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The Best vektorrechnung einführung New

by Tratamien Torosace

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Neues Update zum Thema vektorrechnung einführung


Orthogonalität (Vektorrechnung) – rither.de New Update

4. Umkehrung: Einen orthogonalen Vektor finden Wenn man nachweisen kann, dass ein Vektor zu einem anderen Vektor orthogonal ist, dann kann man diesen Nachweis logischerweise auch umkehren und auf diese Weise herausfinden, welcher Vektor zu einem anderen Vektor orthogonal liegt. Hierzu muss man nur herausfinden, welcher gesuchte Vektor multipliziert mit dem …

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1

Einleitung

2

Formel

ist immer 90°, falls zutreffend

Der Winkel zwischen zwei Vektoren beträgt immer dann 90°

3

Begründung

4

Inversion: Finden Sie einen orthogonalen Vektor

welcher

5

Formel: Umkehrung

bekannter Vektor,

Gesuchter Vektor.

ist ein bekannter Vektor, ist ein gesuchter Vektor.

gesuchter Vektor

bekannter Vektor gesuchter Vektor

6 übrig

Zwei Vektoren heißen „orthogonal“, wenn sie senkrecht aufeinander stehen

Der Winkel, den sie einschließen, muss also 90° betragen

Daher auch das Wort orthogonal, das aus dem Griechischen stammt und für rechtwinklig steht

Um herauszufinden, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, müssen Sie jedoch keine langwierige Winkelrechnung durchführen, sondern nur prüfen, ob das Skalarprodukt 0 ist

Ist es 0, bilden die Vektoren a rechter Winkel

Es gilt die Skalarproduktformel: Wenn der Winkel jetzt gleich 90° ist, ist der Kosinus von gleich 0 (Kosinus von 0°=1, Kosinus von 90°=0)

In diesem Fall würde also gelten Wenn man beweisen kann, dass ein Vektor orthogonal zu einem anderen Vektor ist, dann kann man diesen Beweis logisch umkehren und so herausfinden, welcher Vektor orthogonal zu einem anderen Vektor ist

Dazu musst du nur herausfinden, welchen der gesuchte Vektor multipliziert mit dem gegebenen Vektor 0 ergibt

Die Formel ist also der des Skalarprodukts sehr ähnlich, außer dass sie bekannt ist und das Ergebnis 0 sein muss Daraus lassen sich nun beliebig viele Vektoren bilden, die alle orthogonal zu sind

Zum Beispiel , oder , oder Der einfachste Weg, dies zu berechnen, besteht darin, 0 durch einen Wert zu ersetzen, z

Dann muss natürlich nur noch wahr sein, nicht für alle drei Werte 0 zu verwenden, denn dann wäre es wahr

Dieser Vektor hat keine Länge – und wie könnte ein Vektor ohne Länge senkrecht zu einem anderen Vektor stehen? Hier sind zwei beispielhafte Schulaufgaben, die sich mit Orthogonalität befassen.

Vektoren Einführung – ganz einfacher Einstieg Update New

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Grundlagen Vektoren (Analytische Geometrie) New

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 New Update Grundlagen Vektoren (Analytische Geometrie)
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Binomische Formeln: 20 Übungen mit Lösung Update New

Wenn also die Differenz von zwei zu multiplizierenden Zahlen gerade ist, also 2 oder 4 oder 6 usw., und man von der Zahl in der Mitte (dem sogenannten arithmetischen Mittel) die Quadratzahl weiß, hier im Beispiel 6400, dann kann man die Aufgabe mithilfe der dritten binomischen Formel in Sekundenschnelle lösen.

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Als nächstes wollen wir uns mit den Binomialformeln befassen

Zuerst möchte ich die Binomialformeln benennen und dann einige Aufgaben mit der Lösung rechnen

Ich setze Kenntnisse der Potenzgesetze voraus

Binomiale Formeln

Es gibt drei Binomialformeln

Für Zahlen

1

Binomialformel:

2

Binomialformel:

3

Binomialformel:

anwendbar:

Hinweis: Diese Formeln werden durch Multiplikation der Quadrate und Anwendung des Kommutativgesetzes bewiesen

Wir sparen uns den Beweis und konzentrieren uns auf die Anwendung dieser Regeln

1

Übung mit Lösung

Nach der ersten Binomialformel: 2

Aufgabe mit Lösung

Nach der zweiten Binomialformel: 3

Aufgabe mit Lösung

Nach der dritten Binomialformel: 4

Aufgabe mit Lösung

Nach der ersten Binomialformel: 5

Aufgabe mit Lösung

Nach der ersten Binomialformel: 6

Aufgabe mit Lösung

Nach der zweiten Binomialformel: 7

Aufgabe mit Lösung

Unter Verwendung der dritten Binomialformel erhalten wir: 8

Aufgabe mit Lösung

Nach der zweiten Binomialformel: 9

Aufgabe mit Lösung

Unter Verwendung der ersten Binomialformel erhalten wir: 10

Aufgabe mit Lösung

Mit der zweiten Binomialformel erhalten wir:

