentlich nicht beide wahr sind, ist es möglich, dass sie beide wahr sind, und daher ist diese Form der Argumentation nicht wahrheitsbewahrend

Mit anderen Worten, das Argument ist logisch nicht gültig, und seine Prämisse impliziert nicht logisch seine Schlussfolgerung

Eines der auffälligsten Merkmale von Wahrheitstabellen ist, dass sie ein effektives Verfahren zur Bestimmung der logischen Wahrheit oder Tautologie jedes einzelnen wff bieten , und zum Bestimmen der logischen Gültigkeit eines Arguments, das in der Sprache PL geschrieben ist

Das Verfahren zum Erstellen solcher Tabellen ist rein auswendig, und während die Größe der Tabellen exponentiell mit der Anzahl der in den betrachteten wff(s) enthaltenen Anweisungsbuchstaben wächst, ist die Anzahl der Zeilen immer endlich und daher im Prinzip möglich Beende die Tabelle und bestimme eine eindeutige Antwort

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die klassische Aussagenlogik entscheidbar ist

5

Deduktion: Regeln des Schließens und Ersetzens

A

Natürlicher Abzug

Wie wir gesehen haben, können Wahrheitstabellen theoretisch zur Lösung jeder Frage in der klassischen wahrheitsfunktionalen Aussagenlogik verwendet werden

Diese Methode hat jedoch ihre Nachteile

Die Größe der Tabellen wächst exponentiell mit der Anzahl unterschiedlicher Anweisungsbuchstaben, aus denen die beteiligten Anweisungen bestehen

Darüber hinaus sind Wahrheitstabellen unseren normalen Denkmustern fremd

Es gibt eine andere Methode, um die Gültigkeit eines Arguments festzustellen, die diese Nachteile nicht hat: die Methode der natürlichen Deduktion

Bei der natürlichen Deduktion wird versucht, die Argumentation hinter einem gültigen Argument auf eine Reihe von Schritten zu reduzieren, von denen jeder intuitiv durch die Prämissen des Arguments oder vorherige Schritte in der Reihe gerechtfertigt ist

Betrachten Sie das folgende Argument in natürlicher Sprache:

Am Tatort wurde entweder Katzen- oder Hundefell gefunden

Wurde am Tatort Hundefell gefunden, hatte Officer Thompson einen Allergieanfall

Wurde am Tatort Katzenfell gefunden, ist Macavity für die Tat verantwortlich

Aber Officer Thompson hatte keinen Allergieanfall, und daher muss Macavity für das Verbrechen verantwortlich sein

Entweder wurde am Tatort Katzenfell oder am Tatort Hundefell gefunden

(Prämisse) Wenn am Tatort Hundefelle gefunden wurden, dann hatte Officer Thompson einen Allergieanfall

(Prämisse) Wenn am Tatort Katzenfell gefunden wurde, dann ist Macavity für das Verbrechen verantwortlich

(Prämisse) Officer Thompson hatte keinen Allergieanfall

(Prämisse) Hundefell wurde am Tatort nicht gefunden

(Folgt aus 2 und 4.) Am Tatort wurde Katzenfell gefunden

(Folgt aus 1 und 5.) Macavity ist für das Verbrechen verantwortlich

(Schluss

Folgt aus 3

und 6.)

Oben springen wir nicht direkt von den Prämissen zur Schlussfolgerung, sondern zeigen, wie Zwischenschlussfolgerungen verwendet werden, um die Schlussfolgerung durch eine Schritt-für-Schritt-Kette letztendlich zu rechtfertigen

Jeder Schritt in der Kette repräsentiert eine einfache, offensichtlich gültige Form der Argumentation

In diesem Beispiel wird die in Zeile 5 beispielhaft dargestellte Form der Argumentation modus tolles genannt, bei der die Negation des Antezedens eines Konditional aus dem Konditional und der Negation seines Konsequens abgeleitet wird

Die in Schritt 5 veranschaulichte Form der Argumentation wird als disjunktiver Syllogismus bezeichnet und beinhaltet das Ableiten eines Disjunkts einer Disjunktion auf der Grundlage der Disjunktion und der Negation des anderen Disjunkts

Schließlich wird die Form der Argumentation in Zeile 7 Modus Ponens genannt, bei der die Wahrheit der Konsequenz aus einer bedingt gegebenen Wahrheit sowohl der Bedingung als auch ihres Antezedens abgeleitet wird

„modus ponens“ ist lateinisch für bejahenden Modus und „modus tollens“ ist lateinisch für verneinenden Modus

Schritt Abzüge

Für die klassische wahrheitsfunktionale Aussagenlogik wurden viele äquivalente Ableitungssysteme angegeben

Im Folgenden skizzieren wir ein System, das aus dem populären Lehrbuch von Irving Copi (1953) abgeleitet ist

Das System verwendet die Sprache PL

B

Schlußregeln

Hier geben wir eine Liste intuitiv gültiger Schlußregeln

Die Regeln sind in schematischer Form angegeben

Jede Folgerung, bei der ein wff der Sprache PL die schematischen Buchstaben in den folgenden Formen unformell ersetzt, stellt eine Instanz der Regel dar

Modus ponens (MP):

(Modus ponens wird manchmal auch „modus ponendo ponens“, „Ablösung“ oder eine Form von „→-Eliminierung“ genannt)

Tolles Modus (MT):

(Modus tollens wird manchmal auch „modusdo tollens“ oder eine Form von „→-elimination“ genannt)

Disjunktiver Syllogismus (DS): (zwei Formen)

(Der disjunktive Syllogismus wird manchmal auch „modusdo ponens“ oder „-elimination“ genannt)

Addition (Add): (zwei Formen)

(Addition wird manchmal auch „Disjunktionseinführung“ oder „–Einführung“ genannt.)

Vereinfachung (Simp): (zwei Formen)

(Vereinfachung wird manchmal auch „Konjunktions-Eliminierung“ oder „-Eliminierung“ genannt)

Konjunktion (Konj):

(Konjunktion wird manchmal auch als „Konjunktionseinführung“, „-Einführung“ oder „logische Multiplikation“ bezeichnet)

Hypothetischer Syllogismus (HS):

(Hypothetischer Syllogismus wird manchmal auch als „Kettenschlussfolgerung“ oder „Kettenschlussfolgerung“ bezeichnet)

Konstruktives Dilemma (CD):

Absorption (Abs):

C

Ersatzregeln

Die oben aufgeführten neun Schlußregeln stellen Möglichkeiten dar, aus früheren Schritten einer Deduktion auf etwas Neues zu schließen

Viele Systeme des natürlichen Abzugs, einschließlich der ursprünglich von Gentzen entworfenen, bestehen ausschließlich aus Regeln, die den oben genannten ähneln

Wenn die Sprache eines Systems per Definition eingeführte Zeichen beinhaltet, muss sie auch die Substitution eines definierten Zeichens für den zu seiner Definition verwendeten Ausdruck oder umgekehrt zulassen

Wiederum andere Systeme, die keine definierten Zeichen verwenden, gestatten es einem, in bestimmten Fällen, in denen die fraglichen Ausdrücke logisch äquivalent sind, bestimmte Ersetzungen von Ausdrücken einer Form durch Ausdrücke einer anderen Form vorzunehmen

Diese werden Ersetzungsregeln genannt, und Copis natürliches Abzugssystem ruft solche Regeln auf

Genau genommen unterscheiden sich Ersetzungsregeln von Inferenzregeln, weil man bei der Anwendung einer Ersetzungsregel in gewisser Weise nicht auf etwas Neues schlussfolgert, sondern lediglich mit einer anderen Kombination von Symbolen feststellt, was auf dasselbe hinausläuft

In einigen Systemen können Ersetzungsregeln aus den Inferenzregeln abgeleitet werden, aber in Copis System werden sie als primitiv angesehen

