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Top einführung zahl 10 New Update

by Tratamien Torosace

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Rationale Zahl – Wikipedia Update

Eine rationale Zahl ist eine reelle Zahl, die als Verhältnis (lateinisch ratio) zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. Um die Menge aller rationalen Zahlen zu bezeichnen, wird das Formelzeichen (Unicode U+211A: ℚ) verwendet (von „Quotient“, siehe Buchstabe mit Doppelstrich).Sie umfasst alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, der sowohl im …

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Q {\displaystyle \mathbb {Q}}

Eine rationale Zahl ist eine reelle Zahl, die als Verhältnis (lat

Verhältnis) zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann

Zur Bezeichnung der Menge aller rationalen Zahlen wird das Formelzeichen Q {\displaystyle \mathbb {Q} } (Unicode U+211A: ℚ) verwendet (von „Quotient“, siehe Buchstabe mit doppeltem Strich)

Er umfasst alle als Bruch darstellbaren Zahlen, die sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen enthalten

Die genaue mathematische Definition basiert auf Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen

Die rationalen Zahlen werden in der Schulmathematik auch Brüche genannt

Mit der Einführung von Bruchzahlen kann auch dividiert werden, wenn beispielsweise der Dividende kleiner als der Divisor ist

Beispielsweise lautet das Divisionsproblem 3 : 4 = ? nicht lösbar innerhalb der natürlichen oder ganzen Zahlen.

Zum Beispiel repräsentiert der Bruch 3⁄ 4:

die Division 3 : 4 (3 geteilt in 4, 3 geteilt in 4, 3 geteilt in 4er, 3 geteilt in 4 (gleiche) Teile, 3 geteilt durch 4), das Ergebnis der Division als separate (Bruch-)Zahl 3⁄ 4 (drei Viertel), die Reihenfolge: „dividiere in 4 Teile, nimm 3“ (drei von vier (Teilen))

Die Begriffe gewöhnlicher Bruch, Stammbruch, echter Bruch, I, unechter Bruch, I, gekürzter Bruch, erweitert Bruch, Dezimalbruch, Binärbruch. .

werden für spezielle Schreibweisen oder Formen von rationalen Zahlen verwendet

Die Dezimalentwicklung einer rationalen Zahl ist periodisch

Eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist, heißt irrationale Zahl.[1] Dazu gehören 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} , π {\displaystyle \pi } , e {\displaystyle \mathrm {e} } und Φ {\displaystyle \Phi }

Die Dezimalentwicklung einer irrationalen Zahl ist nicht periodisch

Da die rationalen Zahlen eine abzählbare Menge bilden, die reellen Zahlen aber eine nicht abzählbare Menge, sind „fast alle“ reellen Zahlen irrational.[2] Definition

Die Menge der rationalen Zahlen besteht aus der Menge der negativen rationalen Zahlen, der Zahl Null und der Menge der positiven rationalen Zahlen

Die Definition rationaler Zahlen basiert auf der Darstellung rationaler Zahlen als Brüche, also Paare ganzer Zahlen

Sie ist so aufgebaut, dass Rechnungen mit rationalen Zahlen wie gewohnt mit Hilfe ihrer Bruchdarstellungen durchgeführt werden können, gleichzeitig aber die rationale Zahl von ihren Bruchdarstellungen abstrahiert

Die rationalen Zahlen werden nicht als völlig neue Dinge postuliert, sondern auf ganze Zahlen reduziert

Die Definition beginnt mit der Menge aller geordneten Paare ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} von ganzen Zahlen mit b ≠ 0 { \displaystyle b

ot =0}

Wichtig: Diese Paare sind nicht die rationalen Zahlen

Man definiert Addition und Multiplikation auf dieser Menge wie folgt:

( ein , b ) + ( c , d ) := ( ein ⋅ d + b ⋅ c , b ⋅ d ) {\ displaystyle (a, b) + (c, d): = (a \ cdot d + b \ cdot c,\,b\cdot d)} ( a , b ) ⋅ ( c , d ) := ( a ⋅ c , b ⋅ d ) {\displaystyle (a,b)\cdot (c,d):= (a\cdot c,\,b\cdot d)}

Das sind die bekannten Rechenregeln für Brüche

Die Zahlenpaare können also als Brüche verstanden werden

Ein Ziel der Definition rationaler Zahlen ist, dass beispielsweise die Brüche 2 / 3 {\displaystyle 2/3} und 4 / 6 {\displaystyle 4/6} die gleiche „Zahl“ bezeichnen

Sie betrachten also Brüche, die äquivalent (mit demselben Wert) sind

Dies wird durch eine Äquivalenzrelation ausgedrückt, die wie folgt definiert ist:

( a , b ) ∼ ( c , d ) : ⟺ a ⋅ d = b ⋅ c {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\;:\!\iff a\cdot d=b\cdot C\;}

Wichtig ist, dass diese Relation tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist, d.h

die Gesamtmenge wird in Teilmengen (hier Äquivalenzklassen genannt) von zueinander äquivalenten Elementen zerlegt; das lässt sich nachweisen.

Für die Äquivalenzklassen werden wiederum Rechenregeln definiert, die auf der Bruchrechnung basieren und dafür sorgen, dass das, was unter einer rationalen Zahl verstanden wird, von der konkreten Bruchdarstellung abstrahiert wird

Die Addition q + r =: s {\displaystyle q+r=:s} der Äquivalenzklassen q {\displaystyle q} und r {\displaystyle r} ist wie folgt definiert:

Aus q {\displaystyle q} wählst du ein beliebiges Element, also ein geordnetes Paar ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} von ganzen Zahlen (du wählst ein einzelnes Element von q {\displaystyle q} und nicht so etwas wie zwei )

Ebenso wählt man aus r {\displaystyle r} das Element ( c , d ) {\displaystyle (c,d)}.

( a , b ) {\displaystyle (a,b)} und ( c , d ) { \ displaystyle (c,d)} wird nun entsprechend der Bruchrechnung addiert und man erhält ein Paar ( e , f ) {\displaystyle (e,f)}

Dies ist ein Element einer Äquivalenzklasse s {\displaystyle s} , die das Ergebnis der Addition ist

Wichtig ist, dass unabhängig von der konkreten Wahl von ( a , b ) ∈ q {\displaystyle (a,b)\in q} und ( c , d ) ∈ r {\displaystyle (c,d)\in r} besteht ist immer ein Element ein und derselben Äquivalenzklasse s ∋ ( e , f ) {\displaystyle s

ich (e,f)} ; diese Eigenschaft der Addition, ihre wohldefinierte Natur, muss und kann bewiesen werden

Die Multiplikation q ⋅ r = t {\displaystyle q\cdot r=t} wird analog definiert

Die Äquivalenzklassen q , r , s , t {\displaystyle q ,r,s,t} werden als Elemente einer neuen verstanden setze Q {\displaystyle \mathbb {Q} } und heißen rationale Zahlen

Eine einzelne rationale Zahl q ∈ Q {\displaystyle q\in \mathbb {Q} } ist also eine unendliche Menge geordneter Paare ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}

Diese Menge wird sehr oft als Bruch geschrieben ( a , b ) =: ab =: a / b {\displaystyle (a,b)=:{\tfrac {a}{b}}=:a/b} was ist die Äquivalenzklasse

ein b := { ( c , d ) | c ∈ Z ∧ d ∈ Z ∖ { 0 } ∧ ( c , d ) ∼ ( a , b ) } {\displaystyle {\frac {a}{b}}:={\bigl \{}(c,d) \;{\big |}\;c\in \mathbb{Z} \;\wedge \;d\in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\;\wedge \;(c,d)\ sim (a,b){\bigr \}}}

aller Paare äquivalent zu ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} Die horizontale oder (von rechts oben nach links unten) diagonale Trennlinie zwischen den beiden ganzen Zahlen wird als Bruchstrich bezeichnet

Die erste ganze Zahl ist der Zähler und die zweite der Nenner des Bruchs

Der Nenner ist immer verschieden von 0 {\displaystyle 0} und kann wegen ( a , b ) ∼ ( − a , − b ) {\displaystyle (a,b)\sim (-a,-b)} positiv gewählt werden

Die bevorzugte Darstellung der rationalen Zahl a b {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} ist der (maximal) gekürzte Bruch

c d := a ÷ e b ÷ e {\displaystyle {\frac {c}{d}}\;:=\;{\frac {a\div e}{b\div e}}}

mit

e := sgn ⁡ ( b ) ⋅ abs ⁡ ( gcd ⁡ ( a , b ) ) {\displaystyle e:=\operatorname {sgn}(b)\cdot \operatorname {abs} {\bigl (}\operatorname {gcd } (a,b){\bigr )}}

wobei gcd ⁡ ( a , b ) {\displaystyle \operatorname {gcd} (a,b)} für den größten gemeinsamen Teiler von a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} steht.[3] Somit besteht die Äquivalenzklasse a b {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} genau aus den Paaren von ganzen Zahlen

{ ( c ⋅ f , d ⋅ f ) | f ∈ Z ∖ { 0 } } {\displaystyle {\bigl \{}(c\cdot f,d\cdot f)\;{\big |}f\in \mathbb {Z} \setminus \{0\} {\bigr \}}} [4]

Identifiziert man die ganze Zahl n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } mit der rationalen Zahl n 1 ∈ Q {\displaystyle {\tfrac {n}{1}}\in \mathbb {Q} } , dann hat man eine Zahlenkreiserweiterung der ganzen Zahlen, die man auch Quotientenkörperbildung nennt