11

Übung mit Lösung

Auf diesen Term wenden wir die dritte Binomialformel an: 12

Aufgabe mit Lösung

Hier wird die erste Binomialformel auf beide Terme angewendet

13

Übung mit Lösung

Dies ist wieder ein Fall für die dritte Binomialformel:

14

Übung mit Lösung

Die zweite Binomialformel ergibt: 15

Aufgabe mit Lösung

Die zweite Binomialformel ergibt: 16

Aufgabe mit Lösung

Die zweite Binomialformel ergibt: 17

Aufgabe mit Lösung

Unsere Aufgabe ist es nun, auf diesen Term eine Binomialformel anzuwenden

In diesem Fall wenden wir die erste Binomialformel sozusagen rückwärts an

18

Übung mit einer Lösung

Auf diesen Term wenden wir die zweite Binomialformel rückwärts an:

19

Übung mit Lösung

Das geht ganz einfach im Kopf, wenn man die dritte Binomialformel anwendet: Wenn also die Differenz zwischen zwei zu multiplizierenden Zahlen gerade ist, also 2 oder 4 oder 6 usw., und man das Quadrat der Zahl in der Mitte kennt ( das sogenannte arithmetische Mittel), hier im Beispiel 6400, dann kannst du die Aufgabe mit lösen der dritten Binomialformel in Sekunden lösen

20

Übung mit Lösung

Auch hier kann man die dritte Binomialformel anwenden:

Ja, die dritte Binomialformel macht am meisten Spaß! Am besten prägen Sie sich die drei Binomialformeln ein

Leider führt kein Weg daran vorbei

Danach muss man wie bei allen anderen mathematischen Themen einfach viel üben und immer wieder Aufgaben hinzufügen

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Viel Glück mit den Binomialformeln!

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Grundlagen VEKTOREN – Einstieg Vektorgeometrie einfach erklärt New Update

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 Update New Grundlagen VEKTOREN – Einstieg Vektorgeometrie einfach erklärt
Grundlagen VEKTOREN – Einstieg Vektorgeometrie einfach erklärt New

Cotangens | Mathebibel Update New

Cotangens. In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Cotangens versteht. In der Schule definiert man den Cotangens erst im rechtwinkligen Dreieck für Winkel zwischen $\boldsymbol{0^\circ}$ und $\boldsymbol{90^\circ}$.Danach wird die Definition mithilfe des Einheitskreises auf alle Winkel erweitert.

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Kotangens

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was mit dem Kotangens gemeint ist

In der Schule wird der Kotangens zunächst in einem rechtwinkligen Dreieck für Winkel zwischen $\boldsymbol{0^\circ}$ und $\boldsymbol{90^\circ}$ definiert

Danach wird die Definition mit dem Einheitskreis auf alle Winkel erweitert

Definition im rechtwinkligen Dreieck

Der Kotangens ist eine Winkelfunktion

Winkelfunktionen sind definiert als das Verhältnis zweier Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck

In der Mathematik entspricht ein Verhältnis dem Quotienten zweier Größen

Die Abbildung soll helfen, den Kontangens zu definieren

Dabei gilt: Seite $b$ grenzt an $\alpha$.

Seite $a$ liegt gegenüber von $\alpha$.

Seite $c$ ist die Hypotenuse

Mehr über diese Begriffe erfahren Sie im Kapitel Rechtwinklige Dreiecke

Abb

1

Der Kotangens des Winkels $\alpha$ entspricht dem Verhältnis der angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite: $$ \cot \alpha = \frac{\text{adjacent side}}{\text{opposite side} } = \frac{b}{a} $$

Der Kotangens ist der Kehrwert des Tangens: $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$.

Im rechtwinkligen Dreieck können wir nur zeigen, dass der Kotangens für Winkel zwischen $0^\circ$ und gilt $90^ \circ$ ist definiert

Um diese Definition zu erweitern, betrachten wir den Kotangens im Einheitskreis

Definition im Einheitskreis

Der Einheitskreis ist ein Kreis, dessen Radius $1$ ist und dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt

Zuerst wählen wir einen beliebigen Punkt $P$ auf dem Einheitskreis

Abb

2

Dann zeichnen wir den Winkel ein, der zwischen der $x$ -Achse und der Geraden durch den Koordinatenursprung und den Punkt $P$ verläuft

Es stellt sich die Frage nach dem Wert des Tangens dieses Winkels

Abb

3

Wenn wir den Punkt $P$ senkrecht mit der $x$-Achse (gestrichelte Linie) verbinden, erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck

Dies hilft uns, den Tangens des Winkels zu finden

Abb

4

Zur Verdeutlichung haben wir in der Zeichnung die gegenüberliegenden und angrenzenden Seiten des Winkels mit $\alpha$ bezeichnet

Das wissen wir ja schon: $$ \cot \alpha = \frac{\text{Nachbarseite}}{\text{Gegenseite}} $$ Leider können wir den Kotangens an dieser Stelle nicht aus der Zeichnung ablesen