Ersetzungsregeln unterscheiden sich auch auf andere Weise von Inferenzregeln

Inferenzregeln gelten nur, wenn die Hauptoperatoren mit den angegebenen Mustern übereinstimmen, und gelten nur für ganze Anweisungen

Inferenzregeln sind auch streng unidirektional: Man muss auf das schließen, was sich unter der horizontalen Linie befindet, und nicht umgekehrt

Ersetzungsregeln können jedoch auf Teile von Anweisungen und nicht nur auf ganze Anweisungen angewendet werden; Darüber hinaus können sie in beide Richtungen implementiert werden

Die von Copi verwendeten Ersetzungsregeln sind die folgenden:

Doppelte Negation (DN):

ist austauschbar mit

(Doppelte Verneinung wird auch „ -Eliminierung“ genannt)

Kommutativität (Com): (zwei Formen)

ist austauschbar mit

ist austauschbar mit

Assoziativität (Assoc): (zwei Formen)

ist austauschbar mit

ist austauschbar mit

Tautologie (Taut): (zwei Formen)

ist austauschbar mit

ist austauschbar mit

Gesetze von DeMorgan (DM): (zwei Formen)

ist austauschbar mit

ist austauschbar mit

Transponieren (Trans):

ist austauschbar mit

(Die Transposition wird manchmal auch als „Kontraposition“ bezeichnet)

Materielle Implikation (Impl):

ist austauschbar mit

Ausfuhr (Exp):

ist austauschbar mit

Verteilung (Dist): (zwei Formen)

ist austauschbar mit

ist austauschbar mit

Materialäquivalenz (Equiv): (zwei Formen)

ist austauschbar mit

ist austauschbar mit

(Materielle Äquivalenz wird manchmal auch als „bibedingte Einführung/Eliminierung“ oder „↔-Einführung/Eliminierung“ bezeichnet)

d.h

Direktabzüge

Eine direkte Ableitung einer Schlussfolgerung aus einer Menge von Prämissen besteht aus einer geordneten Folge von wffs, so dass jedes Mitglied der Folge entweder (1) eine Prämisse ist, (2) von früheren Mitgliedern der Folge durch eine der Inferenzregeln abgeleitet wird, (3) abgeleitet von einem vorherigen Glied der Sequenz durch Ersetzen eines logisch äquivalenten Teils gemäß den Ersetzungsregeln, und derart, dass die Schlussfolgerung der letzte Schritt der Sequenz ist.

Um noch genauer zu sein, eine direkte Deduktion ist definiert als eine geordnete Folge von wffs, , so dass für jeden Schritt, in dem i zwischen 1 und n liegt, entweder (1) eine Prämisse ist oder (2) der unten angegebenen Form entspricht horizontale Linie für eine der 9 Inferenzregeln, und es gibt wffs in der Sequenz vor dem Abgleichen der Formen, die über der horizontalen Linie angegeben sind, (3) es gibt einen vorherigen Schritt in der Sequenz, wo und sich höchstens durch Abgleichen oder Enthalten von a unterscheidet Teil, der mit einer der Formen übereinstimmt, die für eine der 10 Ersatzregeln an derselben Stelle angegeben sind, in der das wff der entsprechenden Form enthalten ist, und so, dass die Schlussfolgerung des Arguments.

ist

Verwenden von Zeilennummern und den Abkürzungen für die Regeln von Das System zum Annotieren, die oben in Englisch angegebene Argumentationskette, würde, wenn sie in die Sprache PL transkribiert und als direkte Deduktion organisiert wird, wie folgt aussehen:

1

Prämisse 2

Prämisse 3

Prämisse 4

Prämisse 5

2.4 MT 6

1.5 DS 7

2.6 MP Es gibt keine eindeutige Ableitung für eine gegebene Schlussfolgerung aus einer gegebenen Menge von Prämissen

Hier ist eine eindeutige Ableitung für dieselbe Schlussfolgerung aus denselben Prämissen:

1

Prämisse 2

Prämisse 3

Prämisse 4

Prämisse 5

2.3 Konj 6

1.5 CD 7

4.6 DS

Betrachten Sie als nächstes das Argument:

Dieses Argument hat sechs verschiedene Anweisungsbuchstaben, und daher würde das Erstellen einer Wahrheitstabelle dafür 64 Zeilen erfordern

Die Tabelle hätte 22 Spalten, wodurch 1.408 unterschiedliche T/F-Berechnungen erforderlich wären

Glücklicherweise ist die Ableitung der Konklusion der Prämissen unter Verwendung unserer Inferenz- und Ersetzungsregeln zwar alles andere als einfach, aber relativ weniger anstrengend: Erste Prämisse Zweite Prämisse Dritte Prämisse 15

14 Einfach 16

15 Straff 17

16 Addieren 18

17 Impl

e

Bedingte und indirekte Beweise

Zusammen reichen die neun Schlußregeln und die zehn Ersetzungsregeln aus, um eine Deduktion für jedes logisch gültige Argument zu erstellen, vorausgesetzt, das Argument hat mindestens eine Prämisse

Um jedoch den Grenzfall von Argumenten ohne Prämissen abzudecken und einfach um bestimmte Ableitungen zu erleichtern, die ansonsten schwer zu erklären wären, ist es auch üblich, bestimmte Ableitungsmethoden außer der direkten Ableitung zuzulassen

Insbesondere ist es üblich, die als bedingter Beweis und indirekter Beweis bekannten Beweistechniken zuzulassen

Ein bedingter Beweis ist eine Ableitungstechnik, die verwendet wird, um ein bedingtes wff zu erstellen, dh ein wff, dessen Hauptoperator das Zeichen ‘→’ ist

Dies geschieht durch die Konstruktion einer Unterableitung innerhalb einer Ableitung, in der der Vordersatz der Bedingung als Hypothese angenommen wird

Wenn es möglich ist, unter Verwendung der Schluss- und Ersetzungsregeln (und möglicherweise zusätzlicher Unterableitungen) zur Konsequenz zu gelangen, ist es zulässig, die Unterableitung zu beenden und auf die Wahrheit der Bedingungsaussage innerhalb der Hauptableitung zu schließen , wobei die Unterableitung als bedingter Beweis oder kurz “CP” angeführt wird

Dies wird viel klarer, wenn man das folgende Beispielargument betrachtet:

Während eine direkte Ableitung möglich ist, die die Gültigkeit dieses Arguments belegt, ist es einfacher, die Gültigkeit dieses Arguments mit einer bedingten Ableitung zu belegen

1

Prämisse 2

Prämisse 3

Prämisse 4

Annahme 5

1.4 MP 6

2. 4 MP 7

3 Äquiv

8

7 Einfach 9

6.8 MT 10

5.9 DS 11

4-10 KP

Um hier die bedingte Anweisung „ “ zu erstellen, haben wir eine Unterableitung konstruiert, die der Teil ist, der in den Zeilen 4-10 zu finden ist

Zuerst nahmen wir die Wahrheit von „ “ an und stellten fest, dass wir damit „ “ ableiten konnten

Angesichts der Prämissen hatten wir daher gezeigt, dass, wenn „ “ auch wahr wäre, „ “ auch wahr wäre

Daher waren wir aufgrund der Unterableitung berechtigt, auf „ “ zu schließen

Dies ist die übliche Methode, die in Logik und Mathematik verwendet wird, um die Wahrheit einer bedingten Aussage festzustellen.