Wenn n {\displaystyle n} und m {\displaystyle m} zwei ganze Zahlen sind und s = n + m {\displaystyle s=n+m} , ist p = n ⋅ m {\displaystyle p=n\cdot m} ihre Summe und Produkt sind die Rechenregeln für Brüche so gestaltet, dass n 1 + m 1 = s 1 {\displaystyle {\tfrac {n}{1}}+{\tfrac {m}{1}}={\ tfrac {s}{1}}} und n 1 ⋅ m 1 = p 1 {\displaystyle {\tfrac {n}{1}}\cdot {\tfrac {m}{1}}={\tfrac {p} { 1}}} gilt

Außerdem ist ein Bruch aufgrund dieser Identifikation tatsächlich der Quotient aus Zähler und Nenner

In diesem Sinne wird der Bruchstrich auch als gewöhnliches Divisionszeichen anstelle von ÷ {\displaystyle \div } verwendet

Bestellbeziehung

Sie definieren

ab < cd :⟺ ein sgn ⁡ ( b ) abs ⁡ ( d ) < abs ⁡ ( b ) c sgn ⁡ ( d ) {\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d }}\qquad :\Longleftrightarrow \qquad a\Betreibername {sgn}(b)\Betreibername {abs} (d)<\Betreibername {abs} (b)c\Betreibername {sgn}(d)}

mit den bekannten Vergleichszeichen < {\displaystyle <} basierend auf der Anordnung der ganzen Zahlen und Funktionen sgn {\displaystyle \operatorname {sgn} } und abs {\displaystyle \operatorname {abs} }

Diese Definition ist unabhängig von der Kürzung oder Erweiterung der Brüche, da diese immer beide Seiten des rechten < {\displaystyle <} -Zeichens in die gleiche Richtung wirken

Mit b = sgn ⁡ ( b ) = abs ⁡ ( b ) = d = sgn ⁡ ( d ) = abs ⁡ ( d ) = 1 {\displaystyle b=\operatorname {sgn}(b)=\operatorname {abs} ( b)=d=\operatorname {sgn}(d)=\operatorname {abs} (d)=1} folgt unmittelbar, dass < {\displaystyle <} in Z {\displaystyle \mathbb {Z} } mit < { \ displaystyle <} in Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ist kompatibel, sodass dasselbe Zeichen verwendet werden kann

Wenn zwei Paare gleichwertig sind, dann keines von beiden

ab < cd {\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}} cd < ab {\displaystyle {\frac {c}{d}}<{\frac {a }{B}}}

Die Trichotomie der Reihenfolge besagt:

Es gilt genau eine der folgenden Beziehungen: a b < c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}

ein b ∼ c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}\sim {\frac {c}{d}}}

c d < ein b {\displaystyle {\frac {c}{d}}<{\frac {a}{b}}}

Somit sind die rationalen Zahlen ( Q , < ) {\displaystyle (\mathbb {Q} ,<)} eine total geordnete Menge.

→ Die Konstruktion der reellen Zahlen mittels Dedekind-Schnitten basiert auf dieser Ordnungsrelation.

Eigenschaften

Die rationalen Zahlen enthalten eine Teilmenge, die isomorph zu den ganzen Zahlen Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ist (wähle z ∈ Z {\displaystyle z\in \mathbb {Z} } die Bruchdarstellung z 1 {\displaystyle { \tfrac {z}{1}}} )

Vereinfacht ausgedrückt wird dies oft dadurch ausgedrückt, dass die ganzen Zahlen in den rationalen Zahlen enthalten sind

Der Körper Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ist der kleinste Körper, der die natürlichen Zahlen N {\displaystyle \mathbb {N} } enthält

Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ist nämlich das Quotientenfeld des Rings aus ganzen Zahlen Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , der der kleinste Ring ist, der N {\displaystyle \mathbb {N} } enthält

Das bedeutet, dass Q {\displaystyle \mathbb {Q} } der kleinste Teilkörper eines jeden Oberkörpers ist, einschließlich des Körpers R {\displaystyle \mathbb {R} } der reellen Zahlen – und damit dessen Hauptkörper

Und als Primzahlkörper ist Q {\displaystyle \mathbb {Q} } starr, das heißt, sein einziger Automorphismus ist der triviale (die Identität)

Eine reelle Zahl ist genau dann rational, wenn sie algebraisch ersten Grades ist

Somit sind die rationalen Zahlen selbst eine Teilmenge der algebraischen Zahlen A {\displaystyle \mathbb {A} }.

Zwischen (im Sinne der oben definierten Ordnungsbeziehung) zwei rationalen Zahlen ab {\displaystyle {\tfrac {a}{ b}}} und cd {\displaystyle {\tfrac {c}{d}}} gibt es immer eine andere rationale Zahl, zum Beispiel das arithmetische Mittel

ein d + b c 2 b d {\displaystyle {\frac {ad+bc}{2bd}}}

dieser beiden Zahlen, und damit jede Zahl.

Die rationalen Zahlen liegen dicht auf dem Zahlenstrahl, was bedeutet: Jede reelle Zahl (zB jeder Punkt auf dem Zahlenstrahl) kann beliebig genau durch rationale Zahlen approximiert werden.

Trotz die Dichte von Q { \displaystyle \mathbb {Q} } in R {\displaystyle \mathbb {R} } kann es keine Funktion geben, die nur auf den rationalen Zahlen (und auf allen irrationalen Zahlen R ∖ Q {\displaystyle \ mathbb {R} \ !\setminus \!\mathbb {Q} } ist diskontinuierlich) – es funktioniert umgekehrt (für beide Aussagen siehe den Artikel Funktion von Thomae)

Die Menge der rationalen Zahlen ist gleich der Menge der natürlichen Zahlen, also abzählbar

Mit anderen Worten: Es gibt eine bijektive Abbildung zwischen Q {\displaystyle \mathbb {Q} } und N {\displaystyle \mathbb {N} } , die jeder rationalen Zahl q {\displaystyle q} eine natürliche Zahl n {\displaystyle n } und umgekehrt

Cantors erstes Diagonalargument und der Stern-Brocot-Baum liefern solche bijektiven Abbildungen

(Die Existenz gleich mächtiger echter Teilmengen entspricht unendlicher Kardinalität.) → Als abzählbare Menge ist Q {\displaystyle \mathbb {Q} } eine Lebesgue-Nullmenge

Divisionsalgorithmen

Eine rationale Zahl in Form des geordneten Zähler/Nenner-Paares repräsentiert eine nicht durchgeführte Division

Damit ist die rationale Zahl exakt und ohne Genauigkeitsverlust beschrieben, womit man sich in der reinen Mathematik oft begnügt

Aber auch der Vergleich zweier rationaler Zahlen ist viel einfacher, wenn die Division zumindest teilweise als Division mit Rest durchgeführt wird, was zu einer gemischten Zahl führen kann

Eine Teilung gilt als vollständig durchgeführt, wenn die rationale Zahl in einem Stellenwertsystem zu einer bestimmten Basis entwickelt wird

Hierfür wurden verschiedenste Algorithmen entwickelt, die sich grob in drei Gruppen einteilen lassen: Schriftliche Division als Algorithmus zur manuellen Berechnung

Algorithmen zur Verwendung in Computern

Algorithmen für ganze Zahlen fester (und kleiner) Länge

Ganzzahlalgorithmen beliebiger Länge

Beispiele für Letzteres sind

die SRT-Abteilung,

die Goldschmidt-Division und

die Newton-Raphson-Division

Die beiden letztgenannten Methoden bilden zunächst eine Art Kehrwert des Nenners, der dann mit dem Zähler multipliziert wird

Alle Methoden eignen sich auch für kurze Teilungen und werden dort auch eingesetzt

Beispielsweise wurde die SRT-Division zunächst falsch in der Division Unit von Intels Pentium-Prozessor implementiert

Entwicklung von Dezimalbrüchen

Jeder rationalen Zahl kann eine Dezimalerweiterung zugeordnet werden

Rationale Zahlen haben eine periodische Dezimalbrucherweiterung, während irrationale Zahlen eine nichtperiodische haben (was auch für die g {\displaystyle g} -adischen Brucherweiterungen zu anderen Zahlenbasen gilt (anders als 10 {\displaystyle 10}) g ∈ Z ∖ { − 1 , 0 , 1 } {\displaystyle g\in \mathbb {Z} \setminus \{-1,0,1\}} gilt)

Eine endliche (d

h

abschließende) Dezimalerweiterung ist nur ein Sonderfall der periodischen Dezimalerweiterung, bei der die Dezimalziffer 0 oder g − 1 {\displaystyle g-1} periodisch nach der endlichen Ziffernfolge wiederholt wird

See also  Best Choice hp digital imaging monitor Update

Der Punkt (der sich wiederholende Teil) ist mit einem Überstrich gekennzeichnet (in vielen Ländern, aber international nicht einheitlich)

Beispiele sind:

1 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}} = 0,3 ¯ {\displaystyle =0.{.}{\overline {3}}} = 0,333 33 … {\displaystyle =0,33333 \dotso } = [ 0 , 01 ¯ ] 2 {\displaystyle =\left[0{,}{\overline {01}}\right]_{2}} 9 7 {\displaystyle {\tfrac {9}{7 }}} = 1,285714 ¯ {\displaystyle =1.}{\overline {285714}}} = 1,285 714 285714 … {\displaystyle =1,285714\ 285714\dotso } = [ 1. 010 ¯ ] 2 {\displaystyle =\left[1{,} {\overline {010}}\right]_{2}} 1 5 {\displaystyle {\tfrac {1}{5}}} = 0 , 2 0 ¯ = 0. 1 9 ¯ {\displaystyle =0.2{\ overline {0}}=0.1{\overline {9}}} = 0.200 00 … = 0.199 99 … {\displaystyle =0{, }20000\dotso =0{.}19999\dotso } = [ 0 , 0011 ¯ ] 2 {\displaystyle =\left[0{,}{\overline {0011}}\right]_{2}} 1 2 { \displaystyle {\tfrac {1}{2}}} = 0,5 0 ¯ = 0,4 9 ¯ {\displaystyle =0,5{\overline {0}}=0,4{\overline {9}}} = 0,500 00 … = 0,499 99 … {\displaystyle =0,50000\dotso =0,49999\dotso } = [ 0 , 1 0 ¯ ] 2 = [ 0 , 0 1 ¯ ] 2 {\displaystyle =\left[0{,}1{\overline {0}}\right]_{2}=\left[0{, }0{\overline { 1}}\rig ht]_{2}} 1 = 1 1 {\displaystyle 1={\tfrac {1}{1}}} = 1. 0 ¯ = 0. 9 ¯ {\displaystyle =1.{\bar{0}} =0.{\bar{9}}} = 1,000 00 … = 0,999 99 … {\displaystyle =1,00000\dotso =0,99999 \dotso } = [ 1 , 0 ¯ ] 2 = [ 0 , 1 ¯ ] 2 {\displaystyle =\left[1{,}{\overline {0}}\right]_{2}=\left[0{ ,}{\overline {1}}\right]_{2}}

Die entsprechenden Erweiterungen im Binärsystem (Basis g = 2 {\displaystyle g=2} ) sind in eckigen Klammern angegeben

Die endliche Dezimalzahl bzw

Binäre Bruchentwicklungen sind genau solche, die mindestens zwei wesentlich unterschiedliche Entwicklungen haben (siehe auch § Darstellung rationaler Zahlen)

Sie gehören zu jenen Brüchen, deren gekürzter Nenner d {\displaystyle d} mit einer Potenz g r {\displaystyle g^{r}} der Basis ansteigt, sodass der Primfaktor von g {\displaystyle g} n | d {\displaystyle n|d} ergibt 1 {\displaystyle 1}

Zur Unterscheidung von den folgenden Fällen mit n > 1 {\displaystyle n>1} (und nicht terminierender Erweiterung) wird der Periodenlänge einer solchen terminierenden Erweiterung 0 {\displaystyle 0} zugewiesen

Nach dem Satz von Euler gilt für einen Nenner n ∈ N > 1 {\displaystyle n\in \mathbb {N} _{>1}} und eine teilerfremde Basis g ∈ N {\displaystyle g\in \mathbb {N} }

g φ ( n ) ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle g^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}

mit Eulers Phi-Funktion φ {\displaystyle \varphi }

Die Periodenlänge von 1 / n {\displaystyle 1/n} ist die Ordnung l := ord n ​​​​⁡ ( g ) {\displaystyle l:=\operatorname {ord} _{n}(g)} des Residuums Klasse [ g ] { \displaystyle \left[g\right]} in der Einheitsgruppe ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} von der Restklassenring Z / n Z { \displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } modulo n {\displaystyle n}

Nach dem Satz von Lagrange teilt l {\displaystyle l} die Gruppenordnung φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} und ist daher nicht größer als diese

Die Carmichael-Funktion λ ( n ) {\displaystyle \lambda (n)} ist definiert als die maximale Elementreihenfolge in ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{ \times }} , ist also auch ein Faktor von φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} , und er gilt für alle g , n {\displaystyle g,n}

ord n ​​​​⁡ ( g ) | λ ( n ) | φ ( n ) {\displaystyle \operatorname {ord} _{n}(g)\;|\;\lambda (n)\;|\;\varphi (n)}

Die Nummer

x := ( g l − 1 ) / n {\displaystyle x:=(g^{l}-1)/n}

ist ganzzahlig, positiv und < gl {\displaystyle

x ⋅ ∑ ich = 1 ∞ ( gl ) − ich = xgl − 1 = 1 n {\displaystyle x\cdot \sum _{i=1}^{\infty }\left(g^{l}\right)^ {-i}={\frac {x}{g^{l}-1}}={\frac {1}{n}}}

Das obige Beispiel 1/3 hat die Periodenlänge ord 3 ⁡ ( 10 ) = 1 {\displaystyle \operatorname {ord} _{3}(10)=1} und die Ziffernfolge x = 3 ¯ {\displaystyle x= {\overline {3}}} und mit der Basis g = 2 {\displaystyle g=2} die Periodenlänge ord 3 ⁡ ( 2 ) = 2 {\displaystyle \operatorname {ord} _{3}(2)=2 } und der Ziffernfolge x = 01 ¯ {\displaystyle x={\overline {01}}\;}.

Bei gegebenem Nenner n > 1 {\displaystyle n>1} ergibt sich die Periodenlänge l := ord n ​​⁡ ( g ) = λ ( n ) = φ ( n ) {\displaystyle l:=\operatorname {ord} _{n}(g)=\lambda (n)=\varphi (n)} wenn und nur wenn die Basis g {\displaystyle g} eine primitive Wurzel modulo n {\displaystyle n} ist

Primitivwurzeln gibt es nur, wenn die Primzahlrestklassengruppe ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} zyklisch ist, also wenn n ∈ { 2 , 4 , pr , 2pr | 2 < p ∈ P ; r ∈ N } {\displaystyle n\in \{2,4,p^{r},2p^{r}\;\;|\;\;2

Andernfalls ist λ ( n ) {\displaystyle \lambda (n)} und die Periodenlänge l {\displaystyle l} ein echter Teiler von φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)\quad }.

Die folgende Tabelle gibt es am Beispiel der Basen g = 2 , 3 , 5 {\displaystyle g=2,3,5} und 10 {\displaystyle 10} eine Impression, für deren Nenner n {\displaystyle n} die Periodenlänge (mit passendem Zähler) maximal ist (fett gesetzt)

Beispielsweise haben die Dezimalentwicklungen der Kehrwerte der Primzahlen n = 7 , 17 , 19 , 23 , 29 {\displaystyle n=7,17,19,23,29} die Periodenlänge λ ( n ) = φ ( n ) = n − 1 = 6 , 16 , 18 , 22 , 28 {\displaystyle \lambda (n)=\varphi (n)=n-1=6,16,18,22,28}

Für die zusammengesetzten Zahlen n = 12 , 15 , 21 , 33 , 35 {\displaystyle n=12,15,21,33,35} ist die maximale Ordnung n ​​⁡ ( g ) ≤ φ ( n ) / 2 {\displaystyle \ operatorname {ord} _{n}(g)\leq \varphi (n)/2} ; für sie sind die Werte für φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} und λ ( n ) {\displaystyle \lambda (n)} kursiv geschrieben

Die ungünstigste Periodenlänge ist in O ( n ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(n)} , während die Länge (auch in der Vergleichstabelle angegeben) len g ⁡ ( n ) {\displaystyle \scriptstyle \ operatorname {len} _{g}(n)} der Zahl n {\displaystyle n} im g {\displaystyle g} -adischen Zahlensystem in O ( log ⁡ n ) {\displaystyle {\mathcal {O}} (\log n )} liegt

Der Kehrwert 1/802787 der Primzahl 802787 erfordert mindestens 802786 Bits im Binärsystem und mindestens 401393 Ziffern im Dezimalsystem – zu viele, um sie hier darzustellen

n {\displaystyle \textstyle n} 3 5 7 9 11 12 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 802787 φ ( n ) {\displaystyle \textstyle \varphi (n)} 2 4 6 6 10 4 12 8 16 18 12 22 20 18 28 30 20 24 36 802786 λ ( n ) {\displaystyle \textstyle \lambda (n)} 2 4 6 6 10 2 12 4 16 18 6 22 20 18 28 30 10 12 36 802786 ord n ​​⁡ ( 2 ) {\displaystyle \textstyle \operatorname {ord} _{n}(2 )} 2 4 3 6 10 – 12 4 8 18 6 11 20 18 28 5 10 12 36 802786 len 2 ⁡ ( n ) {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {len} _{2}(n)} 2 3 3 4 4 – 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 20 ord n ​​​​⁡ ( 3 ) {\displaystyle \ textstyle \operatorname {ord} _{n}(3)} – 4 6 – 5 – 3 – 16 18 – 11 20 – 28 30 – 12 18 401393 len 3 ⁡ ( n ) {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {len} _{3}(n)} – 2 2 – 3 – 3 – 3 3 – 3 3 – 4 4 – 4 4 13 ord n ​​​​⁡ ( 5 ) {\displaystyle \textstyle \operatorname {ord } _{n} (5)} 2 – 6 6 5 2 4 – 16 9 6 22 – 18 14 3 10 – 36 802786 len 5 ⁡ ( n ) {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {len} _{5}( n)} 1 – 2 2 2 2 2 – 2 2 2 2 – 3 3 3 3 – 3 9 ord n ​​​​⁡ ( 10 ) {\displaystyle \textstyle \operatorname {ord} _{n}(10)} 1 – 6 1 2 – 6 – 16 18 6 22 – 3 28 15 2 – 3 401393 len 10 ⁡ ( n ) {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {len} _{10}(n)} 1 – 1 1 2 – 2 – 2 2 2 2 – 2 2 2 2 – 2 6

S

a

der Algorithmus für die g {\displaystyle g} -adische Erweiterung einer rationalen Zahl für jede Basis g ∈ N > 1 {\displaystyle g\in \mathbb {N} _{>1}\;}.