Wir müssen zuerst einen kleinen Trick anwenden

Abb

5

Wir verschieben die angrenzende Seite parallel, bis sie eine Tangente des Kreises wird

Nach dem Strahlensatz können wir die Nachbarseite parallel verschieben, weil sich dadurch das Verhältnis zwischen Nachbarseite und Gegenseite nicht ändert!. ..aber was hat uns diese Parallelverschiebung eigentlich gebracht? Jetzt können wir den Kotangens leicht ablesen! Abb

6

Die Abbildung zeigt deutlich, dass die Länge der gegenüberliegenden Seite durch die Parallelverschiebung der benachbarten Seite nun dem Radius des Kreises entspricht

Laut Definition hat der Einheitskreis einen Radius von $1$

Es folgt:

$$ \cot \alpha = \frac{\text{angrenzende Seite}}{\text{gegenüberliegende Seite}} =\frac{\text{angrenzende Seite}}{1} =\text{angrenzende Seite} $$

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…und wie lang ist das angrenzende Bein?

Die Länge des angrenzenden Schenkels entspricht der $x$ -Koordinate des Punktes $P’$.

Der Kotangens eines beliebigen Winkels $\alpha$ ist die $\boldsymbol{x}$ -Koordinate des zu $ ​​gehörenden Punktes $ \alpha$ P’$.

Den Punkt $P’$ erhält man durch Parallelverschiebung des Nachbarschenkels

Die benachbarte Seite wird verschoben, bis die gegenüberliegende Seite den Wert $1$ hat

Dadurch wird die angrenzende Seite zur Tangente des Einheitskreises.

Kotangens nicht für alle Winkel definiert!

Wir können den Kotangens auch mit Sinus und Cosinus definieren:

$$ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } $$

Warum gilt das? $$ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}= \frac{ \frac{\text{Nachbarseite}}{\text{Hypotenuse}} }{ \frac{\text{Gegenseite}}{ \text {hypotenuse}} } =\frac{\text{angrenzende Seite}}{\text{gegenüberliegende Seite}}= \cot \alpha $$

In der obigen Formel haben wir die Hypotenuse gestrichen

Sie erinnern sich vielleicht an die folgende Regel:

Der Nenner eines Bruches darf niemals Null sein!

Für Winkel, bei denen der Sinus Null wird, ist der Kotangens undefiniert:

$$ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } $$

Eigentlich logisch, oder? Aber wann wird der Sinus Null? Für die Winkel $0^\circ$ , $180^\circ$ , $360^\circ$ usw

wird der Sinus Null

Für diese Winkel ist der Kotangens nicht definiert!

Kotangens berechnen

Um Kotangenswerte mit Ihrem Taschenrechner zu berechnen, spielt es keine Rolle, ob die Winkel in Grad (z

B

$90^\circ$ ) oder Bogenmaß (z

B

$\frac{\pi}{2}$ ) angegeben werden

sind

Wichtig ist nur, dass Sie in das Setup Ihres Taschenrechners gehen und dort die richtige Einstellung wählen: DEG (Grad) steht für Grad, RAD (Bogenmaß) für Bogenmaß

Die meisten handelsüblichen Taschenrechner haben keine COT-Taste

Um dann den Kotangens zu berechnen, müssen Sie Folgendes berechnen: $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha }$.

Die folgende Tabelle zeigt einige wichtige Kotangenswerte:

$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \alpha & 0^\circ & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ & 90^\circ & 120^\circ & 135^\circ & 150^\circ & 180^\circ \\ & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{ 6}} & {\color{grau}\frac{\pi}{4}} & {\color{grau}\frac{\pi}{3}} & {\color{grau}\frac{\pi } {2}} & {\color{grau}\frac{2\pi}{3}} & {\color{grau}\frac{3\pi}{4}} & {\color{grau}\frac{ 5\pi}{6}} & {\color{gray}\pi } \\ \hline \cot \alpha & \text{n

def.} & \sqrt{3} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{3} & -1 & -\sqrt{3} & \text{n

def.} \\ \hline &&&&&&&&& \\ &&&&&&&&& \\ \hline \alpha & 180^\circ & 210^\circ & 225^\circ & 240^\circ & 270^\circ & 300^\circ & 315^ \circ & 330^\circ & 360^\circ \\ & {\color{gray}0\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}\!+\ !\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}\!+\!\ pi} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}\!+\!\pi } & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}\!+\!\pi} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}\!+\!\pi } & {\color{gray}\pi\!+\!\pi} \\ \hline \cot \alpha & \text{n

def.} & \sqrt{3} & 1 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{3} & -1 & -\sqrt{3} & \text{n

def.} \end{array} $$

In der obigen Tabelle können wir eine interessante Eigenschaft beobachten:

$$ \cot(\alpha + 180^\circ) = \cot(\alpha + \pi) = \cot \alpha $$

So können wir aus bekannten oder gegebenen Kotangenswerten weitere Werte errechnen.

Vektor, Vektoren, Definition | Mathe by Daniel Jung Update

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