Eine weitere gängige Methode ist die des indirekten Beweises, auch bekannt als Beweis durch reductio ad absurdum

(Für eine ausführlichere Diskussion siehe den Artikel über reductio ad absurdum in der Enzyklopädie.) Bei einem indirekten Beweis (kurz „IP“) ist es unser Ziel zu zeigen, dass ein bestimmtes wff auf der Grundlage der Prämissen falsch ist

Auch hier verwenden wir eine Unterableitung; Hier nehmen wir zunächst das Gegenteil von dem an, was wir zu beweisen versuchen, das heißt, wir gehen davon aus, dass das wff wahr ist

Wenn wir aufgrund dieser Annahme einen offensichtlichen Widerspruch nachweisen können, also eine Aussage der Form , können wir schlussfolgern, dass die angenommene Aussage falsch sein muss, weil alles, was zu einem Widerspruch führt, falsch sein muss

Zum Beispiel, Betrachten Sie das folgende Argument:

Während wiederum eine direkte Ableitung der Schlussfolgerung für dieses Argument aus den Prämissen möglich ist, ist es etwas einfacher zu beweisen, dass „ “ wahr ist, indem man zeigt, dass es angesichts der Prämissen unmöglich wäre, dass „ “ durch Annahme wahr ist dass es so ist und dies als absurd zu zeigen

Hier haben wir versucht zu zeigen, dass „ “ angesichts der Prämissen wahr ist

Um dies zu tun, nahmen wir stattdessen an, dass „ “ wahr ist

Da diese Annahme unmöglich war, waren wir zu der Schlussfolgerung berechtigt, dass „ “ falsch ist, das heißt, dass „ “ wahr ist up kann später nicht in der Hauptableitung oder eventuell später zu konstruierenden weiteren Unterableitungen verwendet werden

Damit ist unsere Charakterisierung eines Systems natürlicher Deduktion für die Sprache PL abgeschlossen

Das gerade beschriebene System natürlicher Deduktion ist formal adäquat im folgenden Sinne

Weiter oben haben wir ein gültiges Argument als eines definiert, bei dem es keine mögliche Wahrheitswertzuweisung zu den Aussagebuchstaben gibt, aus denen seine Prämissen und seine Schlussfolgerung bestehen, die alle Prämissen wahr, aber die Schlussfolgerung unwahr machen

Es ist beweisbar, dass ein Argument in der Sprache von PL in diesem Sinne formal gültig ist, wenn und nur wenn es möglich ist, eine Ableitung der Schlussfolgerung dieses Arguments aus den Prämissen unter Verwendung der obigen Schlußregeln, Ersetzungsregeln und Techniken von zu konstruieren Bedingter und indirekter Beweis

Platzbeschränkungen schließen einen vollständigen Beweis dafür in der Metasprache aus, obwohl die Argumentation der für den axiomatischen Aussagenkalkül, der in den Abschnitten VI und VII unten diskutiert wird, sehr ähnlich ist

Informell ist es ziemlich einfach zu sehen, dass kein Argument dafür eine Deduktion ist in diesem System möglich ist, könnte laut Wahrheitstabellen ungültig sein

Erstens sind die Schlußregeln alle wahrheitserhaltend

Zum Beispiel ist es im Fall von Modus Ponens ziemlich einfach, aus der Wahrheitstabelle für jede Menge von Aussagen der entsprechenden Form zu ersehen, dass keine Wahrheitswertzuweisung beides und wahr machen könnte, während sie falsch macht

Eine ähnliche Überlegung gilt für die anderen

Darüber hinaus können Wahrheitstabellen leicht verwendet werden, um zu überprüfen, ob Aussagen einer der in den Ersetzungsregeln erwähnten Formen alle logisch äquivalent zu denen sind, die die Regel erlaubt, gegen sie auszutauschen

Die Aussagen könnten sich also bei keiner Wahrheitswertzuordnung im Wahrheitswert unterscheiden

Beachten Sie im Falle eines bedingten Beweises, dass jede Wahrheitswertzuweisung entweder die Bedingung wahr machen muss, oder sie muss den Antezedens wahr und folglich falsch machen

Der Vordersatz ist das, was in einem bedingten Beweis angenommen wird

Wenn also die Wahrheitswertzuweisung sowohl ihn als auch die Prämissen des Arguments wahr macht, wäre es unmöglich, die Konsequenz abzuleiten, es sei denn, sie wäre ebenfalls wahr, weil die anderen Regeln alle wahrheitserhaltend sind

Eine ähnliche Überlegung rechtfertigt die Verwendung eines indirekten Beweises.

Dieses System stellt eine nützliche Methode dar, um die Gültigkeit eines Arguments festzustellen, hat den Vorteil, dass es näher mit der Art und Weise zusammenfällt, wie wir normalerweise argumentieren

(Wie bereits erwähnt, gibt es jedoch viele äquivalente Systeme natürlicher Schlussfolgerungen, die alle relativ eng mit gewöhnlichen Denkmustern übereinstimmen.) Ein Nachteil dieser Methode besteht jedoch darin, dass sie im Gegensatz zu Wahrheitstabellen kein Mittel zum Erkennen bietet Ein Argument ist ungültig

Wenn ein Argument ungültig ist, gibt es dafür keinen Abzug im System

JEDOCH stellt das System selbst kein Mittel zur Verfügung, um zu erkennen, wann eine Deduktion unmöglich ist

Ein weiterer Einwand gegen das oben skizzierte Deduktionssystem könnte sein, dass es mehr Regeln und mehr Techniken enthält, als es benötigt

Dies führt uns direkt zu unserem nächsten Thema

6

Axiomatisches System und Aussagenkalkül

Das im vorigen Abschnitt besprochene System der Deduktion ist ein Beispiel für ein natürliches Deduktionssystem, did is, ein Deduktionssystem für eine formale Sprache, die versucht, so gut wie möglich mit den Formen des Denkens übereinzustimmen, die die meisten Menschen tatsächlich verwenden

Natürliche Ableitungssysteme werden typischerweise axiomatischen Systemen gegenübergestellt

Axiomatische Systeme sind minimalistische Systeme; Anstatt Regeln aufzunehmen, die natürlichen Denkweisen entsprechen, verwenden sie so wenige Grundprinzipien oder Regeln wie möglich

Da so wenige Arten von Schritten in einer Deduktion zur Verfügung stehen, erfordert das Axiomatische System relativ gesehen normalerweise mehr Schritte für die Deduktion einer Schlussfolgerung aus einer gegebenen Menge von Prämissen als im Vergleich zu einem natürlichen Deduktionssystem.

Typischerweise besteht das Axiomatische System darin Spezifikation bestimmter wffs wurden als “Axiome” spezifiziert

Ein Axiom ist etwas, das als grundlegende Wahrheit des Systems angesehen wird, das nicht selbst bewiesen werden muss

Um die Ableitung von Ergebnissen aus den Axiomen oder den Prämissen eines Arguments zu ermöglichen, enthält das System mindestens eine so typische (und oft nur eine) Schlussregel

Normalerweise, oder zumindest wird versucht, die Anzahl der Axiome auf so wenige wie möglich zu beschränken, die Anzahl der Formen zu begrenzen, die das Axiom annehmen kann

Für die klassische wahrheitsfunktionale Aussagenlogik könnte dies die Verwendung einer einfachen Sprache beinhalten: wie PL ‘ oder PL “anstelle der vollständigen Sprache PL.