Siehe auch

Wiktionary: Begründung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

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25/03/2022 · Die Zahl der Firmeninsolvenzen ist in Deutschland 2021 erneut gesunken. Insgesamt meldeten im vergangenen Jahr 13.991 Unternehmen eine Insolvenz an. Damit verringerten sich die Firmenpleiten im …

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CRIF Ltd

Unternehmensinsolvenzen in Deutschland sind auf den niedrigsten Stand seit Einführung der neuen Insolvenzordnung im Jahr 1999 gesunken

Hamburg (ots)

Die Zahl der Unternehmensinsolvenzen in Deutschland ist im Jahr 2021 erneut gesunken

Insgesamt meldeten im vergangenen Jahr 13.991 Unternehmen Insolvenz an

Damit gingen die Unternehmensinsolvenzen im Vergleich zum Vorjahreszeitraum um 11,8 Prozent zurück (2020: 15.865 Unternehmensinsolvenzen)

Durch den mittlerweile zwölften Rückgang in Folge sind die Unternehmensinsolvenzen im Jahr 2021 auf einen neuen Tiefststand seit Einführung der aktuellen Insolvenzordnung im Jahr 1999 gesunken

Im Vergleich zum bisherigen Rekord-Insolvenzjahr 2003, in dem es noch 39.320 Unternehmensinsolvenzen gab in Deutschland ist die Zahl der Insolvenzen 2021 um fast zwei Drittel gesunken (minus 64,4 Prozent)

„Das Jahr 2021 war in Sachen Insolvenzen weiterhin von Sonderregelungen geprägt“, kommentiert CRIF Deutschland Geschäftsführer Dr

Frank Schlein die aktuellen Zahlen

Denn: Die von Anfang März 2020 bis Ende 2020 ausgesetzte Insolvenzantragspflicht für überschuldete Unternehmen infolge der Corona-Pandemie galt bis Ende April 2021 für Unternehmen weiter, für die die die seit dem 1

November 2020 geplante Auszahlung der staatlichen Beihilfen war noch nicht abgeschlossen

Darüber hinaus gab es Ausnahmen für Unternehmen, die im Sommer 2021 Schäden durch Starkregen oder Überschwemmungen erlitten hatten

„Der Krieg in der Ukraine wird die geopolitischen und wirtschaftlichen Rahmenbedingungen insbesondere für Europa grundlegend verändern

Die Wirtschaft in Deutschland wird deutlich negativ betroffen sein auswirkungen Die Sanktionen beispielsweise gegen Russland haben negative Folgen für die Lieferketten und für die exportorientierte deutsche Wirtschaft, daher gehen wir davon aus, dass die Zahl der Unternehmensinsolvenzen im Jahr 2022 zunehmen wird welche Insolvenzfälle in Deutschland betroffen sein werden”, sagt Schlein

Die Schadenssumme durch Unternehmensinsolvenzen ist 2021 trotz sinkender Fallzahlen gestiegen

Die Insolvenzschäden beliefen sich im vergangenen Jahr auf 48,3 Milliarden Euro

Im Vergleich zum Vorjahr ist das ein Plus von 9,5 Prozent (2020: 44,1 Milliarden Euro)

Im Durchschnitt bedeutet das Forderungsausfälle von fast 3,45 Millionen Euro pro Insolvenz

Verantwortlich für diesen starken Anstieg sind mehrere Zusammenbrüche wirtschaftlich bedeutender Unternehmen

Die höchste Insolvenzdichte gab es 2021 mit 110 Insolvenzen je 10.000 Unternehmen in Bremen

Der nationale Durchschnitt lag bei 46 Insolvenzen pro 10.000 Unternehmen

Über diesem Wert rangieren neben Bremen auch Berlin (82 Insolvenzen je 10.000 Unternehmen), Nordrhein-Westfalen (65), das Saarland und Hamburg (je 57), Sachsen-Anhalt (49) und Hessen (47)

Die wenigsten Unternehmenspleiten gab es 2021 in Brandenburg und Thüringen mit 31 Insolvenzen je 10.000 Unternehmen

Aber auch in Bayern (32) mussten vergleichsweise wenige Unternehmen Insolvenz anmelden

Die Unternehmensinsolvenzen gingen 2021 in allen Bundesländern zurück

Allen voran Brandenburg (minus 24,4 Prozent), Sachsen-Anhalt (minus 19 Prozent) und Rheinland-Pfalz (minus 18,2 Prozent)

Originalinhalt von: CRIF GmbH, übermittelt durch news aktuell

Zahlenland Zahl 10 mit Ute und Susanne Update

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Sozialleistungen: Zahl der Menschen mit Grundsicherung auf … New Update

09/03/2022 · Die Zahl der Menschen, die in Brandenburg eine staatliche Grundsicherung erhalten, hat den höchsten Stand seit ihrer Einführung 2005 erreicht. Leistungen im Alter und bei Erwerbsminderung …

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Die Zahl der Bezieher staatlicher Grundsicherung in Brandenburg hat den höchsten Stand seit ihrer Einführung im Jahr 2005 erreicht

Im September vergangenen Jahres bezogen insgesamt 26.185 Frauen und Männer Leistungen im Alter und bei Erwerbsminderung der linken Fraktion im Bundestag, unter Berufung auf Informationen des Statistischen Bundesamtes

Im Jahr 2005 erhielten in Brandenburg nur 13.517 Menschen Grundsicherung

Die Zahl der Grundsicherungsempfänger in Brandenburg hat den höchsten Stand seit ihrer Einführung im Jahr 2005 erreicht

Im September vergangenen Jahres bezogen insgesamt 26.185 Frauen und Männer Leistungen im Alter und bei Erwerbsminderung der linken Fraktion im Bundestag, unter Berufung auf Informationen des Statistischen Bundesamtes

2005 erhielten nur 13.517 Brandenburger Grundsicherung

Nach Informationen, die die Fraktion auf Anfrage bei der Bundesbehörde erhalten hat, erhielten im September vergangenen Jahres 17.590 Brandenburger im Alter zwischen 18 und dem Rentenalter eine Grundsicherung

Das sind rund 4.000 mehr als 2005

Die Zahl der Rentner stieg in diesem Zeitraum von knapp 4.900 auf 8.595, die Zahl der Männer mit Grundsicherung stieg in diesem Zeitraum um fast das Zweieinhalbfache – von rund 6.500 auf 15.540

Darin enthalten sind Leistungen zur Sicherung des Lebensunterhalts, die Kosten der Unterkunft und allfällige Mehrbedarfe

Die Vorsitzende der Linkspartei in Brandenburg, Katharina Slanina, nannte die statistischen Angaben einen „traurigen Rekord für Brandenburg“

Die Zahlen könnten in den kommenden Jahren weiter steigen, sagte sie der dpa

„Wir brauchen höhere Löhne und höhere Renten

Die Landesregierung muss Druck auf die Bundesregierung ausüben.“ Das Rentenniveau und die Grundsicherung müssten angehoben werden, um die steigenden Preise für Energie und Lebensmittel abzufedern.

handelnde Einführung in den Zahlenraum 10 für Eltern: Menge-Zahl Zuordnung, erstes Rechnen Update

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Primzahl – Wikipedia Update New

Eine Primzahl (von lateinisch numerus primus ‚erste Zahl‘) ist eine natürliche Zahl, die größer als 1 und ausschließlich durch sich selbst und durch 1 teilbar ist. Dabei bedeutet primus speziell „Anfang, das Erste (der Dinge)“, sodass eine „Anfangszahl“ gemeint ist, die aus keiner anderen natürlichen Zahl multiplikativ konstruiert werden kann.

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P {\displaystyle \mathbb {P}}

Natürliche Zahlen von 0 bis 100; die Primzahlen sind rot markiert

Eine Primzahl (von lat

numerus primus ‚erste Zahl‘) ist eine natürliche Zahl, die größer als 1 und nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist

Primus bedeutet hier konkret „Anfang, das Erste (der Dinge)“,[1] damit ist eine “Anfangszahl” gemeint, die aus keiner anderen natürlichen Zahl multiplikativ aufgebaut werden kann.[2]

Die Menge der Primzahlen wird normalerweise mit dem Symbol P {\displaystyle \mathbb {P} } bezeichnet

Mit P {\displaystyle \mathbb {P} } verknüpft ist die Folge ( pn ) n ∈ N {\displaystyle \left(p_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }} entsprechend ihrer Größe geordnete Primzahlen, die auch als Primzahlenfolge bezeichnet werden

Dementsprechend ist es

N ⊃ P = { p n ∣ n ∈ N } {\displaystyle \mathbb {N} \supset \mathbb {P} =\{p_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}

mit

( pn ) n ∈ N = ( 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , … ) {\displaystyle \left(p_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(2,3,5,7,11,13, 17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,\dotsc\right)} A000040 in OEIS)

Die Zahl 12 ist keine Primzahl, aber die Zahl 11 ist.