Für den größten Teil des Restes dieses Abschnitts werden wir ein axiomatisches System für die klassische Wahrheit skizzieren – funktionale Aussagenlogik, die wir den Aussagenkalkül (oder kurz PC) nennen werden

Der Aussagenkalkül verwendet die oben beschriebene Sprache PL ‘

Das heißt, die einzigen Konnektoren, die er verwendet, sind ‘→’ und ” und das andere Operatoren, falls überhaupt verwendet, würden als Abkürzungen unter Verwendung der Definitionsdiskussion in Abschnitt III (c) verstanden werden

System PC besteht aus drei Axiomenschemata, die zu einem wff passen, wenn es ein Axiom ist, zusammen mit einem einzigen Schlußregel: modus ponens Wir präzisieren dies, indem wir bestimmte Definitionen spezifizieren 1, oder AS1) (Axiom Schema 2, oder AS2) (Ax iom Schema 3 oder AS3)

Beachten Sie gemäß dieser Definition, dass jedes wff der Form ein Axiom ist

Dies umfasst unendlich viele verschiedene wffs, von einfachen Fällen: wie “”, bis hin zu viel komplizierteren Fällen: wie “”

in der Deduktion ist entweder (1) eine Prämisse des Arguments, (2) ein Axiom oder (3) aus vorherigen Schritten durch Modus Ponens abgeleitet

Noch einmal können wir dies mit der folgenden (unverständlicheren) Definition präzisieren:

Definition: Eine geordnete Folge von wffs ist eine Ableitung im System PC der wff von den Prämissen genau dann, wenn für jede wff in der Folge entweder (1) eine der Prämissen ist, (2) ein Axiom von PC ist, oder (3) folgt aus früheren Mitgliedern der Reihe durch die Inferenzregel modus ponens (d

h., es gibt frühere Mitglieder der Sequenz, und , die die Form annehmen)

Betrachten Sie zum Beispiel das folgende Argument, das in der Sprache geschrieben ist PL’:

Das Folgende stellt eine Ableitung im System PC der Schlussfolgerung aus den Prämissen dar:

1

Prämisse 2

Prämisse 3

Instanz von AS1 4

1,3 Mp 5

2,4 Mp 6

Instanz von AS2 7

5,6 Mp 8

4,7 Mp

Historisch gesehen wurden die ursprünglichen axiomatischen Systeme für die Logik so konzipiert, dass sie anderen axiomatischen Systemen in der Mathematik ähneln, wie z

B

Euklids Axiomatisierung der Geometrie

Das Ziel der Entwicklung eines axiomatischen Systems für die Logik bestand darin, ein System zu schaffen, in dem Wahrheiten der Logik abgeleitet werden können, indem nur die Axiome des Systems und die Inferenzregel(n) verwendet werden

Diejenigen Wffs, die sich allein aus den Axiomen und der Folgerungsregel ableiten lassen, also ohne Verwendung zusätzlicher Prämissen, heißen Theoreme oder Thesen des Systems

Um es genauer zu machen:

Definition: Ein wff wird genau dann als Satz von PC bezeichnet, wenn es eine geordnete Folge von wffs gibt, insbesondere eine Ableitung, so dass ist und jedes wff in der Folge so ist, dass entweder (1) ein Axiom ist von PC, oder (2) folgt aus früheren Mitgliedern der Serie durch modus ponens.

Ein sehr einfaches Theorem des Systems PC ist das wff „ “

Wir können zeigen, dass es sich um ein Theorem handelt, indem wir eine Ableitung von „ “ konstruieren, die nur Axiome und MP und keine zusätzlichen Prämissen verwendet

1

Instanz von AS1 2

Instanz von AS1 3

Instanz von AS2 4

2.3 MP 5

1,4MP

Es ist ziemlich leicht zu sehen, dass „ “ nicht nur ein Satz von PC ist, sondern auch jedes wff der Form

Was auch immer es sein mag, es wird eine Ableitung in PC der gleichen Form geben:

1

Instanz von AS1 2

Instanz von AS1 3

Instanz von AS2 4

2,3 MP 5

1,4 MP

Also selbst wenn wir oben das kompliziertere wff machen, zum Beispiel „ “, zeigt eine Ableitung mit der gleichen Form, dass „ “ auch ein Satz von PC ist

Daher nennen wir ein Theoremschema von PC, weil alle seine Instanzen Theoreme von PC sind

Nennen wir es ab jetzt „Theorem-Schema 1“, oder kurz „TS1“

Die folgenden sind ebenfalls Theorem-Schemata von PC:

(Theorem Schema 2, oder TS2) (TS3) (TS4) (TS5)

Vielleicht möchten Sie dies selbst überprüfen, indem Sie versuchen, die entsprechenden Beweise für jeden zu konstruieren

Seien Sie gewarnt, dass einige ziemlich langwierige Ableitungen erfordern!

Üblich ist die Schreibweise:

zu bedeuten, dass β ein Theorem ist

Ebenso ist es üblich, die Notation: zu verwenden

zu bedeuten, dass es möglich ist, eine Ableitung des Gebrauchs von als Prämissen zu konstruieren

Das axiomatische System PC ist, gemessen an der Anzahl der verwendeten Regeln, weitaus weniger komplex als das im vorigen Abschnitt skizzierte System der natürlichen Deduktion

Das natürliche Deduktionssystem verwendete neun Inferenzregeln, zehn Ersetzungsregeln und zwei zusätzliche Beweistechniken

Das axiomatische System verwendet stattdessen drei Axiomenschemata und eine einzige Inferenzregel und keine zusätzlichen Beweistechniken

Dem axiomatischen System mangelt es jedoch keineswegs

Tatsächlich ist es für jedes Argument, das die Sprache PL’ verwendet, die gemäß Wahrheitstabellen logisch gültig ist, möglich, eine Ableitung im System PC für dieses Argument zu konstruieren

Außerdem ist jedes wff der Sprache PL’, das eine logische Wahrheit ist, also eine Tautologie nach Wahrheitstabellen, ein Theorem von PC

Das Gegenteil dieser Ergebnisse ist ebenfalls wahr; Jeder Satz von PC ist eine Tautologie, und jedes Argument, für das eine Ableitung im System PC existiert, ist gemäß Wahrheitstafeln logisch gültig

Diese und andere Merkmale des Aussagenkalküls werden diskutiert und einige werden sogar im nächsten Abschnitt bewiesen.

Während der Aussagenkalkül in einer Hinsicht einfacher ist als das im vorigen Abschnitt skizzierte natürliche Deduktionssystem, ist seine Anwendung in vielerlei Hinsicht komplizierter

Für jedes gegebene Argument ist eine Deduktion der Schlussfolgerung aus den Prämissen, die in PC durchgeführt wird, wahrscheinlich viel länger und psychologisch weniger natürlich als eine, die in einem natürlichen Deduktionssystem durchgeführt wird

Solche Ableitungen sind nur in dem Sinne einfacher, als weniger eindeutige Regeln verwendet werden

Das System PC ist nur eine von vielen Möglichkeiten, die Aussagenlogik zu axiomatisieren

Einige Systeme unterscheiden sich nur geringfügig von PCs

Zum Beispiel könnten wir unsere Definition von „Axiom“ so ändern, dass ein wff genau dann ein Axiom ist, wenn es eine Instanz von (A1), eine Instanz von (A2) oder eine Instanz von Folgendem ist:

(A3′)

Das Ersetzen des Axiomschemas (A3) durch (A3′), während es die Art und Weise ändert, wie bestimmte Ableitungen konstruiert werden müssen (wodurch die Beweise vieler wichtiger Ergebnisse länger werden), hat ansonsten wenig Wirkung; das resultierende System hätte dieselben Theoreme, und jedes Argument, für das im obigen System eine Deduktion möglich ist, hätte auch eine Deduktion im revidierten System und umgekehrt

Wir haben oben auch angemerkt, dass es streng genommen ein Unendliches gibt Anzahl der Axiome des Systems PC

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Anstatt eine unendliche Anzahl von Axiomen zu verwenden, hätten wir alternativ auch nur drei Axiome verwenden können, nämlich die spezifischen wffs:

(A1*)

(A2*)

(A3*)

Beachten Sie, dass (A1*) nur ein einzigartiges wff ist; Bei diesem Ansatz würde das wff „ “ nicht als Axiom gelten, obwohl es eine gemeinsame Form mit (A1*) hat

Zu einem solchen System wäre es notwendig, eine zusätzliche Inferenzregel, eine Substitutionsregel oder eine einheitliche Ersetzungsregel hinzuzufügen

Dies würde es einem ermöglichen, aus einem Theorem des Systems das Ergebnis des einheitlichen Ersetzens eines beliebigen gegebenen Anweisungsbuchstabens (z

B

‘ ‘ oder ‘ ‘), der innerhalb des Theorems vorkommt, durch ein beliebiges wff, einfach oder komplex, abzuleiten, vorausgesetzt, dass das gleiches wff ersetzt alle Vorkommen des gleichen Aussagebuchstabens im Theorem

Bei diesem Ansatz wäre „ “, obwohl es kein Axiom ist, immer noch ein Theorem, da es zweimal aus der Regel der einheitlichen Ersetzung abgeleitet werden könnte, d

h

indem zuerst „ “ in (A1*) durch „ “ und dann ersetzt wird ‘ ‘ mit ” “

Das resultierende System unterscheidet sich nur geringfügig von unserem früheren System-PC

System PC verwendet streng genommen nur eine Inferenzregel, zählt aber unendlich viele Axiome

Dieses System verwendet nur drei Axiome, verwendet aber eine zusätzliche Regel

System PC vermeidet jedoch diese zusätzliche Inferenzregel, indem es alles, was man durch Substitution in (A1*) erhalten könnte, als Axiom zulässt

Für jeden Satz also, wenn ein wff durch einheitliches Ersetzen von wffs für Aussagebuchstaben in erhalten wird, dann ist auch ein Satz von PC, weil es immer einen Beweis von analog zum Beweis von nur ausgehend von verschiedenen Axiomen geben würde Es ist auch möglich, noch strengere Systeme zu konstruieren

Tatsächlich ist es möglich, nur ein einzelnes Axiomenschema (oder ein einzelnes Axiom plus eine Ersetzungsregel) zu verwenden

Eine von CA Meredith (1953) vorgeschlagene Möglichkeit wäre, ein Axiom als jedes wff zu definieren, das der folgenden Form entspricht:

Das resultierende System ist genauso leistungsfähig wie ein System-PC und hat genau denselben Satz von Theoremen

Es ist jedoch psychologisch weit weniger intuitiv und geradlinig, und Ableitungen selbst für relativ einfache Ergebnisse sind oft sehr lang Das einzige Bindeglied ist der Sheffer-Strich ‘|’, wie oben besprochen

In diesem Fall kann nur das folgende Axiomenschema verwendet werden:

Die Folgerungsregel von MP wird durch die Regel ersetzt, dass man aus wffs der Form und auf wff schließen kann

Dieses System wurde von Jean Nicod (1917) entdeckt

Darüber hinaus wurde eine Reihe möglicher Systeme mit einzelnen Axiomen gefunden, von denen einige in Bezug auf die Komplexität des einzelnen Axioms und in Bezug darauf, wie lange Ableitungen für dieselben Ergebnisse erforderlich sein müssen, besser abschneiden als andere

(Zur Forschung auf diesem Gebiet siehe McCune et al

2002.) Generell gilt jedoch, je mehr das System zulässt, desto kürzer werden die Ableitungen

Neben axiomatischen und natürlichen Ableitungsformen können Ableitungssysteme für die Aussagenlogik auch die Form einer sequentiellen annehmen Berechnung; Anstatt Definitionen von Axiomen und Inferenzregeln anzugeben, werden die Regeln hier direkt in Form von Ableitbarkeits- oder Folgerungsbedingungen angegeben; Eine Regel könnte beispielsweise lauten: if (entweder oder ) then if , then

Folgenkalküle wurden wie moderne natürliche Deduktionssysteme zuerst von Gerhard Gentzen entwickelt

Gentzens Arbeit schlägt auch die Verwendung von baumähnlichen Deduktionssystemen anstelle von linearen schrittweisen Deduktionssystemen vor, und solche Baumsysteme haben sich als nützlicher beim automatisierten Beweisen von Theoremen erwiesen, dh bei der Erstellung von Algorithmen für die mechanische Konstruktion von Abzüge (z

B

durch einen Computer)

Anstatt jedoch die Details dieser und anderer konkurrierender Systeme zu untersuchen, konzentrieren wir uns im nächsten Abschnitt darauf, Dinge über das System PC zu beweisen, das oben ausführlich behandelte axiomatische System

7

Wichtige metatheoretische Ergebnisse für die Aussagenkalküle

Hinweis: Dieser Abschnitt ist relativ technischer und richtet sich an Personen mit Vorkenntnissen in Logik oder Mathematik

Anfänger möchten vielleicht zum nächsten Abschnitt springen

In diesem Abschnitt skizzieren wir informell die Beweise für bestimmte wichtige Merkmale des Aussagenkalküls

Unser erstes Thema betrifft jedoch die Sprache PL’ allgemein.

Metatheoretisches Ergebnis 1: Die Sprache PL’ ist expressiv adäquat, d.h

es gibt im Rahmen der klassischen bivalenten Logik keine Wahrheitsfunktionen, die darin nicht darstellbar wären

Wir haben in Abschnitt III(c) angemerkt, dass die Konnektoren ‘ ‘, ‘↔’ und ‘ ‘ unter Verwendung der Konnektoren von PL’ (‘→’ und ‘ ‘) definiert werden können

Allgemeiner besagt das metatheoretische Ergebnis 1, dass jede Aussage, die unter Verwendung wahrheitsfunktionaler Konnektoren aufgebaut ist, unabhängig davon, was diese Konnektoren sind, eine äquivalente Aussage hat, die nur unter Verwendung von ‘→’ und ‘ ‘ gebildet wird

Hier ist der Beweis.

1

Angenommen, das ist ein wff, das in irgendeiner Sprache gebaut wurde und irgendeinen Satz wahrheitsfunktionaler Konnektoren enthält, einschließlich derer, die nicht in PL, PL’ oder PL zu finden sind

Zum Beispiel könnten einige drei- oder vierstellige wahrheitsfunktionale Konnektive oder Konnektive wie das ausschließliche oder oder das Zeichen „ “ oder irgendwelche anderen, die Sie sich vorstellen können, verwenden

2

Wir müssen zeigen, dass es a gibt wff wird nur mit den Konnektoren ‘→’ und ‘ ‘ gebildet, das ist logisch äquivalent zu

Da wir bereits gezeigt haben, dass Formen, die denen aus ‘ ‘, ‘↔’ und ‘ ‘ äquivalent sind, aus ‘→’ und ‘ ‘ konstruiert werden können, sind wir berechtigt, sie ebenfalls zu verwenden logisch äquivalent zu sein, muss das wff, das wir konstruieren, für jede mögliche Wahrheitswertzuordnung zu den Aussagebuchstaben, aus denen sich ergibt, denselben endgültigen Wahrheitswert haben, oder mit anderen Worten, es muss dieselbe letzte Spalte in einer Wahrheitstabelle haben

4

Seien die einzelnen Aussagebuchstaben, aus denen sie bestehen

Für einige mögliche Wahrheitswertzuweisungen zu diesen Buchstaben können sie wahr sein, für andere können sie falsch sein

Der einzige harte Fall wäre der, in dem kontingent ist

Wenn es nicht kontingent wäre, müsste es entweder eine Tautologie oder ein Selbstwiderspruch sein

Da in PL’ offensichtlich Tautologien und Selbstwidersprüche konstruiert werden können und alle Tautologien logisch äquivalent zueinander sind und alle Selbstwidersprüche einander äquivalent sind, ist unsere Aufgabe in diesen Fällen einfach

Nehmen wir stattdessen an, dass dies kontingent ist

5

Lassen Sie uns ein wff auf folgende Weise konstruieren.