Primzahlenfolge in der Teilerfläche

Die Bedeutung der Primzahlen P {\displaystyle \mathbb {P} } für viele Bereiche der Mathematik beruht auf drei Konsequenzen ihrer Definition: Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl, die größer als 1 ist und selbst keine Primzahl ist, lässt sich als Produkt von mindestens zwei Primzahlen schreiben

Diese Produktdarstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig

Dies dient als Beweis

Jede natürliche Zahl, die größer als 1 ist und selbst keine Primzahl ist, kann als Produkt von mindestens zwei Primzahlen geschrieben werden

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Diese Produktdarstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig

Als Beweis dient das Lemma von Euklid: Wenn ein Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar ist, dann ist mindestens einer der Faktoren durch sie teilbar

Wenn ein Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar ist, dann ist mindestens einer der Faktoren durch sie teilbar

Primzahlen können nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen dargestellt werden, die beide größer als 1 sind

Diese Eigenschaften werden in der Algebra zur Verallgemeinerung des Konzepts der Primzahlen verwendet

Eine Zahl, die das Produkt von zwei oder mehr Primfaktoren ist, wird zusammengesetzt genannt

Die Zahl 1 ist weder prim noch zusammengesetzt, was mit ihrer Invertierbarkeit zusammenhängt

Alle anderen natürlichen Zahlen sind eine von zwei, entweder Primzahlen (d

h

Primzahlen) oder zusammengesetzt

Schon im antiken Griechenland interessierten sich Menschen für Primzahlen und entdeckten einige ihrer Eigenschaften

Obwohl Primzahlen seit jeher eine große Anziehungskraft auf Menschen ausüben, sind bis heute viele Fragen rund um Primzahlen ungeklärt, darunter auch solche, die mehr als hundert Jahre alt und einfach zu formulieren sind

Dazu gehören die Goldbachsche Vermutung, wonach jede gerade Zahl außer 2 als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist, und die Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge (d

h

Paare von Primzahlen, deren Differenz gleich 2 ist) gibt

Primzahlen und ihre Eigenschaften spielen in der Kryptographie mit, denn Primfaktoren lassen sich auch mit dem Aufkommen elektronischer Rechenmaschinen nicht wirklich effizient finden

Andererseits ermöglichen diese Maschinen eine effiziente Verschlüsselung und, wenn man den Schlüssel kennt, eine Entschlüsselung langer Texte.

Eigenschaften von Primzahlen [Bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Innerhalb der Menge der natürlichen Zahlen N {\displaystyle \mathbb {N} } sind die Primzahlen dadurch gekennzeichnet, dass jede von ihnen genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat.[3]

Mit Ausnahme der Zahl 2 sind alle Primzahlen ungerade, denn alle größeren geraden Zahlen lassen sich nicht nur durch sich selbst und 1, sondern (mindestens) auch durch 2 teilen

Jede Primzahl außer 2 hat die bilde 2 k + 1 {\displaystyle 2k+1} mit einer natürlichen Zahl k {\displaystyle k}.

Jede Primzahl p ≠ 2 {\displaystyle p

eq 2} kann einer der beiden Klassen „Primzahl der Form 4 k + 1 {\displaystyle 4k+1} “ oder „Primzahl der Form 4 k + 3 {\displaystyle 4k+3} “ zugeordnet werden

wobei k {\displaystyle k } eine natürliche Zahl ist

Jede Primzahl p ≠ 3 {\displaystyle p

eq 3} kann auch einer der beiden Klassen „Primzahl der Form 3 k + 1 {\displaystyle 3k+1} “ oder „Primzahl der Form 3 k + 2 {\displaystyle 3k+2} “ zugeordnet werden

, wobei k {\displaystyle k} eine natürliche Zahl ist

Außerdem hat jede Primzahl p > 3 {\displaystyle p>3} die Form p = 6 k + 1 {\displaystyle p=6k+1} oder p = 6 k − 1 {\displaystyle p=6k-1} , wobei k {\displaystyle k} eine natürliche Zahl ist

Außerdem endet jede Primzahl p > 5 {\displaystyle p>5} mit einer der vier Dezimalziffern 1 , 3 , 7 {\displaystyle 1,3,7} oder 9 {\displaystyle 9}

Nach dem Primzahlsatz von Dirichlet gibt es in jeder dieser Klassen unendlich viele Primzahlen

Jede natürliche Zahl der Form 4 m + 3 {\displaystyle 4m+3} mit einer nicht negativen ganzen Zahl m {\displaystyle m} enthält mindestens einen Primfaktor der Form 4 k + 3 {\displaystyle 4k+3}

Eine entsprechende Aussage über Zahlen der Form 4 m + 1 {\displaystyle 4m+1} oder Primfaktoren der Form 4 k + 1 {\displaystyle 4k+1} ist nicht möglich

Eine Primzahl p > 2 {\displaystyle p>2} kann in der Form a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} mit ganzen Zahlen a , b {\displaystyle a,b geschrieben werden } genau dann, wenn p {\displaystyle p} die Form 4 k + 1 {\displaystyle 4k+1} hat (Zwei-Quadrate-Theorem)

In diesem Fall ist die Darstellung im Wesentlichen eindeutig, d

H

außer der Reihenfolge und dem Vorzeichen von a , b {\displaystyle a,b}

Diese Darstellung entspricht der Primfaktoranalyse

p = ( ein + b ich ) ( ein – – b ich ) {\ displaystyle p = (a + b \ mathrm {i} ) (a-b \ mathrm {i} )}

im Ring der Gaußschen ganzen Zahlen

Die Zahl −1 ist ein quadratischer Rest modulo einer beliebigen Primzahl der Form 4 k + 1 {\displaystyle 4k+1} und ein quadratischer Nichtrest modulo einer beliebigen Primzahl der Form 4 k + 3 {\displaystyle 4k+3 }.

Eine Primzahl p > 3 {\displaystyle p>3} kann dann eindeutig in der Form a 2 + 3 b 2 {\displaystyle a^{2}+3b^{2 }} mit ganzen Zahlen a , schreibe b {\displaystyle a,b} wenn p {\displaystyle p} die Form 3 k + 1 {\displaystyle 3k+1} hat.[4]

Wenn eine Zahl n > 1 {\displaystyle n>1} durch keine Primzahl 2 ≤ p ≤ n {\displaystyle 2\leq p\leq {\sqrt {n}}} teilbar ist, dann ist es n {\displaystyle n} eine Primzahl (Siehe den Abschnitt Primzahltests und den Artikel Trial Division)

Der kleine Satz von Fermat [bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

→ Hauptartikel: Satz von Little Fermat

Sei p {\displaystyle p} eine Primzahl

Für jede ganze Zahl a {\displaystyle a} , die nicht durch p {\displaystyle p} teilbar ist, gilt (zur Notation siehe Kongruenz):

ein p − 1 ≡ 1 mod p

{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1\mod p.}

Für Zahlen a {\displaystyle a}, die nicht durch p {\displaystyle p} teilbar sind, gilt folgende Formulierung:

ein p ≡ ein mod p

{\displaystyle a^{p}\equiv a\mod p.}

Es gibt Zahlen n {\displaystyle n}, die keine Primzahlen sind, sich aber dennoch wie Primzahlen zur Basis a {\displaystyle a} verhalten, also an − 1 ≡ 1 mod n {\displaystyle a^{ n-1}\equiv 1{\bmod {n}}}

Solche n {\displaystyle n} heißen Fermat-Pseudoprimzahlen mit der Basis a {\displaystyle a}

Eine n {\displaystyle n} , die Fermats Pseudoprimzahl in Bezug auf alle teilerfremden Basen a {\displaystyle a} ist, wird als Carmichael-Zahl bezeichnet.

In diesem Zusammenhang wird das Problem der Fermatschen Pseudoprimzahlen deutlich: Sie werden durch einen Primzahltest, der den kleinen Satz von Fermat verwendet (Fermatscher Primzahltest), mit Primzahlen verwechselt

Verwendet ein Verschlüsselungsverfahren wie RSA jedoch statt einer Primzahl eine zusammengesetzte Zahl, ist die Verschlüsselung nicht mehr sicher

Daher müssen in solchen Schemata bessere Primzahltests verwendet werden

Euler und das Legendre-Symbol [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Eine einfache Konsequenz aus Fermats kleinem Satz ist die folgende Aussage: Für jede ungerade Primzahl p {\displaystyle p} und jede ganze Zahl a {\displaystyle a}, die auch nicht durch p {\displaystyle p} teilbar ist

ein p − 1 2 ≡ 1 mod p {\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1\mod p}

oder

ein p − 1 2 ≡ − 1 mod p

{\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1\mod p.}

Man kann zeigen, dass der erste Fall genau dann eintritt, wenn es eine zu a {\displaystyle a} modulo p {\displaystyle p} kongruente Quadratzahl m 2 {\displaystyle m^{2}} gibt, siehe Legendre-Symbol.