(a) Betrachten Sie der Reihe nach jede Wahrheitswertzuordnung zu den Buchstaben

Bilden Sie für jede Wahrheitswertzuweisung eine Konjunktion aus den Buchstaben, die die Wahrheitswertzuweisung wahr macht, zusammen mit den Negationen der Buchstaben, die die Wahrheitswertzuweisung falsch macht

Wenn zum Beispiel die beteiligten Buchstaben ‘ ‘, ‘ ‘ und ‘ ‘ sind und die Wahrheitswertzuordnung ‘ ‘ und ‘ ‘ wahr, aber ‘ ‘ falsch macht, betrachten Sie die Konjunktion ‘ ‘

(b) Bilde aus den resultierenden Konjunktionen eine komplexe Disjunktion, gebildet aus den in Schritt (a) gebildeten Konjunktionen, für die die entsprechende Wahrheitswertzuweisung wahr ist

Wenn zum Beispiel die Wahrheitswert-Zuordnung, die ‘ ‘ und ‘ ‘ wahr macht, aber ‘ ‘ falsch ergibt, wahr ist, schließe sie die Disjunktion ein

Nehmen wir zum Beispiel an, dass diese Wahrheitswertzuweisung wahr wird, ebenso wie die Zuweisung, bei der „ “ und „ “ und „ “ alle falsch gemacht werden, aber keine andere Wahrheitswertzuweisung wahr macht

In diesem Fall wäre die resultierende Disjunktion „ „.

6

Das in Schritt 5 konstruierte wff ist logisch äquivalent zu

Bedenken Sie, dass für diese wahr machenden Wahrheitswertzuweisungen eine der Konjunktionen wahr ist, aus denen die Disjunktion besteht, und daher ist auch die gesamte Disjunktion wahr

Für diese Wahrheitswertzuweisungen, die falsch machen, ist keine der Konjunktionen wahr, weil jede Konjunktion mindestens eine Konjunktion enthält, die bei dieser Wahrheitswertzuweisung falsch ist

und ‘ ‘, und diese können wiederum nur mit ‘ ‘ und ‘→’ definiert werden, und weil äquivalent zu ist, gibt es ein wff, das nur aus ‘ ‘ und ‘→’ aufgebaut ist, das äquivalent zu ist, unabhängig von der Verbindungsherstellung up.

8

Daher ist PL’ ausdrücklich adäquat

Korollar 1.1: Sprache PL” ist auch ausdrücklich adäquat ‘→’ und ‘ ‘ können nur mit ‘|’ definiert werden

Metatheoretisches Ergebnis 2 (auch bekannt als „Der Deduktionssatz“): Im Aussagenkalkül gilt PC, wann immer es das hält, es hält auch das

Dies bedeutet, dass immer dann, wenn wir ein gegebenes Ergebnis in PC unter Verwendung einer bestimmten Anzahl von Prämissen beweisen können, es möglich ist, unter Verwendung aller gleichen Prämissen eine Ausnahme auszulassen, , die bedingte Aussage zu beweisen, die aus der entfernten Prämisse besteht, , als Vordersatz und die Schlussfolgerung der ursprünglichen Ableitung, als Folge

Die Bedeutung dieses Ergebnisses besteht darin, dass es tatsächlich zeigt, dass die Technik des bedingten Beweises, die typischerweise beim natürlichen Schließen zu finden ist (siehe Abschnitt V), beim PC unnötig ist, weil es immer möglich ist, die Konsequenz eines bedingten Beweises durch Ziehen zu beweisen den Vordersatz als zusätzliche Prämisse, eine Ableitung direkt für den Konditional findet sich ohne den Vordersatz als Prämisse zu nehmen.

Hier der Beweis:

1

Angenommen, dass

Das bedeutet, dass es im Aussagenkalkül eine Ableitung von aus den Prämissen gibt

Diese Ableitung nimmt die Form einer geordneten Folge an, wobei das letzte Glied der Folge, , ist, und jedes Glied der Folge entweder (1) eine Prämisse ist, d

h

es ist eine von , (2) ein Axiom von PC , (3) abgeleitet von früheren Mitgliedern der Folge durch Modus ponens.

2

Wir müssen zeigen, dass es eine Ableitung von gibt, die zwar möglicherweise die anderen Prämissen des Arguments verwendet, aber nicht verwendet

Wir tun dies, indem wir zeigen, dass für jedes Mitglied, , der Sequenz der ursprünglichen Ableitung: , man ohne Verwendung von als Prämisse ableiten kann

3

Jeder Schritt in der Sequenz der ursprünglichen Ableitung wurde auf einmal erreicht von drei Wegen, wie in (1) oben erwähnt

Unabhängig davon, mit welchem ​​Fall wir es zu tun haben, können wir das Ergebnis erhalten, dass

Es sind drei Fälle zu berücksichtigen:

Fall (a): Angenommen, ist eine Prämisse des ursprünglichen Arguments

Dann ist entweder einer von oder er selbst

Im letzteren Unterfall möchten wir erreichen, dass dies ohne Prämisse erreicht werden kann

Da es sich um eine Instanz von TS1 handelt, können wir es ohne Verwendung von Prämissen abrufen

Beachten Sie im letzteren Fall, dass dies eine der Prämissen ist, die wir in der neuen Ableitung verwenden dürfen

Wir dürfen auch die Instanz von AS1 einführen,

Von diesen können wir durch modus ponens kommen

Fall (b): Angenommen, ist ein Axiom

Wir müssen zeigen, dass wir ohne Verwendung als Prämisse kommen können

Tatsächlich können wir es erhalten, ohne irgendwelche Prämissen zu verwenden

Da es sich um ein Axiom handelt, können wir es auch in der neuen Ableitung verwenden

Wie im letzten Fall haben wir als weiteres Axiom (eine Instanz von AS1)

Von diesen beiden Axiomen kommen wir durch Modus Ponens zu Fall (c): Angenommen, das wurde von früheren Mitgliedern der Sequenz durch Modus Ponens abgeleitet

Insbesondere gibt es einige und solche, bei denen sowohl j als auch k kleiner als i sind und die Form annehmen

Wir können davon ausgehen, dass wir beides bereits ableiten konnten – also – und in der neuen Ableitung ohne Verwendung von

(Dies mag fragwürdig erscheinen für den Fall, dass entweder oder selbst durch Modus Ponens erreicht wurde

Beachten Sie jedoch, dass dies die Annahme nur zurückdrängt und Sie schließlich zum Anfang der ursprünglichen Ableitung gelangen

Die ersten beiden Schritte der Sequenz, nämlich , und , können nicht durch modus ponens abgeleitet worden sein, da dies erfordern würde, dass es zwei vorherige Mitglieder der Folge gegeben hätte, was unmöglich ist.) In unserer neuen Ableitung haben wir also bereits beide und.

Beachten Sie, dass dies eine Instanz ist von AS2, und kann daher in die neue Ableitung eingeführt werden

Durch zwei Schritte des Modus Ponens gelangen wir wieder zu , ohne als Prämisse zu verwenden kommen Sie zum letzten Schritt der ursprünglichen Ableitung, , die selbst ist

Wenn wir das Verfahren aus Schritt (3) anwenden, erhalten wir dies ohne Verwendung von als Prämisse

Daher zeigt die auf diese Weise gebildete neue Ableitung, dass , was wir zu zeigen versuchten

Das Interessante an diesem Beweis für das metatheoretische Ergebnis 2 ist, dass es ein Rezept liefert, wenn eine Ableitung für ein bestimmtes Ergebnis verwendet wird oder mehr Prämissen, um diese Ableitung in eine Bedingungsaussage umzuwandeln, in der eine der Prämissen des ursprünglichen Arguments zum Vordersatz geworden ist

Dies kann mit einem Beispiel viel klarer werden

Betrachten Sie die folgende Ableitung für das Ergebnis, dass:

1

Prämisse 2

AS1 3

1.2MP 4

AS2 5

3.4MP

Es ist möglich, die obige Ableitung in eine umzuwandeln, die keine Prämissen verwendet und die zeigt, dass es sich um einen Satz von PC handelt

Das Verfahren für eine solche Transformation besteht darin, jeden Schritt der ursprünglichen Ableitung zu betrachten und für jeden zu versuchen, dieselbe Aussage abzuleiten, nur beginnend mit ” “, ohne Verwendung von ” ” als Prämisse

Wie dies geschieht, hängt davon ab, ob der Schritt eine Prämisse, ein Axiom oder ein Ergebnis von Modus Ponens ist, und abhängig davon, ob eines der drei im obigen Beweis skizzierten Verfahren angewendet wird

Das Ergebnis ist folgendes:

1

TS1 2

AS1 3

AS1 4

2,3 MP 5

AS2 6

4,5 MP 7

1,6 MP 8

AS2 9

AS1 10

8,9 MP 11

AS2 12

10,11 MP 13

7,12 MP

Das Verfahren zur Umwandlung einer Ableitungsart in eine andere ist rein auswendig

Darüber hinaus ist das Ergebnis oft nicht die eleganteste oder einfachste Art, das zu zeigen, was Sie zeigen wollten

Beachten Sie beispielsweise oben, dass die Zeilen (2) und (7) redundant sind und mehr Schritte als nötig unternommen wurden

Das rein auswendige Verfahren ist jedoch effektiv

Dieses metatheoretische Ergebnis stammt von Jacques Herbrand (1930)

Es ist für sich genommen interessant, besonders wenn man es als Ersatz oder Ersatz für die Technik des bedingten Beweises betrachtet

Es ist jedoch auch sehr nützlich, um andere metatheoretische Ergebnisse zu beweisen, wie wir weiter unten sehen werden.

Metatheoretisches Ergebnis 3: Wenn ein wff der Sprache PL’ ist, und die Aussagebuchstaben, aus denen es besteht, sind, dann betrachten wir, wenn wir eine mögliche Wahrheitswertzuordnung zu diesen Buchstaben in Betracht ziehen, und betrachten die Prämissenmenge, , die enthält, wenn die Wahrheit- Wertzuweisung wahr macht, aber enthält, wenn die Wahrheitswertzuweisung falsch macht, und ähnlich für , wenn die Wahrheitswertzuweisung wahr macht, dann gilt in PC, dass , und wenn sie falsch macht, dann.

Hier ist der Beweis

1

Per Definition ist ein wff entweder selbst ein Anweisungsbuchstabe, oder letztlich aus Anweisungsbuchstaben durch die Konnektoren ‘ ‘ und ‘→’ aufgebaut

2

Wenn es selbst ein Anweisungsbuchstabe ist, dann offensichtlich entweder es oder seine Verneinung ist Mitglied von

Es ist ein Mitglied davon, ob die Wahrheitswertzuweisung es wahr macht

In diesem Fall gibt es offensichtlich eine Ableitung von , da jederzeit eine Prämisse eingeführt werden kann

Wenn die Wahrheitswertzuweisung stattdessen falsch macht, dann ist ein Mitglied von , und so haben wir eine Ableitung von , da wiederum jederzeit eine Prämisse eingeführt werden kann

Dies deckt den Fall ab, in dem unser wff einfach ein Anweisungsbrief ist

Wir können davon ausgehen, dass wir bereits das gewünschte Ergebnis für erhalten haben

(Entweder ist es ein Erklärungsschreiben, in diesem Fall gilt das Ergebnis von Schritt (2), oder es ist letztendlich selbst aus Erklärungsschreiben aufgebaut, selbst wenn also die Überprüfung dieser Annahme eine ähnliche Annahme erfordert, werden wir letztendlich zu Erklärungsschreiben zurückkehren

) Das heißt, wenn die Wahrheitswertzuweisung wahr ist, dann haben wir eine Ableitung von

Wenn es falsch wird, dann haben wir eine Ableitung von von

Angenommen, es trifft zu

Da die Negation von ist, muss die Wahrheitswertzuweisung false ergeben

Wir müssen also zeigen, dass es eine Ableitung von gibt

Da ist , ist

Wenn wir an unsere Ableitung von from der Ableitung von eine Instanz von TS2 anhängen, können wir eine Ableitung von modus ponens erreichen, was erforderlich war

Nehmen wir stattdessen an, dass die Wahrheitswertzuweisung falsch macht, dann liegt nach unserer Annahme eine Ableitung von vor

Da die Negation von ist, muss diese Wahrheitswertzuordnung wahr werden

Nun, einfach ist , also haben wir bereits eine Ableitung davon von.

4

Nehmen wir stattdessen an, dass ist aus anderen wffs aufgebaut und mit dem Zeichen ‘→’, das heißt, angenommen, das ist

Auch hier können wir davon ausgehen, dass wir bereits das gewünschte Ergebnis für und erhalten haben

(Entweder wiederum sind sie selbst Erklärungsbriefe oder in ähnlicher Weise aus Erklärungsbriefen aufgebaut.) Angenommen, die von uns betrachtete Wahrheitswertzuweisung trifft zu

Denn nach der Semantik für das Zeichen ‘→’ muss die Wahrheitswertzuweisung entweder falsch oder wahr sein

Nehmen Sie den ersten Unterfall

Wenn es falsch ist, dann gibt es nach unserer Annahme eine Ableitung von von

Wenn wir daran die Ableitung der Instanz von TS3 anhängen, kommen wir nach Modus Ponens zur Ableitung von , also , von

Wenn stattdessen die Wahrheitswertzuordnung wahr ist, dann liegt nach unserer Annahme eine Ableitung von vor

Wenn wir zu dieser Ableitung die Instanz von AS1, , nach modus ponens hinzufügen, dann kommen wir wieder zu einer Ableitung von , also , von

Wenn stattdessen die Wahrheitswertzuweisung falsch ergibt, dann muss die fragliche Wahrheitswertzuweisung wahr und falsch machen, da ist

Nach unserer Annahme ist es dann möglich, sowohl als auch aus zu beweisen

Wenn wir diese beiden Ableitungen verketten und ihnen die Ableitung der Instanz von TS4 hinzufügen, dann können wir durch zwei Anwendungen von Modus Ponens ableiten, was einfach ist, was gewünscht wurde.

Aus dem Obigen sehen wir, dass der Propositional Calculus PC verwendet werden kann, um die entsprechenden Ergebnisse für ein komplexes wff zu demonstrieren, wenn als Prämissen entweder die Wahrheit oder die Falschheit aller seiner einfachen Teile gegeben ist

Dies ist natürlich die Grundlage der wahrheitsfunktionalen Logik, dass die Wahrheit oder Falschheit dieser komplexen Aussagen, die man darin machen kann, vollständig durch die Wahrheit oder Falschheit der einfachen Aussagen bestimmt wird, die in sie eingehen

Metatheoretisches Ergebnis 3 ist für sich genommen wieder interessant, spielt aber eine entscheidende Rolle beim Beweis der Vollständigkeit, dem wir uns als nächstes zuwenden

Metatheoretisches Ergebnis 4 (Vollständigkeit): Wenn ist ein wff der Sprache PL’ und eine Tautologie, dann ist ein Theorem der Aussagenkalküle

Dieses Merkmal der Aussagenkalküle wird Vollständigkeit genannt, weil es zeigt, dass die Aussagenkalküle als deduktives System, das darauf abzielt, alle Wahrheiten der Logik zu erfassen, ein Erfolg ist

Jedes wff ist allein aufgrund der wahrheitsfunktionalen Natur der Konnektoren, aus denen es besteht, wahr, was man beweisen kann, indem man nur die Axiome von PC zusammen mit Modus Ponens verwendet