Für Primzahlen gilt p {\displaystyle p} und 1 ≤ k < p {\displaystyle 1\leq k

p | ( pk ) ; {\displaystyle p\,{\Big |}{p \choose k};}

zusammen mit dem Binomialsatz folgt

( ein + b ) p ≡ ein p + b p mod p

{\displaystyle (a+b)^{p}\equiv a^{p}+b^{p}\mod p.}

Für ganze Zahlen a , b {\displaystyle a,b} folgt diese Aussage ebenfalls direkt aus dem kleinen Satz von Fermat, gilt aber beispielsweise auch für Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten; im allgemeinen Zusammenhang entspricht es der Tatsache, dass die Abbildung x ↦ xp {\displaystyle x\mapsto x^{p}} in Ringen der Eigenschaft p {\displaystyle p} ein Homomorphismus ist, der sogenannte Frobenius-Homomorphismus

Aus dem Satz von Wilson ( p {\displaystyle p} ist genau dann eine Primzahl, wenn ( p − 1 ) ! ≡ − 1 ( mod p ) {\displaystyle (p-1)!\equiv -1{\pmod {p }}} ist) folgt, dass für jede Primzahl p {\displaystyle p} und jede natürliche Zahl n {\displaystyle n} die Kongruenz gilt

( n p − 1 p − 1 ) ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle {{np-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\pmod {p}}}

erfüllt

Charles Babbage bewies 1819, dass für jede Primzahl p > 2 {\displaystyle p>2} diese Kongruenz gilt:

( 2 p − 1 p − 1 ) ≡ 1 ( mod p 2 ) {\displaystyle {{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}

Der Mathematiker Joseph Wolstenholme (1829–1891) bewies dann 1862, dass für jede Primzahl p > 3 {\displaystyle p>3} folgende Kongruenz gilt:

( 2 p − 1 p − 1 ) ≡ 1 ( mod p 3 ) {\displaystyle {{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}}

Aus dem kleinen Satz von Fermat folgt, dass für eine Primzahl p {\displaystyle p} gilt:

1 p − 1 + 2 p − 1 + ⋯ + ( p − 1 ) p − 1 ≡ − 1 ( mod p ) {\displaystyle 1^{p-1}+2^{p-1}+\dotsb +( p-1)^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}}

Beispiel p = 5 {\displaystyle p=5} :

1 4 + 2 4 + 3 4 + 4 4 = 1 + 16 + 81 + 256 = 354 = 71 ⋅ 5 − 1 ≡ − 1 ( mod 5 ) {\displaystyle 1^{4}+2^{4}+3 ^{4}+4^{4}=1+16+81+256=354=71\cdot 5-1\equiv -1{\pmod {5}}}

Giuseppe Giuga ging davon aus, dass auch die umgekehrte Richtung gilt, dass also eine Zahl mit dieser Eigenschaft immer eine Primzahl ist

Es ist nicht klar, ob diese Annahme richtig ist

Es ist jedoch bekannt, dass ein Gegenbeispiel mehr als 10.000 Dezimalstellen haben müsste

Im Kontext von Giugas Vermutung werden die Giuga-Zahlen untersucht

Lineare Rekursionen [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Fermats kleiner Satz kann auch in der Form gelesen werden: In der Folge an − a {\displaystyle a^{n}-a} ist das p {\displaystyle p} -te Folgenelement für eine Primzahl p {\displaystyle p} immer teilbar durch p {\displaystyle p}

Andere Folgen mit exponentiellem Charakter haben ähnliche Eigenschaften, wie die Lucas-Folge ( p ∣ L p − 1 {\displaystyle p\mid L_{p}-1} ) und die Perrin-Folge ( p ∣ P p {\displaystyle p \mid P_{p}} )

Analoge, aber kompliziertere Aussagen gelten für andere lineare Rekursionen, zum Beispiel für die Fibonacci-Folge ( fn ) n = 0 , 1 , 2 , … = 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , … {\displaystyle (f_{n })_{n=0,1,2,\dotsc }=0,1,1,2,3,5,\dotsc } : Wenn p {\displaystyle p} eine Primzahl ist, dann ist fp − ( p 5 ) {\displaystyle f_{p}-{\Big (}{\frac {p}{5}}{\Big )}} teilbar durch p {\displaystyle p}; Gibt es

( p 5 ) = { 1 p ≡ 1,4 mod 5 − 1 p ≡ 2,3 mod 5 0 p = 5 {\displaystyle {\Big (}{\frac {p}{5}}{\Big )} ={\begin {Fälle}1&p\equiv 1.4\mod 5\\-1&p\equiv 2.3\mod 5\\0&p=5\end{cases}}}

das Legendre-Symbol

Divergenz der Summe der Kehrwerte [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Die Reihe der Kehrwerte von Primzahlen ist divergent

Daher:

∑ ich = 1 ∞ 1 pi = 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 11 + ⋯ = ∞ {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{p_ {i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+ {\frac {1}{11}}+\dotsb =\infty }

Dies entspricht der Aussage, dass an = ∑ i = 1 n 1 pi {\displaystyle \textstyle a_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{p_{ i} }}} definierte Folge hat keine endliche Grenze, was wiederum bedeutet, dass, wenn n {\displaystyle n} groß genug gewählt wird, jede erdenkliche reelle Zahl überschritten werden kann

Das ist zunächst einmal erstaunlich, da die Primzahllücken im Durchschnitt immer weiter zunehmen

Der Satz von Mertens macht eine Aussage über das genaue Wachstumsverhalten dieser divergierenden Reihe

→ Hauptartikel: Primzahltest

Mit einem Primzahltest kann man herausfinden, ob eine natürliche Zahl eine Primzahl ist

Es gibt mehrere solcher Methoden, die auf speziellen Eigenschaften von Primzahlen beruhen

In der Praxis wird am häufigsten der Miller-Rabin-Test verwendet, der eine extrem kurze Laufzeit hat, aber mit geringer Wahrscheinlichkeit falsch-positive Ergebnisse liefert

Mit dem AKS-Primzahltest ist es möglich, ohne Fehlerrisiko in polynomieller Zeit über die Primzahl zu entscheiden

In der Praxis ist er jedoch deutlich langsamer als der Miller-Rabin-Test

Herauszufinden, ob eine natürliche Zahl eine Primzahl ist oder nicht, kann sehr zeitaufwändig sein

Allerdings lässt sich für jede Primzahl eine Kette von Behauptungen angeben, die alle sofort nachvollziehbar sind, zusammen die Primzahl beweisen und deren Gesamtlänge höchstens proportional zum Quadrat der Länge der Primzahl ist.[5][6] Ein solcher Nachweis wird als Primzahlzertifikat bezeichnet.[7] Bei einer zusammengesetzten Zahl (Nicht-Primzahl) wird der Unterschied zwischen Beweis und Beweisfindung noch deutlicher: Als Beweis genügen zwei Faktoren, deren Produkt die zusammengesetzte Zahl ergibt; aber einen wahren Teiler zu finden, kann sehr mühsam sein.

Größte bekannte Primzahl [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Im vierten Jahrhundert v

Chr

argumentierte der Grieche Euklid logisch, dass es unendlich viele Primzahlen gibt; diese Aussage wird als Satz von Euklid bezeichnet

Euklid bewies die Richtigkeit dieses Satzes durch Widerspruch (Elemente, Buch IX, § 20): Ausgehend von der Annahme, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt, lässt sich eine andere Zahl konstruieren, die eine bisher unbekannte Primzahl als Teiler hat oder selbst ist eine Primzahl, was der Annahme widerspricht

Eine endliche Menge kann also nie alle Primzahlen enthalten, also gibt es unendlich viele

Heute kennen wir eine ganze Reihe von Beweisen für den Satz von Euklid.[8]

Der Satz von Euklid besagt, dass es keine größte Primzahl gibt

Allerdings ist kein Verfahren bekannt, das effizient beliebig große Primzahlen erzeugt – weshalb es immer eine größte bekannte Primzahl gibt, seit sich Menschen mit Primzahlen beschäftigen

Aktuell (Stand Dezember 2018) ist es 2 82.589.933 − 1 , {\displaystyle 2^{82.589.933}-1,} eine Zahl mit 24.862.048 (Dezimal-)Stellen berechnet am 7

Dezember 2018

Der Entdecker Patrick Laroche erhielt 3.000 US-Dollar von das Projekt Great Internet Mersenne Prime Search, das mithilfe von verteiltem Rechnen nach Mersenne-Primzahlen sucht.[9] Die größte bekannte Primzahl war fast immer eine Mersenne-Primzahl, also von der Form 2 n − 1 , {\displaystyle 2^{n}-1,} da der Lucas-Lehmer-Test in diesem Spezialfall a in verwendet werden kann Vergleich zur allgemeinen Situation sehr schneller Primzahltest

Daher werden bei der Suche nach großen Primzahlen nur Zahlen dieses oder ähnlich geeigneten Typs auf Primzahl untersucht

Liste der Rekord-Primzahlen nach Jahr [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Nummer Nummer von

Dezimalziffern Jahr Discoverer (Computer verwendet) 217−1 6 1588 Cataldi 219−1 6 1588 Cataldi 231−1 10 1772 Euler (259−1)/179.951 13 1867 Landry 2127−1 39 1876 Lucas (2148+1)/17 44 1951 Ferrier 180 (2127−1)2+1 79 1951 Miller & Wheeler (EDSAC1) 2521−1 157 1952 Robinson (SWAC) 2607−1 183 1952 Robinson (SWAC) 21.279−1 386 1952 Robinson (SWAC) 22.203−1 664 1952 Robinson (SWAC) 22.281−1 687 1952 Robinson (SWAC) 23.217−1 969 1957 Riesel (BESK) 24.423−1 1.332 1961 Hurwitz (IBM7090) 29.689−1 2.917 1963 Gillies (ILLIAC 2) 29.943−1 2) 211.213−1 3.376 1963 Gillies (ILLIAC 2) 219.937−1 6.002 1971 Tuckerman (IBM360/91) 221.701−1 6.533 1978 Noll & Nickel (CDC Cyber ​​​​174) 223.209−1 6.987 1979 Noll (CD

Cyber ​​74C ) 4,4−17,4CDC 9724 13,395 1979 Nelson & Slowinski (Cray 1) 286,243−1 25,962 1982 Slowinski (Cray 1) 2132,049−1 39,751 1983 Slowinski (Cray X-MP) 2216,091−1 65,050 198 392.3.1−14) 65.087 1989 “Amdahl Six” (Amdahl 1200) 2756.839−1 227.832 19 92 Sl Owinski & Gage (Cray 2) 2859,433-1 258.716 1994 Slowinski & Gage (Cray C90) 21.257,787-1 378.632 1996 Slowinski & Gage (Cray T94) 21,398,269-1 420,921 1996 Pentium 90 MHz, Woltman (GIMP) 22.976,221-1 895,932 1997 Spence, Woltman (GIMPS, Pentium 100MHz) 23.021.377−1 909.526 1998 Clarkson, Woltman, Kurowski (GIMPS, Pentium 200MHz) 26.972.593−1 2.098.960,1999 Hajmanratwala

Kurowski (Gimps, Pentium 350MHz) 213,466,917-1 4.053,946 2001 Cameron, Woltman, Kurowski (Gimps, Athlon 800 MHz) 220,996,011-1 6.320,430 2003 Shafer (Gimps, Pentium 4 2 GHz) 224,036,583 -1 7,235,733 € 2004 Fachley (Gimps, Pentium 4 2.4 GHz) 225.964.951-1 7.816.230 2005 Nowak (Gimps, Pentium 4 2.4 GHz) 230,402,457-1 9,152,052 2005 Cooper, Boone (Gimps, Pentium 4 3 GHz) 232.582.657-1 9.808.358 2006 Cooper, Boone (Gimps, Pentium 4 3 GHz) 243.112

609−1 12.978.189 2008 Smith, Woltman, Kurowski et al

(GIMPS, Core 2 Duo 2,4 GHz) 257.885.161−1 17.425.170 2013 Cooper, Woltman, Kurowski et al

(GIMPS, Core2 Duo E8400 @ 3,00 GHz) 274.207.281−1 22.338.618 2016 Cooper, Woltman, Kurowski et al

(GIMPS, Intel i7-4790 @ 3,60 GHz) 277.232.917−1 23.249.425 2017 Jonathan Pace et al

(GIMPS, Intel i5-6600 @ 3,30 GHz) 282.589.933−1 24.862.048 2018 Patrick Laroche et al

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(GIMPS, Intel i5-4590T @ 2,0 GHz[10])[11][12]

Verbreitung und Wachstum [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

Pi-Funktion und Primzahlsatz [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

→ Hauptartikel: Primzahlsatz

π {\displaystyle \pi } n / ln ⁡ ( n ) {\displaystyle n/\ln(n)} Li ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {Li} (n)} π {\displaystyle \pi } In Die Grafik zeigt die Funktion in Blau

Die Funktion in Grün und der Integrallogarithmus in Rot sind Annäherungen an die Funktion

Um die Verteilung von Primzahlen zu untersuchen, betrachtet man unter anderem die Funktion

π : N → N , n ↦ π ( n ) {\displaystyle \pi \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} ,\;n\mapsto \pi (n)}

was die Anzahl der Primzahlen ≤ n {\displaystyle \leq n} angibt und auch Primzahlfunktion genannt wird

Zum Beispiel ist

π ( 1 ) = 0 ; π(10) = 4; π(100) = 25; π(1000) = 168; π ( 1000000 ) = 78498 {\displaystyle \pi (1)=0\ ;\ \pi (10)=4\ ;\ \pi (100)=25\ ;\ \pi (1000)=168;\ \pi (1000000)=78498}

Diese Funktion und ihr Wachstumsverhalten ist ein beliebtes Forschungsthema in der Zahlentheorie

Im Laufe der Zeit wurden einige Näherungsformeln entwickelt und verbessert

Der Primzahlsatz besagt, dass π ( x ) ∼ x ln ⁡ x {\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}

gilt, was bedeutet, dass der Quotient aus linker und rechter Seite für x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } gegen 1: strebt

lim x → ∞ π ( x ) x ln ⁡ x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln x}}} =1} Asymptotische Analyse)

Der Primzahlsatz von Dirichlet hingegen schränkt die Betrachtung auf Restklassen ein: Sei m {\displaystyle m} eine natürliche Zahl

Wenn a {\displaystyle a} eine ganze Zahl ist, die nicht teilerfremd zu m {\displaystyle m} ist, dann ist die arithmetische Folge

a , a + m , a + 2 m , a + 3 m , … {\displaystyle a,a+m,a+2m,a+3m,\dotsc }

höchstens eine Primzahl enthalten, da alle Glieder der Folge durch den größten gemeinsamen Teiler von a {\displaystyle a} und m {\displaystyle m} teilbar sind

Aber wenn a {\displaystyle a} teilerfremd zu m {\displaystyle m} ist, besagt der Primzahlsatz von Dirichlet, dass die Folge unendlich viele Primzahlen enthält

Beispielsweise gibt es unendlich viele Primzahlen der Form 4 k + 1 {\displaystyle 4k+1} und unendlich viele der Form 4 k + 3 {\displaystyle 4k+3} ( k {\displaystyle k} läuft durch die nichtnegative natürliche Zahlen)

Diese Aussage lässt sich in folgender Form präzisieren: Es gilt

lim x → ∞ # { p ∣ prim , p ≤ x und p ≡ a ( mod m ) } # { p ∣ prim , p ≤ x } = 1 φ ( m ) ; {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\#\{p\ \mid \ \\mathrm {prim} ,\ p\leq x\ \mathrm {and} \ p\equiv a{ \ pmod {m}}\}}{\#\{p\ \mid \ \mathrm {prim} ,\ p\leq x\}}}={\frac {1}{\varphi (m)}}; }

wobei φ ( m ) {\displaystyle \varphi (m)} Eulers Phi-Funktion ist

In diesem Sinne gilt für ein festes m {\displaystyle m} in den Restklassen a + m Z {\displaystyle a+m\mathbb {Z} } mit gg T ( a , m ) = 1 {\displaystyle \mathrm {gcd } (a,m)=1} jeweils „gleich viele“ Primzahlen

Siehe auch: Ulam-Spirale

Die (bewiesene) Bonse-Ungleichung garantiert, dass das Quadrat einer Primzahl kleiner ist als das Produkt aller kleineren Primzahlen (ab der fünften Primzahl)

Gemäß der (unbewiesenen) Andrica-Vermutung ist die Differenz der Wurzeln der n {\displaystyle n} -ten und der ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -ten Primzahl kleiner als 1.

→ Main Artikel: Primzahllücke

Die Differenz zwischen zwei benachbarten Primzahlen wird als Primzahllücke bezeichnet

Dieser Unterschied variiert, und es gibt Primzahllücken jeder Größe

Je nach Standort gibt es jedoch auch Einschränkungen hinsichtlich der Spaltgröße: Der Satz von Bertrand sichert die Existenz einer Primzahl zwischen jeder natürlichen Zahl n {\displaystyle n} und ihrem Doppel 2 n {\displaystyle 2n}.

Nach Legendres (unbewiesener) Vermutung gibt es immer mindestens eine Primzahl zwischen n 2 { \displaystyle n^{2}} und ( n + 1 ) 2 {\displaystyle (n+1)^{2}}.

Schätzungen von Primzahlen und Konsequenzen des Primzahlsatzes [ edit | Quelle bearbeiten ]

Im Folgenden wird die Folge der Primzahlen mit ( pn ) n ∈ N {\displaystyle (p_{n})_{n\in \mathbb {N} }} bezeichnet

Für Indizes n ∈ N {\displaystyle n\in \ mathbb {N} } gelten folgende Abschätzungen:

(1a) p n < p n + 1 < 2 ⋅ p n {\displaystyle p_{n}

(1b) pn + 1 2 < 2 ⋅ pn 2 {\displaystyle {p_{n+1}}^{2}<2\cdot {p_{n}}^{2}} n ≥ 5 {\displaystyle n\ geq 5} [15][16]

(1c) p n < 2 n {\displaystyle p_{n}<2^{n}} n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} [17]

(1d) p n > n ⋅ ln ⁡ ( n ) {\ displaystyle p_ {n}> n \ cdot \ ln (n)} [18]

(1e) ∑ k = 2 n 1 pk > 1 36 ⋅ ln ⁡ ln ⁡ ( n + 1 ) {\displaystyle \sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{p_{k}} }>{\frac {1}{36}}\cdot {\ln {\ln(n+1)}}} n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} [19][20]

Implikationen des Primzahlsatzes [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Unter Verwendung des Primzahlsatzes erhalten wir folgende Ergebnisse: (2a) lim n → ∞ pn + 1 pn = 1 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}}{ p_{n}}}=1} [21]

(2b) n ln ⁡ ( n ) − 1 2 < π ( n ) < n ln ⁡ ( n ) − 3 2 {\displaystyle {\frac {n}{\ln(n)-{\frac {1}{ 2}}}}<\pi (n)<{\frac {n}{\ln(n)-{\frac {3}{2}}}}} n ≥ 67 {\displaystyle n\geq 67} [ 22][23][24]

(2c)

Für jede positive reelle Zahl x {\displaystyle x} gibt es eine Folge ( qn ) n ∈ N {\displaystyle (q_{n})_{n\in \mathbb {N} }} von Primzahlen mit lim n → ∞ qnn = x {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {q_{n}}{n}}=x} [25][26]

(2d)

Die Menge der aus allen Primzahlen gebildeten Quotienten ist eine dichte Teilmenge der Menge aller positiven reellen Zahlen

Das heißt: Für alle positiven reellen Zahlen a , b {\displaystyle a,b} mit 0 < a < b {\displaystyle 0

a < p q < b {\displaystyle a<{\frac {p}{q}}

erfüllt ist.[27]

Erzeugung von Primzahlen [Bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

→ Hauptartikel: Primzahlgenerator

Sieb des Eratosthenes Illustration des Algorithmus

Einer der ältesten Algorithmen zur Bestimmung von Primzahlen ist das Sieb des Eratosthenes

Bis heute ist kein effizienter Primzahlgenerator bekannt

Es gibt jedoch Formeln, bei denen es eine gewisse Wahrscheinlichkeit gibt, dass die erzeugten Zahlen Primzahlen sind

Solche Zahlen müssen anschließend auf ihre Primzahl geprüft werden

Spezielle Primzahlen und Primzahlkonstellationen [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Weitere spezielle Arten von Primzahlen finden sich in der Kategorie:Primzahlen.