Hier ist der Beweis:

1

Angenommen, das ist eine Tautologie

Das bedeutet, dass jede mögliche Wahrheitswert-Zuordnung zu ihren Aussagebuchstaben sie wahr macht

Aus (1) und dem metatheoretischen Ergebnis 3 folgt, dass es in PC eine Ableitung gibt, jede mögliche Menge von Prämissen zu verwenden, die für jeden Aussagebuchstaben entweder aus ihm oder seiner Negation besteht

3

Durch das metatheoretische Ergebnis 2 können wir Entfernen Sie aus jedem dieser Prämissensätze entweder oder , je nachdem, was es enthält, und machen Sie es zu einem Antezedens eines Bedingungssatzes, in dem Konsekutiv ist, und das Ergebnis wird beweisbar sein, ohne oder als Prämisse zu verwenden

Das bedeutet, dass wir für jede mögliche Menge von Prämissen, die aus entweder oder usw

bestehen, bis auf ableiten können

Kesaksian Korban Binary Option, Satgas Waspada Investasi Agkat Bicara | AKIM tvOne Update

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‘Binary Option’ Modus Baru Cepat Kaya, Maru: Kerugian Perorang Mencapai Ratusan Juta Rupiah New

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Salah satunya karena banyak bermunculan korban-korban yang mengaku rugi ratusan juta rupiah setelah menggunakan binary option.\r
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Baca Juga Marak Peredaran Uang Palsu, Pedagang Lansia Diduga Jadi Sasaran Penipuan Uang di https://www.kompas.tv/article/256030/marak-peredaran-uang-palsu-pedagang-lansia-diduga-jadi-sasaran-penipuan-uang\r
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Dalam periode tertentu 1 hingga 5 menit trader nanti akan menebak harganya bakal naik atau turun, kalau udah nebak trader pasang harga.\r
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Sistemnya disini jadi lebih mirip judi karena gambling dan didorong untuk impulsive.\r
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Hal tersebut beda dengan trading saham. Karena trading saham kita tahu dan punya dasar ketika memilih saham yang akan kita jual beli dan tidak ada periode waktu saat kita trading saham.\r
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Lalu setelah trader menaruh nominal, sistem akan bekerja. Kalau tebakan tepat modal bertambah maksimal 80 persen, kalau tebakan salah modal hilang 100 persen.\r
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Jangan sampai Anda tertipu atau tergoda dengan janji-janji imbal hasil yang besar.\r
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Berbagai macam penipuan berkedok investasi masih marak terjadi di Indonesia, salah satu yang sedang heboh adalah binary option atau binomo ini.\r
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Ketua Satgas Waspada Investasi (OJK) Tongam L Tobing mengatakan, binomo merupakan salah satu kegiatan ilegal di Indonesia karena tidak mempunyai izin sebagai pialang berjangka komoditi di Indonesia.\r
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Tongam juga menyebut, bahwa binomo bukan trading ataupun investasi, binomo diduga adalah perjudian.\r
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OJK juga mendorong masyrakat untuk melapor ke kepolisan dan Satgas Waspada Investasi OJK jika menemukan hal-hal semacam ini, termasuk melaporkan influencer yang mengenalkan binomo.\r
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Artikel ini bisa dilihat di : https://www.kompas.tv/article/257436/ojk-bukan-trading-dan-investasi-binomo-diduga-adalah-perjudian

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 New Update OJK: Bukan Trading dan Investasi, Binomo Diduga Adalah Perjudian
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Pelajaran Spiritual dari Tertangkapnya Affiliator Binary … New

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Penetapan tersangka, penyitaan aset hingga pembukuan rekening telah dilakukan oleh polisi. Kini para korban menunggu cemas apakah uang mereka bisa kembali?
Dea Kartika membahasnya bersama Kombes Gatot Refli Handoko – Kepala Bagian Penerangan Umum (Kabag Penum) Divisi Humas Polri dan Yenti Garnasih, Pakar Pidana Pencucian Uang Universitas Trisakti.

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 Update Affiliator Binary Option Dimiskinkan, Bagaimana Hak Korban?
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YouTuber Bobon Santoso Mengaku ‘Ditawari Uang’ untuk … New Update

07/03/2022 · JURNAL SOREANG – Salah satu YouTuber sekaligus influencer, Bobon Santoso mengaku pernah ditawari sejumlah uang dan ‘bisikan-bisikan’ lainnya dari affiliator binary option. Seperti diketahui, Bobon adalah salah satu sosok influencer yang menyuarakan masalah afiliator ini. Sudah banyak affiliator Binary option yang disenggol Bobon Santoso.Sebut saja …

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12 Korban Trading Binary Option Buat laporan Penipuan ke Bareskrim Polri | Kabar Pasar tvOne Update New

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Mereka yang datang terdiri dari delapan orang korban, melapor terkait dugaan tindak pidana penipuan trading ilegal.
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 Update 12 Korban Trading Binary Option Buat laporan Penipuan ke Bareskrim Polri | Kabar Pasar tvOne
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Polri Buka Saluran Telepon untuk Pengaduan Kasus Robot … Aktualisiert

18/03/2022 · Bisnis.com, JAKARTA – Direktorat Tindak Pidana Khusus (Tipideksus) Bareskrim Polri membuka saluran telepon/hotline pengaduan kasus robot trading dan binary option.Pengaduan bisa diakses melalui whatsapp dengan nomor 0812-1322-7296 atau melalui platform media sosial Instagram dengan akun @posko_robottrad_binary_option_dittipideksus.

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Microsoft Edge + Internet Explorer mode Aktualisiert

19/05/2021 · Microsoft Edge uses the integrated Chromium engine to render modern sites and uses the Trident (MSHTML) engine from Internet Explorer 11 to render legacy sites in IE mode.

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Modbus – Was ist ein Modbus? | Modbus erklärt im kvm … New

18/05/2018 · Modbus ASCII. Bei diesem Modus wird nicht die Binärfolge, sondern ein ASCII-Code übermittelt. Der Datendurchsatz ist bei diesem Modus geringer, dafür sind die Daten direkt für Menschen lesbar.. Der Aufbau des übermittelten Codes ist immer gleich: Die Nachricht beginnt mit einem Doppelpunkt und der Adresse.

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JAKARTA, KOMPAS.TV – Kasus kejahatan penipuan investasi dan dugaan tindak pidana pencucian uang terus bermunculan, setelah polisi juga membongkar kasus robot trading bernama Fahrenheit.\r
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Kerugian korban diperkirakan mencapai Rp 5 triliun.\r
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Setelah menangkap dan menahan tiga orang tersangka, Penyidik Ditkrimsus Polda Metro Jaya menyita sejumlah aset dari para tersangka.\r
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Aset yang sudah disita, antara lain dua unit mobil, uang tunai, peralatan elektronik, termasuk satu pistol air soft gun.\r
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Investasi robot trading Fahrenheit beroperasi di bawah sebuah perusahaan yang dipimpin seseorang berinisial HS.\r
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Direktur Reserse Kriminal Khusus Polda Metro Jaya, Kombes Auliansyah Lubis menyebut, para tersangka membujuk korban menginvestasikan dana melaluinya dan membeli aplikasi trading.\r
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Untuk mengetahui perspektif secara utuh, Kompas TV juga telah terhubung dengan korban penipuan investasi ilegal robot trading Fahreinheit, Samuel Abraham yang sebelumnya telah lapor ke polisi dengan kerugian lebih dari Rp 60 juta.\r
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Artikel ini bisa dilihat di : https://www.kompas.tv/article/272987/korban-robot-trading-fahrenheit-bergabung-karena-saya-kenal-dengan-direktur-pt-fahrenheit

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