In der Ringtheorie wird der Begriff der Primzahl auf die Elemente jedes kommutativen Einheitsrings verallgemeinert

Die entsprechenden Begriffe sind Primelement und irreduzibles Element

Die Primzahlen und ihre Negative sind dann genau die Primelemente und auch genau die irreduziblen Elemente des Rings der ganzen Zahlen

Bei Fakultätsringen, also Ringen mit eindeutiger Primfaktorzerlegung, fallen die Begriffe Primelement und irreduzibles Element zusammen; Im Allgemeinen ist die Menge der Primelemente jedoch nur eine Teilmenge der Menge der irreduziblen Elemente.

Gerade im zahlentheoretisch wichtigen Fall der Dedekind-Ringe übernehmen Primideale die Rolle von Primzahlen.

→ Hauptartikel : Primzahl Faktorisierung

Es gilt der Hauptsatz der Arithmetik: Jede ganze Zahl größer als eins lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen, und diese Darstellung ist bis auf die Ordnung der Faktoren eindeutig

Sie werden die Primfaktoren der Zahl genannt

Da jede natürliche Zahl größer Null durch Multiplikation von Primzahlen darstellbar ist, haben die Primzahlen in der Mathematik eine atomare Sonderstellung, sie „erzeugen“ sozusagen alle anderen natürlichen Zahlen – die Eins als leeres Produkt

Alexander K

Dewdney beschrieb sie als den Elementen der Chemie weitgehend ähnlich

Damit wird auch klar, warum es unzweckmäßig ist, die Eins als Primzahl zu definieren: Sie ist das neutrale Element der Multiplikation und kann daher multiplikativ keine anderen Zahlen erzeugen

Es wird nicht benötigt, um die Zahlen als Produkt von Primfaktoren darzustellen

Würde man die 1 zu den Primzahlen zählen, ginge auch die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung verloren, weil an jede Faktorisierung beliebig viele Einsen angehängt werden können, ohne dass sich der Wert der Zahl ändert.

Um die Primfaktoren von allgemeinen Zahlen oder solchen einer speziellen Form möglichst schnell zu bestimmen, wurden eine Reihe von Faktorisierungsverfahren entwickelt

Bisher ist jedoch kein Verfahren bekannt, um eine beliebige Zahl effizient zu faktorisieren, also H

in einer Zeit, die höchstens polynomial mit der Länge der gegebenen Zahl wächst

Die Faktorisierungsannahme besagt, dass es auch keine solche Methode gibt

Primzahlen in der Informatik [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

Primzahlen spielen eine wichtige Rolle in der Informationssicherheit und insbesondere bei der Verschlüsselung von Nachrichten (siehe Kryptografie)

Sie werden häufig in asymmetrischen Kryptosystemen wie Verschlüsselungsverfahren mit öffentlichem Schlüssel verwendet

Wichtige Beispiele sind der Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch, das RSA-Kryptosystem, das unter anderem in OpenPGP verwendet wird, das Elgamal-Kryptosystem und das Rabin-Kryptosystem

Die Schlüssel werden aus großen, zufällig generierten Primzahlen berechnet, die geheim bleiben müssen

Solche Algorithmen basieren auf Einwegfunktionen, die schnell ausgeführt werden können, deren Umkehrung jedoch mit der derzeit bekannten Technologie praktisch unmöglich zu berechnen ist

Aber neue Informationstechnologien wie Quantencomputer könnten das ändern

Das ungelöste P-NP-Problem hängt damit zusammen

Primzahlen in der Natur [ bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

Einige Tier- und Pflanzenarten (z

B

bestimmte Zikaden oder Fichten) vermehren sich besonders stark in Primzahlzyklen (alle 11, 13 oder 17 Jahre), um Raubtieren die Anpassung an das Massenvorkommen zu erschweren.[28] [29]

Warum 1 keine Primzahl ist [Bearbeiten| Quelle bearbeiten ]

Seit Jahrhunderten diskutieren Mathematiker darüber, ob die Zahl n = 1 {\displaystyle n=1} eine Primzahl ist oder nicht

Der bedeutende Mathematiker Godfrey Harold Hardy zum Beispiel nannte die Zahl 1 noch 1908 eine Primzahl, spätestens aber 1929 nicht mehr

Im Allgemeinen haben sich die meisten Mathematiker seit dem 20

Jahrhundert darauf geeinigt, die Zahl 1 nicht zu den Primzahlen zu zählen.[30] Das Argument dafür, dass 1 eine Primzahl ist, ist das folgende:

1 ist nur durch sich selbst und 1 teilbar

Argumente dagegen, dass 1 keine Primzahl ist, sind folgende:

Ein besonders wichtiger Satz in der Mathematik ist die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung

Wenn n = 1 {\displaystyle n=1} x = 6 {\displaystyle x=6} x = 6 = 2 ⋅ 3 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 1 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = … = 1 657 ⋅ 2 ⋅ 3 = … {\displaystyle x=6=2\cdot 3=1\cdot 2\cdot 3=1^{2}\cdot 2\cdot 3=\ldots =1^{657}\cdot 2\cdot 3=\ l Punkte }

Das würde plötzlich bedeuten, dass jede Zahl unendlich viele verschiedene Primfaktorzerlegungen hätte und man die Voraussetzungen für diesen wichtigen Satz anders formulieren müsste, damit die Eindeutigkeit wiederhergestellt ist

Die Mehrdeutigkeit ergibt sich gerade in diesem Zusammenhang daraus, dass die Zahl 1 das neutrale Element der Multiplikation ist, was ihre Verwendung hier sinnlos macht

Multipliziert man zwei Primzahlen miteinander, erhält man per Definition eine zusammengesetzte Zahl, also eine Zahl die aus mindestens zwei (Prim-)Faktoren besteht

Wenn 1 eine Primzahl wäre, könnte man sie zum Beispiel mit einer Primzahl multiplizieren und das Produkt wäre wieder eine Primzahl und keine zusammengesetzte Zahl

Die Definition der zusammengesetzten Zahl müsste also viel komplizierter sein

Jede Primzahl hat genau zwei Teiler: die Zahl 1 und sich selbst

n = 1 {\displaystyle n=1}

Das Sieb des Eratosthenes würde nicht funktionieren, da man zuerst alle Vielfachen von 1 streichen müsste, sodass keine einzige andere Zahl außer 1 übrig bleibt

Für alle Primzahlen gilt Eulers Phi-Funktion φ ( p ) = p − 1 {\displaystyle \varphi (p)=p-1} n = 1 {\displaystyle n=1} φ ( 1 ) = 1 ≠ 1 − 1 = 0 {\displaystyle \varphi (1)=1

ot =1-1=0}

Eulers Phi-Funktion Für alle Primzahlen p {\displaystyle p} Teilerfunktion σ 0 ( p ) = 2 {\displaystyle \sigma _{0}(p)=2} n = 1 {\displaystyle n=1} σ 0 ( 1 ) = 1 ≠ 2 {\displaystyle \sigma _{0}(1)=1

ot =2} σ 1 ( p ) = p + 1 {\displaystyle \sigma _{1}(p)=p+1} n = 1 {\displaystyle n=1} σ 1 ( 1 ) = 1 ≠ 1 + 1 = 2 {\displaystyle \sigma _{1}(1)=1

ot = 1 + 1 = 2}

Teilerfunktion Die Definition von Primzahlen müsste umformuliert werden, wenn 1 eine Primzahl wäre

Die neue Definition wäre komplizierter

Zu jeder Primzahl gibt es einen endlichen Körper, der genau so viele Elemente hat

Wäre 1 eine Primzahl, so wäre nach dieser Aussage der Nullring als Körper zu betrachten

Die verschiedenen Eigenheiten des Nullrings (z

B

dass er keine echte algebraische Erweiterung zulässt) sind leichter zu verstehen, wenn man bedenkt, dass er auch die besondere Rolle unter den Ringen zuschreibt, die er wirklich einnimmt, nicht den Begriff der „Null“ bildet Körper” und erfordert, dass ein Körper mindestens zwei Elemente hat, ma W

dass sich die neutralen Elemente der beiden Ringoperationen Addition und Multiplikation unterscheiden

Die Beispiele zeigen, dass die Menge der Primzahlen ohne 1 dringend benötigt wird – dringender als das Konzept der Primzahlen inklusive der 1

Da es bei Definitionen immer Freiheitsgrade gibt, wurde entschieden, (neben der 0 ) aus Gründen der Begriffsersparnis die 1 (und etwas allgemeiner alle Einheiten) aus den Primzahlen (bzw

Primzahlen)

Siehe auch [Bearbeiten | Quelle bearbeiten ]

– Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Primzahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: Fundamental Theorem of Arithmetic – Lern- und Lehrmaterialien – Lern- und Lehrmaterialien

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